球的表面积和体积课件2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册_第1页
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第六章立体几何初步6.6.3球的表面积和体积情境：从一枚晶莹剔透的玻璃弹珠，到绿茵场上跃动腾挪的足球，再到我们脚下这颗孕育万物的地球，都可以看成是一个球体.我们知道球也是旋转体，那么它是由什么平面图形旋转得到的呢？球：是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.问题1：一条直线与圆相交，在圆内的部分是弦.现在把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面是什么？圆面

球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；

球面被不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.球的截面的性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）截面半径

r

与球的半径

R

和球心到截面的距离

d

的关系：问题2：过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点

P，可以作球的无数条切线.

那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？解：设过点

P

的直线与球

O

相切于点

A，则平面

POA

与球面的交线是球的大圆

(如图)，由直线与圆相切的性质可得OA⊥AP，∴∵点

P到球心

O的距离

PO为定值，∴AP是定值，∴过球外一点的所有切线的切线长都相等，所有切点组成一个圆.PAOR球的表面积:

设球的半径为

R，它的表面积只与半径

R

有关，是以

R

为自变量的函数.

如果球的半径为

R，那么它的表面积是

S球

=4πR2.·例1：某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是

0.3

m，圆柱高

0.6

m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要

0.5

kg

涂料，那么给

1000

个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π

取

3.14

)解：一个浮标的表面积为：2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2)，所以给

1000

个这样的浮标涂防水漆约需涂料：0.8478×0.5×1000=423.9(kg).问题3：如何利用球的表面积公式求出球的体积.

将球

O的表面分成

n个小网格，连接球心

O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成

n个“小锥体”．n越大，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径

R．

设

O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是

由于球的体积是这

n

个“小锥体”的体积之和，而这

n

个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．即V球V球S球R

因此球的体积例2：一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为

3

cm，瓶里所装的水深为

8

cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到

8.5

cm.

求钢球的半径.解得

R=1.5，解：如图，设钢球半径为

R

cm，根据题意，得所以钢球的半径为1.5cm.练一练：圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.解：设球的半径为

R，则圆柱的底面半径为

R，高为

2R，则：V球

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