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文档简介

2.1导数的概念

微积分学的创始人:

德国数学家Leibniz

导数研究变化率问题微分研究函数增量问题英国数学家Newton牛顿（1642-1727）莱布尼茨（1646-1716）微积分学微分学积分学

变速直线运动物体的运动方程为s=s(t),

则在t与t0之间平均速度t0时刻的瞬时速度？t0t△t2.1导数的概念

变速直线运动物体的瞬时速度问题引例1牛顿称为“流数”即现在的“导数”

牛顿的方法无穷小是什么？

无穷小量既不是0，

又不是非0的量，

岂不成了量的“鬼魂”？贝克莱质疑

贝克莱悖论第二次数学危机19世纪柯西的极限理论澄清了此问题

当△t→0时，平均速度的极限就是物体在时刻时的瞬时速度什么是无穷小？函数f(x)以0为极限，则称函数f(x)为该变化过程中的无穷小量极限做为研究工具抽象出概念

抽象出导数的概念研究对象函数y=f(x)s=s(t)研究问题变化率研究工具极限导数导数的概念

1.导数的定义导数的几何意义切线问题：

求曲线的切线斜率引例2

导数的几何意义MxyoT

导数的几何意义导数的概念有了导数概念，前面两个引例中的问题可以重述为：导数定义的不同形式差商导数的概念◆单侧导数

左导数（derivativeontheleft）

右导数（derivativeontheright）定理：函数在x0处可导的充要条件函数在点x0处可导左导数和右导数都存在，并且相等。导数的概念若函数y=f(x)

在开区间（a,b)内可导。这时，对于区间

（a,b)内每一点x,都对应着一个确定的导数值，这样就确定了一个新的函数，这个函数称为原来函数y=f(x)

的导函数（简称导数derivative），记作：导函数的概念导数的概念导数的概念求导步骤求导举例求导举例解

（1）（2）（3）这就是说，常数函数的导数等于零，即.求导举例解

（1）

（2）

（3）

即

.类似地可以推导出:

基本初等函数的求导公式导数的几何意义MxyoT法线是过切点且与切线垂直的直线的切线方程为法线方程为导数几何意义的应用导数的几何意义解

由于，由导数的几何意义，切线的斜率为，

故所求的切线方程为

即

.法线方程为

即

.例3求函数在点(2,4)处的切线方程和法线方程函数的可导性与连续性的关系定理：函数f(x)在某点可导，则在该点必连续反之，在某点连续的函数在该点不一定可导连续可导导数的概念例4讨论函数f(x)=|x|

在点x=0的连续性和可导性xyO故函数f(x)=|x|

在点x=0连续故函数f(x)=|x|

在点x=0不可导

连续不一定可导解连续但不可导函数举例★

y

y=|x|

O

x0

yy=f(x)

O

x导数的概念

导数是研究函数变化率问题的对导数概念的几点认识

导数的物理意义是瞬时速度导数的几何意义是曲线在一点处的切线斜率

练习

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