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都是无穷小量是无穷小量是无穷小量与与无穷小举例1.4无穷小与无穷大

1.4.1无穷小的定义

无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数，常数中只有0是无穷小。无穷小的判断准则

无穷小与自变量的变化过程有关，如时是无穷小，但时，则不是无穷小。

即其中定理1

无穷小的说明

极限与无穷小

无穷小性质2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。性质1有限个无穷小的代数和，仍是无穷小。性质4有限个无穷小的乘积，仍是无穷小。性质3常数与无穷小的乘积，仍是无穷小。

无穷小的性质

无穷小的性质因为所以同理例1求解

无穷小的性质特别：若比值的极限为1，称为等价无穷小。

无穷小的比较无穷小能比较大小吗？定义3

无穷小的比较

无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度：高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。

无穷小的比较常用等价无穷小无穷小的比较

以下函数为等价无穷小求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可用等价无穷小来替换。适当替换可以简化极限的计算。等价无穷小替换定理无穷小的比较

例2例3求极限解原式注意：如果，则，但是不等价。

无穷小的比较

如果函数f(x)在某个变化过程中，函数的绝对值可以无限增大，那么就称f(x)是此变化过程的无穷大。只有一种趋势包括两种趋势无穷大的定义函数在某一变化过程中为无穷大，是极限不存在的一种形式，写成这种形式只是为了表述方便。

无穷大

观察函数y=1/x的图像再考察函数y=lnxxyoy=1/xyxoy=lnx无穷大

3、无穷大与无穷小的计算不能想当然，以下为未定式：2、无穷大也是相对自变量的某一变化过程而言的，不能笼统而言。1、无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。无穷大

无穷小和无穷大的关系在同一极限变化过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。无穷小和无穷大的运算法则在自变量的同一变化过程中，如果f(x)是无穷大，那么1/f(x)是无穷小；反之，若f(x)是无穷小且f(x)≠0，那么1/f(x)是无穷大。无穷小与无穷大

无穷小(大)是变量，零是唯一的无穷小的数关于无穷的几点认识无穷个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小

无界变量未必是无穷大

练习1.4无穷小与无穷大

利用无穷小性质求解悖论：如果先让乌龟爬行一段路后，再让阿基里斯去追，那么阿基里斯是永远也追不上乌龟的。理由：阿基里斯追上乌龟之前，必须先到达乌龟的

出发点，而这段时间内，乌龟又向前爬行了

一段路，于是阿基里斯必须赶上这段路，

可是乌龟又向前爬行了一段路……，如此

分析下去，阿基里斯离

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