【专项训练07】数学新定义问题（学生版）

新定义问题题型归纳题型一：集合的新定义问题（24-25高三上·山东·期中）已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”.(1)若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）；(2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举；(3)若，证明：集合必为“理想集”.1．（24-25高三上·广东·月考）已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中的任意一对元素，，都有，则称集合S具有性质P.(1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由；(2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否具有性质P？并说明理由；(3)当，时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.2．（24-25高三上·北京·期中）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）.(1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）；(2)若，且对任意的，都有，求的最大值；(3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值.题型二：函数与导数的新定义问题（23-24高三上·北京·月考）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设．(1)若，求；(2)若，求的最小值；(3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件1．（24-25高三上·湖北·期中）把满足任意，总有的函数称为“类余弦型”函数.(1)已知为“类余弦型”函数，，求f1的值；(2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值；(3)若为“类余弦型”函数，且，对任意非零实数，总有.设有理数，满足，判断与的大小关系，并给出证明.2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”.(1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由；(2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围；(3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.

求证：对任意，关于的方程无解.题型三：复数与不等式的新定义问题（24-25高三上·江苏泰州·月考）已知常数，设关于的方程．(1)在复数范围内求解该方程．(2)当时，设该方程的复根分别为，证明：(3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）．(4)将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立．1．（24-25高三上·山东枣庄·月考）对于四个正数m、n、p、q，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．(1)对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a、b、c、d均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系；(3)设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值．2．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式为：设，，不全为0，不全为0，则，当且仅当存在一个数k，使得时，等号成立．(1)请你写出柯西不等式的二元形式；(2)设P是棱长为的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值；(3)已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数i、，均有.求证：对任意，，恒有.题型四：三角函数的新定义问题（24-25高三上·全国·专题练习）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”．(1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”；(2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．1．（24-25高三上·江西宜春·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为．(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合；(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；(3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围．2．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)已知，，，若，，求的值题型五：平面向量的新定义问题（24-25高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.(1)若向量的“完美坐标”为，求；(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，x∈R，求的值域.1．（24-25高三上·浙江绍兴·月考）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合.(1)求，；(2)（i）求中元素的个数；（ii）记，求使得成立的最大正整数.2．（24-25高三上·河南驻马店·月考）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点.(1)已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点；(2)若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围；(3)若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值.题型六：数列的新定义问题（24-25高三上·福建泉州·期中）若存在常数，使得数列满足，则称数列为“数列”．(1)判断数列：1，3，5，10，152是否为“数列”，并说明理由；(2)若数列是首项为2的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，证明：．1．（24-25高三上·江西上饶·月考）数列、满足：是等比数列，，且．(1)求、．(2)求集合中所有元素的和．(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试别断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由．2．（24-25高三上·山东青岛·期中）如果正项有穷数列满足，即，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，，与数列3，2，1，，都是“1的对称数列”．(1)设是项数为8的“1的对称数列”，其中是等差数列，且，请依次写出的每一项；(2)设数列是13项的“1的对称数列”，其中是等比数列，，求数列的所有项和的最小值；(3)设数列是项的“1的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和．（注：）题型七：立体几何的新定义问题（24-25高三上·广东广州·月）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；(2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．1．（23-24高三下·江西新余·模拟预测）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.

(1)如左图，在四面体中，分别为所在棱的中点，证明：的三条内棱交于一点.(2)同左图，若为垂棱四面体，，求直线与平面所成角的正弦值.(3)如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数，求的定义域与最小值.2．（24-25高三上·湖南长沙·月考）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率与球面三角形内角和满足：，其中为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于，为球面三角形面积，为球的半径）.(1)若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为，求此球面三角形内角和；(2)求的值；(3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体顶点数为，棱数为，面数为，试证明凸多面体欧拉示性数为定值，并求出.题型八：平面解析几何的新定义问题（24-25高三上·浙江·月考）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点0,1的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式；(2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程；(3)在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值.1．（23-24高三下·江西新余·模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系中，可以用两点之间距离公式刻画两点的距离，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定某一实数满足：①，当且仅当时等号成立；

②；

③.其中，为平面直角坐标系内的三个点，我们就称是关于两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系（为坐标原点）内两点的“距离”.(1)求证：两点的“距离”是关于两点的一个“度量”.(2)设为平面直角坐标系内任意一点.（ⅰ）若，请在下图中定性做出点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与其特征）.（ⅱ）求证：.(3)规定平面内两条平行直线的距离为在上分别取的任意两个点距离的最小值.已知不重合的直线，，，求的取值范围.2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，定义：若曲线和上分别存在点，关于原点对称，则称点和点为和的一对“关联点”.(1)若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程.(2)若上任意一点的“关联点”为点，求的取值范围.(3)若和有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围.题型九：概率统计的新定义问题（24-25高三上·湖北·月考）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量的所有取值为，定义信息熵：(1)若，且，求随机变量的信息熵；(2)若，求随机变量的信息熵；(3)设和是两个独立的随机变量，求证：.1．（23-24高三下·湖南·月考）多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数.当越大时，表明该群落的多样性越高.已知两个实验水塘的构成如下：绿藻衣藻水绵蓝藻硅藻66666124365(1)若从中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；(2)（i）比较的多样性大小；（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.2．（23-24高三下·浙江·开学考试）一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：岗位业务能力分值管理能力分值计算机能力分值沟通能力分值合计分值会计（1）215412业务员（2）523515后勤（3）235313管理员（4）454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.（i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.题型十：高等数学背景下的新定义问题（24-25高三上·四川自贡·期中）新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：(1)在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：，（其中表示的次导数，），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式，当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式，比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式，，，，请利用上述公式和所学知识写出在处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）(2)设为正整数，数列，，，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，，是一可分数列.请写出所有的，，使数列，，，是—可分数列.1．（24-25高三上·山东潍坊·月考）设数阵，其中.设，其中且.定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有且没有，则这一列中每个数都乘以”，表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，以此类推，最后将经过变换得到”.记数阵中四个数的和为.(1)若，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；(2)若，求所有取值的和；(3)对任意确定的一个数阵，证明：所有取值的和不大于；(4)如果，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？2．（24-25高三上·江苏南通·月考）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有．(1)求，；(2)求所有，，使得是奇数；(3)若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：.必刷大题1．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”．(1)判断函数是否为上的函数，并说明理由；(2)已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围；(3)已知函数存在最大值．对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由．2．（24-25高三上·湖南长沙·期中）设，集合.对于，记.(1)若，证明：；(2)若和都为奇数，证明：为偶数；(3)若，当时，求所有之和的最大值.3．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；(3)已知为函数的相伴特征向量，若在△中，，，若点为该△的外心，求的最大值．4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.(1)设，求的特征向量；(2)设向量的特征函数为，求当且时，的值；(3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值.5．（24-25高三上·河北邯郸·期中）对于无穷数列，“若存在（、，且），必有”，则称数列具有性质.(1)若数列满足，判断数列是否具有性质？数列是否具有性质？(2)对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集(3)已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.6．（24-25高三上·四川·模拟测试）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为.(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说