2026届湖南省邵阳市高三上学期第一次联考数学试卷

2026届湖南省邵阳市高三上学期第一次联考数学试卷一、单选题1.已知集合，则（）

A．B．C．D．2.已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（）

A．B．C．D．3.设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（）

A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4.已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（）

A．B．C．D．5.已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（）

A．B．C．D．6.已知实数满足，则（）

A．B．C．D．7.已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（）

A．3B．4C．5D．68.设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（）

A．B．C．D．二、多选题9.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（）

A．的方程为B．C．的渐近线方程为D．当时，的面积为310.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A．B．若，则C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称11.已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（）

A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或三、填空题12.设等比数列的前项和为，若，，则___________．13.已知多项式，若，则___________．14.已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________．四、解答题15.在中，内角的对边分别为．已知．(1)若，，求的外接圆的半径；(2)若，求的面积．16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点．(1)当为棱的中点时，证明：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．17.国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立．(1)求比赛结束时恰好进行了3轮比赛，且甲班团队获得冠军的概率；(2)（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数的分布列及数学期望；（ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率．18.已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，过的直线交椭圆于两点，的周长为8．(1)求椭圆的方程；(2)过点且与垂直的直线与椭圆相交于两点，在轴的上方，分别为线段，线段的中点，直线与直线相交于点．（i）直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（ii）求的面积的最小值．19.若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”．(1)判断函数是否为区