2026年天津市东丽区高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页天津市东丽区2026年高三质量调研试卷（一）数学本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数大致图象可能是（

）A． B．C． D．4．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（

）A． B．成绩在的频数为35C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内5．已知则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．6．若，则（

）A． B． C． D．7．函数在处取得最值，则下列命题正确的是（

）A．将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称B．点为图象的一个对称中心C．D．在区间上单调递减8．已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．9．正方体，棱长为2，正方体的内切球记为球O，则球O与三棱锥的公共部分的体积记为，三棱锥的体积记为，则（

）A． B． C． D．第II卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10．i是虚数单位，_________．11．在的展开式中的系数为______．12．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________．13．已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________．14．已知M是内的一点，且，若，且，，三点共线，则实数的值为_________；若，则向量在向量上的投影向量为_________．15．已知函数与直线有4个交点，则a的取值集合是______．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．17．如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正切值；(3)求点M到平面的距离．18．已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，且．(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与轴的正半轴交于点，过点与平行的直线交轴于，若在直线上存在点，使得，求直线的方程．19．已知数列是等比数列，数列为正项等差数列，其前n项和为．(1)求和的通项公式；(2)若，记数列的前4n项和．（i）求；（ii）证明：．20．设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，讨论的单调性；(3)在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【详解】因为，所以.2．A【分析】利用充分不必要条件判断即可.【详解】由可知，所以，所以充分性成立，当时，满足，但是不成立，所以必要性不成立，故选：A．3．B【详解】由，得，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除CD；由于足够大时，函数的增长速度远远超过的增长速度，则时，，排除A，因此B符合题意.4．D【分析】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可.【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程，解得，.正确.对于选项B，成绩在的频率为：，所以频数为，正确.对于选项C，前3个小长方形的面积和为，而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于.即中位数一定出现在内，正确.对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和，即.所以D不正确.5．D【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较大小【详解】，因为在上单调递减，所以，即，在上单调递增，所以，即，，因为在上单调递增，所以，所以，所以6．A【详解】由得，，即.则，由得，所以.7．D【分析】根据已知条件，得出是正弦函数对称轴，即可求出，再结合正弦函数性质逐项分析判断.【详解】由函数在处取得最值，则图象关于直线对称，得，而，则，，所以.对于A，将的图象向右平移个单位长度后得，函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，A错误；对于B，，所以点不是图象的对称中心，B错误；对于C，，C错误；对于D，当时，，正弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，D正确.8．C【分析】根据锐角三角函数定义，结合渐近线的倾斜角、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】设直线与横轴的交点为，根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为，在直角中，设，因为，即，于是，因为的面积为，所以，，所以由，所以双曲线的方程为.9．B【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心，根据对称性可知三棱锥的体积占整个正方体的，则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为，即，三棱锥的体积记为，则.10．【详解】.11．20【详解】因为的展开式中的项为，所以的展开式中的系数为.12．【分析】根据题意求得，进而可得圆的方程，再利用几何法可得.【详解】抛物线的准线为，因为点在上，所以，得，所以抛物线的焦点为，线段的中点坐标为，，所以以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，则，.13．##【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空.【详解】由题意可得，所以；记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”，则,所以.14．【分析】根据平面向量的线性运算结合共线定理即可得的值；由的值可得的值，代入投影向量公式计算即可.【详解】因为，整理得，则不在边上，又，，所以，因为，，三点共线，所以，解得；，所以，所以向量在向量上的投影向量为.15．【分析】将问题转化为图象交点个数问题，结合图象求解.【详解】令，则问题即函数与函数有个交点，又，且在单调递增，当时，单调递减，且，时，；又当时，在单调递增，在单调递减，且时，当时，，当时，；当时，单调递增，且作出函数图象如图所示，则直线和直线与函数有4个交点，所以的取值集合是.故答案为：.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根据余弦定理可求的值.（2）根据（1）的结论，先求的值，再利用正弦定理可求的值.（3）利用二倍角公式和两角和的余弦公式化简求值.【详解】（1）由题可知，，可得，由余弦定理，可得.（2）由题，由正弦定理得，因为，所以，即，由（1），所以，得.（3）由（1）可知，所以为钝角，为锐角，所以，因为，，所以.17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.【详解】（1）在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，因为平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为，因为，平面，

所以平面；（2）因为y轴⊥平面BDM，所以平面BDM的一个法向量为，，

设平面BCD的一个法向量为，，取，则，所以，

设平面BCD与平面BDM的夹角为，，，

所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为；（3），设点M到平面BCD的距离为d，.18．(1)(2)【分析】（1）由顶点坐标、两点间距离公式以及平方关系和离心率公式列出方程组，联立求解即可得解；（2）设直线方程，联立椭圆方程得到的坐标，再由得到的坐标，最后根据求出的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）如图所示，设直线的方程为则且由得，，得，由韦达定理，所以，所以，则，因为，所以，所以直线的方程为，所以，因为，所以点为的中点，即，因为点在直线上，所以，即，因为，所以，即，因为，所以，所以直线l的方程为．19．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）直接根据题意列方程组求公比和公差即可；（2）（i）先求的表达式，再结合等差数列求和公式求解即可；（ii）利用错位相减法求出的表达式后直接比较即可．【详解】（1）设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得，也即，解得，所以．（2）（i）由题意得，，，显然数列是等差数列，．（ⅱ）证明：，记，，，两式相减，得，，，，得证．20．(1)(2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减(3)【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导后分、和讨论求解即可；（3）将问题转化为成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案.【详解】（1）依题意，所以,，

又函数在处的切线方程为，即．（2）当，①当时，，在单调递增，

②当时，，在单调递减，

③当时，令，解得则当