2026年高考数学模拟卷：基础拓展卷（含详解）

PAGE2/sectionPAGES62026年普通高等学校招生全国统一考试数学基础拓展卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|-4<x<4}，B={-2,-1,0,1,3}，则A交B=（）A.{-2,-1,0,1}B.{1,3}C.{-2,0,1,3}D.{-1,0,1,3}2.若z除以(z-2)等于1+i，则z=（）A.2-2iB.2+2iC.-2-2iD.-2+2i3.已知命题p：任意x>0，ln(x+1)>0；命题q：存在x属于R，2的x次方等于x的平方，则下列命题为真命题的是（）A.p且qB.p且非qC.非p且qD.非p且非q4.若x,y满足约束条件{x大于等于1;x-y小于等于0;x+y小于等于4}，则z=2x+y的最大值为（）A.5B.6C.7D.85.(x-1/(2x))的6次方的展开式中x的平方的系数为（）A.-15/2B.15/2C.-15D.156.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像满足f(π/3)=1，f(5π/6)=0，且f(x)在(π/3,5π/6)上单调，则f(x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π7.已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两点，若|AF2|=2|F1B|，且AB垂直BF2，则椭圆的离心率为（）A.√3/3B.√5/3C.√7/3D.√2/28.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,正无穷)上单调递增，则下列函数中是偶函数且在(0,正无穷)上单调递增的是（）A.y=|f(x)|B.y=f(|x|)C.y=f(x)+xD.y=f(x)-x二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。9.为了解某种植区推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x的平均值=2.0，样本方差s的平方=0.01。已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.7,0.1的平方)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x的平均值,s的平方)，则下列结论正确的是（）（若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ的平方)，则P(μ-σ<Z<=μ+σ)约等于0.6827，P(μ-2σ<Z<=μ+2σ)约等于0.9545）A.P(X>2)约等于0.00135B.P(Y>2)=0.5C.P(Y>2.1)约等于0.15865D.P(X<1.5)<P(Y<1.5)10.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则下列结论正确的是（）A.AD垂直平面BB1C1CB.B1C平行平面AA1DC.CC1垂直平面AA1DD.AD垂直A1B111.已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)，则下列说法正确的是（）A.若c平行a，则λ=2B.若c垂直b，则λ=1/2C.|a+c|=|b-c|时，λ=-3D.若c与a的夹角为锐角，则λ<2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,3)，b=(2,1)，则a点乘b=__________。13.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=2，b=3，cosC=1/3，则sinA=__________。14.已知函数f(x)=xlnx-ax的平方+x，若对任意x>0，f(x)小于等于0恒成立，则实数a的取值范围是__________。四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（14分）已知数列{a_n}满足a1=1，a_{n+1}=2a_n+1。(1)证明：数列{a_n+1}是等比数列；(2)求数列{na_n}的前n项和S_n。16.（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA垂直底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=√3。(1)证明：BC垂直平面PAC；(2)若AD垂直DC，且二面角A-CP-D的正弦值为√6/3，求AD的长。

17.（16分）某研究机构为了研究某作物的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：100kg）之间的关系，对10个试验田进行了调查，得到如下数据：已知sumx_i=150，sumy_i=30，sumx_i的平方=2450，sumy_i的平方=100，sumx_iy_i=500。(1)求y关于x的线性回归方程y的估计值=b的估计值x+a的估计值；(2)计算变量x与y的相关系数r，判断x与y的线性相关程度；(3)若施肥量为20kg，预测该作物的产量。参考公式：b的估计值=sum(x_i-x的平均值)(y_i-y的平均值)/sum(x_i-x的平均值)的平方，a的估计值=y的平均值-b的估计值x的平均值，r=sum(x_i-x的平均值)(y_i-y的平均值)/√(sum(x_i-x的平均值)的平方sum(y_i-y的平均值)的平方)。

18.（18分）已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的左顶点为A(-2,0)，离心率为√3/2。(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于M,N两点，证明：直线AM,AN的斜率之和为定值。19.（18分）已知函数f(x)=lnx+ax的平方+bx。(1)当a=0，b=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若当x>0时，f(x)小于等于0恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案与详细解析一、选择题答案速查表题型12345678单项选择AAACBCCB题型91011多项选择ABCABDABC二、详细解答1.【答案】A【解析】根据交集的定义，集合A是所有满足-4<x<4的实数，集合B的元素中，满足-4<x<4的元素为-2,-1,0,1，因此A交B={-2,-1,0,1}，故选A。2.【答案】A【解析】由z除以(z-2)等于1+i，可得z=(1+i)(z-2)，展开得z=(1+i)z-2(1+i)，移项整理得iz=2+2i，解得z=(2+2i)/i=2-2i，故选A。3.【答案】A【解析】对于命题p，当x>0时，x+1>1，因此ln(x+1)>ln1=0，故p为真命题；对于命题q，当x=2时，2的平方等于2的平方，当x=4时，2的4次方等于4的平方，因此存在x属于R使得2的x次方等于x的平方，故q为真命题。因此p且q为真命题，p且非q、非p且q、非p且非q均为假命题，故选A。4.【答案】C【解析】画出约束条件对应的可行域，可行域为以(1,1),(1,3),(2,2)为顶点的三角形区域。目标函数z=2x+y可变形为y=-2x+z，z的几何意义是直线的纵截距。当直线经过点(2,3)时，纵截距最大，此时z=2*2+3=7，故选C。5.【答案】B【解析】(x-1/(2x))的6次方的展开式的通项为T_{r+1}=C6^rx的(6-r)次方(-1/(2x))的r次方=(-1/2)的r次方C6^rx的(6-2r)次方。令6-2r=2，解得r=2。因此x的平方的系数为(-1/2)的平方C6^2=1/4*15=15/2，故选B。6.【答案】C【解析】由题意，f(π/3)=1是函数的最大值，因此x=π/3是函数的一条对称轴。又f(5π/6)=0，且f(x)在(π/3,5π/6)上单调，因此5π/6-π/3=π/2是四分之一周期，即T/4=π/2，解得T=2π，故选C。7.【答案】C【解析】设|F1B|=t，则|AF2|=2t，由椭圆的定义，|BF2|=2a-t，|AF1|=2a-2t，因此|AB|=|AF1|+|F1B|=2a-t。因为AB垂直BF2，所以在直角三角形ABF2中，|AB|的平方+|BF2|的平方=|AF2|的平方，即(2a-t)的平方+(2a-t)的平方=(2t)的平方，解得t=(2-√2)a。因此|BF1|=(2-√2)a，|BF2|=√2a。在直角三角形F1BF2中，|BF1|的平方+|BF2|的平方=|F1F2|的平方，即[(2-√2)a]的平方+(√2a)的平方=(2c)的平方，整理得c的平方=7/4a的平方，因此离心率e=c/a=√7/3，故选C。8.【答案】B【解析】首先，函数f(x)是奇函数，因此对于选项C，y=f(x)+x，有f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-(f(x)+x)，是奇函数，排除；选项D，y=f(x)-x，同理，f(-x)-(-x)=-f(x)+x=-(f(x)-x)，是奇函数，排除。对于选项A，y=|f(x)|，虽然是偶函数，但当x<0时，|f(x)|=-f(x)，在(负无穷,0)上单调递减，在(0,正无穷)上单调递增；而选项B，y=f(|x|)，是偶函数，当x>0时，y=f(x)，由f(x)在[0,正无穷)上单调递增，因此y=f(|x|)在(0,正无穷)上单调递增，符合题意，故选B。9.【答案】ABC【解析】对于A，X服从N(1.7,0.1的平方)，则mu_X=1.7，sigma_X=0.1，2=1.7+3*0.1，因此P(X>2)=(1-0.9973)/2=0.00135，A正确；对于B，Y服从N(2.0,0.01)，则mu_Y=2.0，正态分布关于x=mu_Y对称，因此P(Y>2)=0.5，B正确；对于C，2.1=2.0+1*0.1，因此P(Y>2.1)=(1-0.6827)/2=0.15865，C正确；对于D，1.5=1.7-2*0.1，因此P(X<1.5)=0.02275；而1.5=2.0-5*0.1，P(Y<1.5)远小于0.02275，因此P(X<1.5)大于P(Y<1.5)，D错误。故选ABC。10.【答案】ABD【解析】在正三棱柱中，三角形ABC是正三角形，D为BC中点，因此AD垂直BC。又BB1垂直底面ABC，AD属于底面ABC，因此BB1垂直AD，BC交BB1=B，因此AD垂直平面BB1C1C，A正确；对于B，在正三棱柱中，D为BC中点，连接B1C，由正三棱柱的性质，B1C平行AD，AD属于平面AA1D，B1C不属于平面AA1D，因此B1C平行平面AA1D，B正确；对于C，CC1平行AA1，AA1与AD垂直，但CC1与平面AA1D相交，因此CC1不垂直于平面AA1D，C错误；对于D，在正三角形ABC中，AD垂直BC，而BC平行B1C1，A1B1平行AB，因此AD垂直B1C1，且AD垂直BB1，因此AD垂直平面BCC1B1，因此AD垂直A1B1，D正确。故选ABD。11.【答案】ABC【解析】对于A，若c平行a，则1*λ-2*1=0，解得λ=2，A正确；对于B，若c垂直b，则c点乘b=2*1+(-2)*λ=0，解得λ=1/2，B正确；对于C，a+c=(2,2+λ)，b-c=(1,-2-λ)，由|a+c|=|b-c|，得2的平方+(2+λ)的平方=1的平方+(-2-λ)的平方，解得λ=-3，C正确；对于D，若c与a的夹角为锐角，则c点乘a大于0且c与a不共线，即1*1+2*λ大于0且λ不等于2，解得λ大于-1/2且λ不等于2，D错误。故选ABC。12.【答案】5【解析】由向量数量积的坐标运算，a点乘b=1*2+3*1=5。13.【答案】4√2/9【解析】由余弦定理，c的平方=a的平方+b的平方-2abcosC=4+9-2*2*3*1/3=9，因此c=3。由cosC=1/3，得sinC=√(1-cosC的平方)=2√2/3。由正弦定理，a/sinA=c/sinC，得sinA=(asinC)/c=(2*2√2/3)/3=4√2/9。14.【答案】[1,正无穷)【解析】对任意x大于0，f(x)=xlnx-ax的平方+x小于等于0恒成立，等价于a大于等于(lnx+1)/x恒成立。令g(x)=(lnx+1)/x，则g的导数(x)=(-lnx)/x的平方。当0小于x小于1时，g的导数(x)大于0，g(x)单调递增；当x大于1时，g的导数(x)小于0，g(x)单调递减。因此g(x)的最大值为g(1)=1，因此a大于等于1，即a的取值范围是[1,正无穷)。15.【答案】(1)证明见解析；(2)S_n=(n-1)2的(n+1)次方+2-n(n+1)/2【解析】(1)由a_{n+1}=2a_n+1，得a_{n+1}+1=2(a_n+1)。又a1+1=2不等于0，因此(a_{n+1}+1)/(a_n+1)=2，因此数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。(2)由(1)得a_n+1=2的n次方，因此a_n=2的n次方-1，因此na_n=n2的n次方-n。设T_n=1*2+2*2的平方+…+n*2的n次方，则2T_n=1*2的平方+2*2的3次方+…+n*2的(n+1)次方，两式相减得：-T_n=2+2的平方+…+2的n次方-n2的(n+1)次方=2(2的n次方-1)-n2的(n+1)次方=(1-n)2的(n+1)次方-2，因此T_n=(n-1)2的(n+1)次方+2。又数列{n}的前n项和为n(n+1)/2，因此S_n=T_n-n(n+1)/2=(n-1)2的(n+1)次方+2-n(n+1)/2。16.【答案】(1)证明见解析；(2)AD=√2【解析】(1)证明：在三角形ABC中，AC=2，BC=1，AB=√3，因此AB的平方+BC的平方=AC的平方，因此BC垂直AB。又PA垂直底面ABCD，BC属于底面ABCD，因此PA垂直BC。又PA交AB=A，因此BC垂直平面PAC。(2)以A为原点，分别以AB,AC,AP的方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(√3,0,0)。设D(x,y,0)，由AD垂直DC，得AD点乘DC=0，即x*(-x)+y*(2-y)=0，即x的平方+y的平方-2y=0。平面ACP的法向量为n1=(1,0,0)。设平面DCP的法向量为n2=(p,q,r)，DC=(-x,2-y,0)，DP=(-x,-y,2)，则n2点乘DC=-xp+(2-y)q=0，n2点乘DP=-xp-yq+2r=0。令p=2-y，则q=x，r=y，因此n2=(2-y,x,y)。设二面角A-CP-D的平面角为θ，则|cosθ|=|n1点乘n2|/(|n1||n2|)=|2-y|/√((2-y)的平方+x的平方+y的平方)。由题意，sinθ=√6/3，因此cosθ=√3/3，因此|2-y|/√((2-y)的平方+x的平方+y的平方)=√3/3，平方得2(2-y)的平方=x的平方+y的平方。结合x的平方+y的平方=2y，得y=1，x=1，因此AD=√(x的平方+y的平方)=√2。17.【答案】(1)y的估计值=0.5x-4.5；(2)r约等于0.99，高度线性相关；(3)5.5（100kg）【解析】(1)由题意，x的平均值=15，y的平均值=3。sum