专题1.3 函数零点与导数单调性综合-2026届高考数学二轮复习专题突破

2/2专题1.3函数零点与导数单调性综合——2026届高考数学二轮复习专题突破姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题（共8题；共40分）1．（2025高三上·西青月考）函数fx=lnx+2x-6零点所在的大致区间为n，A．1 B．2 C．3 D．42．（2025高三上·云溪期末）已知函数fx=2x-aA．有最大值，没有最小值 B．有最小值，没有最大值C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值3．（2025高三上·福田月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2（1+SN），它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SNA．20% B．23% C．28% D．50%4．（2025高三上·邵东月考）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间y（h）与储藏温度x（∘C）关系为y=kerx（k，r为常量）．若牛奶在0∘C的冰箱中，保鲜时间约是100h，在A．49h B．56h C．64h D．76h5．（2025高三上·中山期中）已知fx=-x2-cosx，若a=fe-34A．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b6．（2025高三上·普宁月考）已知函数f（x）A．是偶函数，且在（0，B．是偶函数，且在（0C．是奇函数，且在（0D．是奇函数，且在（07．（2025高三上·普宁月考）已知函数fx=x（x-a）A．1 B．2 C．3 D．48．（2025高三上·中山月考）已知函数fx及其导函数f'x在定义域均为R且Fx=A．0，e3 B．1，e3 C二、多项选择题（共3题；共18分）9．已知函数f（A．函数f（x）B．若对任意x>0，不等式f（ax）≥fC．函数g（x）D．若f（x1）10．（2025高三上·河北期中）已知函数f（A．曲线y=f（xB．若关于x的方程f（xC．若f（x）在（aD．过点（0，-111．小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间x（单位：天）之间的函数关系y=f（A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C．9天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%三、填空题（共3题；共15分）12．（2025高三下·诸暨月考）已知函数f（x）=x2+3x-4，设曲线y=f（x）在点（an，f（an））处的切线与x轴的交点为（an+1，13．（2024高三上·海安月考）濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则我市这两年生产总值的年平均增长率为．14．（2025高三上·福田月考）已知函数fx=ax2-lnx，若fx在区间

四、解答题（共5题；共77分）15．（2025高三上·泊头月考）设函数fx=e（1）若fx存在大于0的零点，求a（2）设点m，n在曲线y=fx16．（2024高三上·定西期中）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化､质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x（百个），需另投入成本Cx（万元），且Cx=10（1）求年利润Lx（万元）关于年产量x（百个）的函数关系式；（利润=销售额-成本（2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区.请问该企业能否落户先行区，并说明理由.

17．（2024高三下·贵州模拟）已知函数fx（1）若a=-2，求fx（2）若fx≤0恒成立，求a18．（2025高三上·中山月考）已知函数f（（1）当a=e时，求曲线f（x）（2）讨论函数f（

19．（2025高三上·四川月考）已知函数f（（1）讨论f（（2）若f（x）≥k（（3）设x1，x2x1<2/2答案解析部分1．【答案】B【解析】解：因为函数fx=lnx+2x-6在所以函数fx在0，+又因为f2=ln所以函数fx在2，综上所述，函数fx只在2，3有故答案为：B.先根据函数的单调性和零点存在性定理，从而判断出函数在区间上的零点个数，进而得出n的值.2．【答案】A【解析】解：当a≤2时，若x>1，则2x-a>2-a≥0，此时fx在x>1时无零点，则需在x≤1令x-a4x-a=0，则x=a或所以a≤1、a4≤1且a≠a4，解得a≤1且a≠0，则当a>2时，令2x-a=0，则所以fx在x>1时有1个零点，则需在x≤1时有1令x-a4x-a=0，则x=a或由a>2，则a>a4，则需满足a4则当2<a≤4时，符合要求，综上所述，a∈-则实数a有最大值，没有最小值.故答案为：A.分a≤2及a>2进行讨论，即可得fx分别在x>1及x≤1时的零点个数，从而可得实数a的取值范围，进而得出实数a的最值，则选出正确的选项3．【答案】B【解析】解：依题意，C1=Wlog则C1所以C大约增加了23%.故答案为：B先利用C=Wlog2（1+S4．【答案】C【解析】解：由题意可知，100=ke0×r80=ke5r，得k=100，e5r=45，则保鲜时间约是64h.故答案为：C根据已知的两个温度下的保鲜时间，求出函数中的常量k和r的关系，进而得到保鲜时间y关于储藏温度x的表达式，最后代入x=10∘C求解保鲜时间5．【答案】D【解析】解：因为f（f（所以f（x）当x≥0时，f'（x则g'（x）=-2+所以g（x）即f'（所以f（x）在[0所以f（x）又因为ln45<0c=f又因为e-因为14=lne1所以lne14>ln所以fe即a<c<b.故答案为：D.函数f（x）为R上的偶函数，再利用其导函数得到其单调性，将b和c转化成b=fln54，c=f14，利用单调性得e-34>e6．【答案】A【解析】解：函数的定义域是R，关于原点对称，f-x故函数f（又因为f'当x∈（0，故f（x）故答案为：A．先求定义域，再根据函数的奇偶性的定义再求f（x），f（-x）判断函数的奇偶性，求导函数的单调性．7．【答案】C【解析】解：由题设f'x=3x2-4ax+a当a=1时f'当x<13或x>1时f'x>0，则f当13<x<1时f'x<0此时在x=1处取得极小值，不符；当a=3时f'当x<1或x>3时f'x>0，则f（x当1<x<3时f'x<0，则f此时在x=1处取得极大值，符合；综上，a=3.故答案为：C先根据极值点f'1=0求a，再由a=1和a=3时验证，极大值点是否为8．【答案】C【解析】因为Fx=e又因为x-2f'x+fx当x>0时，则f'x+2+f当x<0时，则f'x+2+f可知Fx在0，+∞内单调递增，在若xflnx<e可得Flnx-2<F1，则所以不等式xflnx<e故答案为：C.构造函数F（x）9．【答案】A，B，D【解析】解：A、函数f（x）求导可得f'（x）=当x∈（-∞，-2）时，m'（当x∈（-2，+∞）时，m'（f'（x）≥f'B、由A知f（x）在R上单调递增，由f则当x>0时，a≥lnx2x=当x∈（0，e）时，h故函数hx在（0，故h（x）max=h（e）=C、g（x）的定义域为（则n'（x）=1x-2即g'（x）在g'（x）≥g'D、若f（x1因为f（0）=0，g（由x1（ex1+2）=（x2+2）lnx当t∈（e，+∞）时，p'（则p（t）max=p（e）故答案为：ABD.求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可判断A；构造函数，研究函数的最值即可判断BCD.10．【答案】B，D【解析】解：A、函数f（x）=x3-3x2-2定义域为R，f'（xB、f'（x）=3x2解得x∈（-∞，0）∪（2则f（x）的极大值为f（0）=-2则曲线y=f（x）与直线y=m有三个交点，即-6<m<-2C、由B分析可知：函数f（x）在的极值点为0和2，则|a-b|>2D、设切点为（x0，由切线过点（0，-1），得（x0-1）2（2x故答案为：BD.求函数的定义域，再求导，利用二阶导等于零求对称中心即可判断A；利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可判断B；由B分析求得函数的极值点，再求|a-b|即可判断C；设切点，利用导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点（0，11．【答案】A，B【解析】对于A，由函数解析式和图象可知f（x）随着x对于B，由函数图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确．对于C，当1<x≤30时，f（x）即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误．对于D，因为f（26）故答案为：AB.利用函数的解析式和图象结合函数的单调性，从而判断出选项A；利用函数的图象的减少的快慢，从而结合实际意义判断出选项B；利用x的取值范围得出对应的函数的解析式，再结合代入法得出函数的值，从而结合实际意义判断出选项C；利用分段函数的解析式和赋值法以及比较法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.12．【答案】2；2【解析】根据题意由f（x）又f（an则y=f（x）在点（取y=0，化简得x=an2又a2=8并且a1>1，则由于f（解得x1=1，x2又因为an+1+4a并且b1=log6a1+4则bn=2故答案为：2先对题意分析求导化简得到an+1=an2+42an+3，接下来利用a2​​​​​​13．【答案】（【解析】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，由题意（1+x）2故答案为：（1+p解决年平均增长率的问题，通过设未知数，根据生产总值的增长关系建立方程，再求解得到年平均增长率.关键在于理解连续两年增长后，以平均增长率增长的结果和实际两年增长的结果是相等的.14．【答案】1【解析】解：求导可得f'∵fx在区间1∴f'x≥0在1，∴a≥12x∴a≥12x∴a≥12，即a的取值范围是故答案为：1先求导，利用函数fx在区间1，2上单调递增可得f'x≥015．【答案】（1）解：易知函数fx在R上单调递增，且x→+∞时，若fx存在大于0的零点，则f所以ea令ga=ea+a-1因为g0=0，要使只需a<0，则实数a的取值范围为-∞（2）证明：由题意，易知f'x=则切线为y=e因为m，n是切线上一点，所以要证fm≥n，即证等价于证明em设ht=e当t<m时，h't<0，ht单调递减；当t>m时，h又因为hm=0，所以则fm【解析】（1）由函数fx的单调性结合零点存在性定理，从而得出f0<0，再构造函数ga（2）设切点坐标，根据导数的几何意义得出切线的斜率，结合点斜式方程得出曲线y=fx的切线方程，再将问题转化为证明em-etm-t+1（1）易知函数fx在R上单调递增，且x→+∞时，若fx存在大于0的零点，则f0<0令ga=ea+a-1因为g0=0，所以要使ga即a的取值范围为-∞（2）易知f'x=则切线为y=e由于m，n是切线上一点，故要证fm≥n，即证等价于证明em设ht=e当t<m时，h't<0，ht单调递减，当t>m时，h又hm=0，故也即fm≥n16．【答案】解：（1）当0<x<40时，Lx当x≥40时，L所以L（2）当0<x<40时，所以Lx所以当x=20时，Lx当x≥40时，所以Lx当且仅当x=10000x，即所以Lx故该企业能落户新旧动能转换先行区.【解析】（1）根据“利润=销售额-成本”，分别针对0<x<40和x≥40两个区间，结合给定的成本函数，推导出利润函数的分段表达式.（2）在0<x<40区间内，利用二次函数的顶点式求最值；在x≥40区间内，利用基本不等式（均值定理）求最值.最后比较两个区间的最大利润，判断是否超过2000万元，从而确定企业能否落户.17．【答案】（1）解：若a=-2，函数fx=-2x+lnx+1其定义域为-1当x∈-1，-12时，f故fx的单调递增区间为-1，-（2）解：函数fx=ax+lnx+1定义域为x∈若a≥0，则显然f2若a<0，令f'x=0则当x∈-1，-a+1a当x∈-a+1a，+且fx则-a-1-ln-a≤0令ga=a+1+ln当x∈-∞，-1时，当x∈-1，0时，g所以gamax=g-1=0则a的取值集合为-1.【解析】（1）将a=-2代入，先求函数的定义域，再求导，利用导数判断导函数的符号，求函数的单调区间即可；（2）先求fx的单调区间，再分情况进行讨论，当a≥0时，通过举反例得到不满足题意，则a<0，将fx≤0恒成立等价于fxmax=f-a+1（1）由a=-2，得fx=-2x+lnx+1则f'当x∈-1，-12时，f故fx的单调递增区间为-1，-（2）由fx=ax+lnx+1，x∈若a≥0，则显然f2若a<0，令f'x=0则当x∈-1，-a+1a当x∈-a+1a，+fx则-a-1-ln-a≤0令ga=a+1+ln当x∈-∞，-1时，当x∈-1，0时，g所以gamax=g-1=0所以a的取值集合为-1.18．【答案】解：（1）当a=e时，函数f（x）=elnx-x，可得可得切线方程为y+1=（e-1）（所以曲线f（x）在x=1（2）由函数f（x）=aln当0<x<a时，f'（x）>0，函数f（x所以函数f（x）在x=a当0<a<e时，f（a）<0，f（x）<0恒成立，函数当a>e时，f（a）=alna-a=a（易得f（a2）=a所以函数h（x）在（e，所以函数f（x）在（a，综上可得，当0<a<e时，函数f（x）无零点；当a=e时，函数f（x【解析】（1）先求导得到切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程；（2）通过求导分析函数单调性，得到极大值，再分情况讨论极大值的符号，结合函数的极限和特殊点函数值，确定零点个数.19．【答案】（1）解：f'（x令x2-x+a=0，由Δ=1-4a≤0此时f'（x）≥0当Δ=1-4a>0，即a<14时，方程x2-x+a=0当a≤0时，x1=1-1-4a2当x∈x2，所以f（x）在0当0<a<14时，x1=1-当x∈0，x所以f（x）在1-1-4a2综上，当a≤0时，f（x）在0当0<a<14时，f（x）在1-当a≥14时，f（x（2）解：f（x）令g（x）g'（x若g'（1）=a-k>0，则存在x即g（x）在（