初中数学九年级下册“数形共生建模用模”-第五章《二次函数》小结与思考教学设计

初中数学九年级下册“数形共生，建模用模”——第五章《二次函数》小结与思考教学设计

一、教学分析

（一）教学内容解析

【大概念统摄下的单元重构】本章是苏科版初中数学九年级下册第五章的内容，是初中阶段函数学习的“收官之作”。它不仅是此前学习的一次函数、反比例函数的延续与深化，更是初高中函数衔接的桥梁。本次小结与思考，并非简单的知识点罗列与重复训练，而是基于“大概念”的统摄，引导学生将碎片化的知识整合为结构化的认知体系。其核心大概念在于“模型思想”与“数形结合”：二次函数是刻画现实世界变量关系的另一种重要模型，其图象的抛物线形态蕴含了丰富的几何性质与代数属性。

【非常重要】本次复习的核心在于帮助学生构建“定义—图象—性质—应用”的知识链，打通“数”与“形”的任督二脉，深刻理解解析式中的系数（a、b、c）与图象特征（开口、顶点、对称轴、位置）之间的内在对应关系。同时，要突出二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，从“函数观点”居高临下地审视方程与不等式问题，实现知识的融会贯通。

（二）学情分析

【基础】知识储备上，学生已经系统学习了一次函数、反比例函数，并初步掌握了二次函数的图象与性质，会解决简单的实际问题。能力基础上，学生具备了一定的识图能力和简单的逻辑推理能力，但对于函数知识的综合运用，尤其是动态问题、存在性问题以及需要数学建模的实际问题，往往感到力不从心。

【难点】学生可能存在的思维障碍包括：1.对二次函数中参数（a、b、c、△）几何意义的理解停留在表面，无法灵活应用于图象判别；2.将实际问题抽象为二次函数模型时，自变量的取值范围容易出错；3.在综合题中，缺乏“化动为静、分类讨论”的解题策略；4.数形结合的意识和深度不足，难以通过图象直观洞察代数性质。

（三）核心素养聚焦

本节课着力发展的核心素养包括：

1.【核心】数学抽象：能从现实情境或复杂图形中抽象出二次函数的数量关系及变化规律。

2.【核心】逻辑推理：能根据函数解析式推导出图象性质，能利用函数观点推理方程解的情况。

3.【核心】数学建模：经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的全过程，发展模型观念。

4.直观想象：借助图象理解函数性质、分析方程根的情况、解决最值问题。

5.数学运算：准确进行待定系数法求解析式、配方法化顶点式等基本运算。

二、教学目标与重难点

（一）教学目标

1.知识与技能：熟练掌握二次函数的三种表示方式（解析式、图象、表格）及其相互转化；能熟练运用待定系数法求解析式；能根据解析式或图象说出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性；理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系。

2.过程与方法：通过知识树或思维导图的构建，形成系统化知识结构；通过典型问题的探究，深化数形结合、分类讨论和建模的思想方法；通过对实际问题的分析，经历“发现、提出、分析、解决”的全过程。

3.情感态度与价值观：在解决具有挑战性的综合问题中，培养不畏困难、勇于探索的科学精神；在小组合作交流中，增强团队协作意识；感受数学的内在美与实用价值。

（二）教学重难点

4.【重要】教学重点：建立二次函数知识体系，灵活运用二次函数的图象与性质解决问题。

5.【高频考点】【难点】教学难点：数形结合思想的深度应用，尤其是含参问题、最值问题、抛物线与几何图形综合问题，以及实际问题的数学建模。

三、教学设计思想（素养导向的“学做课堂”）

本节课秉持“以做促融，数形共生”的理念-2，采用“课前自主建构—课中深度探究—课后拓展延伸”的三段式教学模式。课中以“任务驱动”为主线，设计一系列有层次、有逻辑的探究活动，让学生在“做数学”的过程中，经历知识的回顾、方法的提炼、思想的感悟。教师角色从“讲授者”转变为“引导者”和“合作者”，为学生搭建“脚手架”，留足思维空间，让核心素养在课堂上真实发生。

四、教学实施过程（核心环节）

本次小结与思考共设计为2课时。第1课时侧重知识体系构建与基础能力过关；第2课时聚焦思想方法升华与综合问题探究。

第一课时：知识重构与基础过手——构建我的“二次函数”认知地图

（一）课前准备阶段（前置性学习）

1.【基础】教师活动：发布“课前自主梳理单”。要求学生用自己喜欢的方式（如思维导图、知识树、表格等）整理本章知识，内容包括：二次函数定义、三种解析式形式、图象与性质（a、b、c、△的作用）、图象变换（平移）、与方程不等式的关系、实际应用的一般步骤。同时，完成几道基础诊断题，如：判断函数类型、根据图象判断系数的符号等。

2.学生活动：独立完成知识梳理，并尝试绘制结构图。通过诊断题自查薄弱环节，带着问题走进课堂。

（二）课堂实施环节（45分钟）

3.导入：展示与交流（5分钟）

【活动】选取几份具有代表性的学生思维导图（结构清晰的、创意独特的、存在遗漏的），通过实物展台或多媒体进行展示。请作者简要介绍自己的构建思路。

【教师引导】“同学们用自己的方式重构了本章的知识大厦，非常棒！今天，我们就以此为蓝图，进一步添砖加瓦，让这座大厦更加坚固。”顺势引出课题——二次函数小结与思考（一）。

4.环节一：体系共建——核心知识精析（15分钟）

【重要】本环节旨在帮助学生突破易错点，深化对核心知识的理解，不追求面面俱到，而是直击要害。

（1）聚焦一：系数的“几何意义”大揭秘

教师利用几何画板（或动态课件）动态演示二次函数y=ax²+bx+c的图象。

【演示1】改变a的大小和符号，观察开口方向和大小的变化。强调：a的符号决定开口方向，|a|决定开口大小。

【演示2】保持a不变，改变b，观察对称轴x=-b/(2a)的变化。引导学生理解a、b的符号共同决定对称轴的位置（左同右异——即对称轴在y轴左侧时a、b同号；在右侧时a、b异号）。

【高频考点】【演示3】改变c，观察图象与y轴交点(0,c)的上下移动。强调c是图象与y轴交点的纵坐标。

【演示4】改变抛物线与x轴的交点个数，引导学生观察判别式△=b²-4ac的变化。总结：△>0<=>与x轴有两个交点；△=0<=>有一个交点（顶点在x轴上）；△<0<=>无交点。

（2）聚焦二：解析式的“选贤任能”

教师出示三个条件：

①抛物线过三点（-1，0）、（3，0）、（0，-3）；

②抛物线顶点为（1，-4），且过点（2，-3）；

③抛物线过点（-1，0）、（3，0）、（0，-3）【与①条件相同，但强调与x轴交点】。

【问题】你会为它们分别选择哪种形式的解析式？为什么？

学生小组讨论，派代表回答。

师生共同总结：

已知任意三点通常设一般式y=ax²+bx+c（通用）；

已知顶点设顶点式y=a(x-h)²+k（优先）；

已知与x轴的两个交点(x₁,0)(x₂,0)设交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)（便捷）。

并强调，最后结果通常要化为一般式。

5.环节二：变式闯关——基础能力通关（20分钟）

本环节设计一组由浅入深的变式题，以学生独立练习、板演、互评的方式进行。

【基础关】已知抛物线y=x²-2x-3。

（1）求抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴。

（2）画出函数的大致图象，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大？当x为何值时，y>0？

【设计意图】考查配方法、基本性质及数形结合的初步应用。

【提升关】将抛物线y=x²-2x-3先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得新抛物线的解析式。

【设计意图】考查图象的平移规律（“左加右减，上加下减”要落实到x和y上，可引导学生用顶点式进行变换，避免出错）。

【拓展关】已知抛物线y=x²-2x+m。

（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值及交点坐标。

（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，求m的值。

【设计意图】将函数问题转化为方程根的判别式及根与系数关系（韦达定理）问题，体现函数与方程的联系。

教师在学生练习过程中巡回指导，重点关注学困生，及时纠正典型错误。练习结束后，针对学生出现的共性问题进行精讲点拨。

6.环节三：课堂小结与作业布置（5分钟）

（1）学生谈收获：通过本节课的复习，你对二次函数有了哪些新的认识？解决了哪些困惑？

（2）教师总结升华：强调本章的核心是“数形结合”，系数是“数”，图象是“形”，二者互为表征。我们要练就“由图想数，由数思图”的本领。

（3）分层作业：

【必做】完成课本复习题中基础部分。

【选做】搜集一道你认为最能体现“数形结合”思想的二次函数题，准备下节课分享。

第二课时：思想升华与综合应用——挑战“二次函数”高阶思维

（一）课堂实施环节（45分钟）

1.导入：好题分享，点燃思维（5分钟）

【活动】邀请2-3名学生展示他们搜集的“数形结合”好题，并简要说明推荐理由或自己的解题困惑。教师将题目关键词板书在黑板上，如“最值问题”、“存在性问题”、“拱桥问题”等，自然引出本课主题——二次函数小结与思考（二）：思想方法与综合应用。

2.环节一：建模用模——生活中的数学（15分钟）

【热点】本环节聚焦“用二次函数解决问题”，即数学建模。

情境呈现：某公司推出一种新产品，其成本为每件20元。经市场调查发现，当售价为30元时，每月可售出200件；售价每增加1元，月销售量将减少10件；售价每降低1元，月销售量将增加10件。设售价为x元/件（x≥20），月利润为y元。

【问题串】：

（1）请写出月销售量q（件）与售价x（元）之间的函数关系式（需写出x的取值范围）。

（2）请写出月利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式。

（3）当售价定为多少时，可获得最大月利润？最大利润是多少？

（4）结合函数图象，若公司要求月利润不低于2000元，那么售价应定在什么范围？

【教学过程】：

①建模指导：引导学生分析问题中的基本量：成本、售价、单件利润、销售量。理清变化关系：“每增加1元，减少10件”是建立函数模型的关键句。让学生独立思考，尝试写出关系式。

②小组交流：四人小组内交流各自的函数表达式，重点讨论自变量的取值范围。例如，销售量不能为负数，因此x不能无限大；x不能低于成本20元。

③展示评价：请一个小组代表板演整个过程。

④回归模型：第（3）问是利用二次函数顶点式求最值；第（4）问是利用一元二次不等式（或结合图象观察）确定范围，进一步巩固函数、方程、不等式三者的关系。

⑤思想升华：教师强调，解决实际问题时，建模是基础，但“验模”同样关键——求得的最值是否在自变量取值范围内？结果是否符合实际意义？

3.环节二：数形共舞——代数与几何的融合（20分钟）

【难点】【高频考点】本环节设计一道抛物线与几何图形结合的综合性问题，提升学生的思维层次。

例题呈现：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，连接BC。点P是直线BC上方抛物线上的一个动点（不与B、C重合）。

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标。

（2）过点P作PD⊥x轴，交BC于点D。求线段PD的最大值及此时点P的坐标。

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【教学过程】：

第一步：破题引入。教师引导学生审题，明确这是一个“动点在抛物线上运动，求相关线段最值及存在性”的综合题。

第二步：梯度搭建。

第（1）问，【基础】用待定系数法（交点式或一般式）求解析式，绝大多数学生可以轻松完成，快速过关。

第（2）问，【重要】是解题的关键。

【引导】PD的长度如何表示？P、D两点的坐标有何联系？（P在抛物线上，D在直线BC上，且横坐标相同）。

【追问】要求PD的最大值，第一步该做什么？（先求出直线BC的解析式）。

学生独立完成直线BC解析式的求解（C点坐标易求为(0,3)）。

教师引导：设P点坐标为(m,-m²+2m+3)，则D点坐标如何表示？(m,-m+3)。

学生得出：PD=y_P-y_D=(-m²+2m+3)-(-m+3)=-m²+3m。

再问：m的取值范围是什么？(0<m<3)。

最后，将PD表示为关于m的二次函数，通过配方法求最值。

第三步：深度探究。

第（3）问，【难点】是存在性问题。

【引导】△QAB与△PAB有共同的底AB。要使面积相等，只要高相等。即，只要Q点到x轴的距离等于P点到x轴的距离。

【追问】P点在第（2）问中已经求出，其纵坐标y_P是一个定值。那么，满足条件的Q点可能在哪些位置？（在x轴上方，且与P点纵坐标相等；也可能在x轴下方，纵坐标互为相反数）。

引导学生分情况讨论：情况一，y_Q=y_P，解方程求横坐标；情况二，y_Q=-y_P，解方程求横坐标。最后验证Q点是否与P点重合，是否在抛物线上的合理位置。

第四步：总结提炼。师生共同总结此类“铅垂高”问题（即PD的长度）的解题通法：用同一变量表示两个点的坐标，代入函数解析式，将几何量（线段长）转化为代数式（二次函数），进而利用函数性质解决最值问题。同时，提炼存在性问题的基本策略：“假设存在—推理求解—验证结论”。

4.环节三：反思沉淀，构建模型（5分钟）

（1）学生畅谈：通过这节课的综合练习，你对“数形结合”又有了哪些更深的理解？在解决最值问题和存在性问题时，你学到了哪些策略？

（2）教师绘制思维导图板书（或动态生成），将本课两课时的内容整合起来，形成一个完整的知识-方法-思想的三维结构图。强调：

知识线：定义→图象→性质→应用。

方法线：待定系数法、配方法、图象法、建模法。

思想线：数形结合、函数与方程、分类讨论