（教师版）平面向量的数量积题型八：综合运用专项训练20252026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2页，共17页《平面向量的数量积》题型八：综合应用卷首导学本卷定位数量积的综合应用是平面向量模块的集大成者，将数量积与三角形的“四心”、解三角形、平面几何图形等知识深度融合.此类题目常作为解答题的压轴问或选择填空的难题出现，分值约10–15分.能做好本卷，说明对数量积的理解已到融会贯通的境界.核心易错点不会将几何条件转化为向量条件——如三角形重心对应向量和为零，垂心对应数量积相等，内心对应角平分线方向向量.转化能力是综合题的第一道坎.与解三角形结合时，分不清何时用正弦定理、何时用余弦定理、何时用数量积——数量积用于已知两边及夹角求对边，正弦定理用于已知两角一边或两边一对角.综合题中需灵活切换.平面几何图形中向量选取不当——在复杂图形中，选错基底会导致运算量激增甚至无法进行.优先选图形中天然的垂直或相等关系作为建系依据.综合题步骤多，中间某步出错导致全盘皆输——务必步步为营，每一步都写清楚所用定理和公式.训练目标掌握三角形“四心”的向量表达及其与数量积的结合方式.能熟练运用数量积解决解三角形中的边角关系问题.能在复杂平面几何图形中灵活选取基底或建系，用数量积求解几何量.形成“几何条件→向量表达→数量积运算→几何结论”的完整解题链条.建议用时：60–70分钟.使用说明：本卷题目综合性强，涉及前七个专题的知识点，建议在完成前七张专项卷后再做本卷.解答题需写出完整的推理过程，注意每一步的向量表达和数量积运算的规范书写.

试卷正文一、单选题（每题5分，共20分）1.在中，点M是BC的中点，，点P在AM上，且满足，则等于（） A.   B.   C.   D.【答案速览】A【详细解答】由AM=1，AP=2PM，得PM=AM，AP=AM.点P是△ABC中线的三等分点，恰为△ABC的重心.由重心性质：，故.则.由AP=，故，得.【易错警示】常见错误①：重心向量性质记错.重心G满足.常见错误②：AP=2PM时，误认为P靠近M，把模长算错.AP:PM=2:1，AP占AM的.常见错误③：数量积运算时符号弄错.【规律总结】遇到中线上的分点问题，优先判断是否为重心.若为重心，直接利用化简表达式，可避免复杂的坐标运算.2.已知向量，且，则的最大值为（） A.1   B.2   C.   D.4【答案速览】B【详细解答】.由，可设.又，则，，即，.于是.当时，取得最大值2.【易错警示】常见错误①：共线条件用错.写成垂直条件则全错.常见错误②：解出参数后代入时符号弄错.常见错误③：二次函数求最值时未注意开口方向.【规律总结】向量与函数结合求最值，关键是利用向量关系建立参数方程，将目标量表示为参数的函数，再用函数方法求最值.3.某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（） A.   B. C.   D.【答案速览】B【详细解答】设两胳膊的拉力为，夹角为，且.由平衡条件，平方得.代入模长：，得，.故.【易错警示】常见错误①：力的合成公式用错.正确为.常见错误②：特殊角余弦值记错.【规律总结】物理中的力与向量结合，关键是画出受力分析图，将力用向量表示，根据平衡条件列向量等式，再用数量积转化为模长方程.4.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，则（） A. B. C. D.【答案速览】AC【详细解答】对于A：由正五角星的对称性，，正确.对于B：，而，两者不相等，错误.对于C：由，故，正确.对于D：，系数计算有误，错误.故选AC.【易错警示】常见错误①：对正五角星中线段的比例关系不熟悉.常见错误②：向量加减法时方向容易写反.常见错误③：黄金分割比的倒数运算出错.【规律总结】正五角星中的向量问题，核心是利用几何对称性和黄金分割比例.解题时先分析图形中各线段的比例关系，再将向量用已知比例关系的线段表示.二、填空题（每题5分，共20分）5.在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且.则的取值范围是______.【答案速览】【详细解答】由得，同理，故O为△ABC的外心.延长AO交外接圆于D，则AD为直径，.由得，解得.代入得.当时取最小值，当时趋于0，当时趋于2，故范围为.【易错警示】常见错误①：外心向量性质应用不熟练.常见错误②：直径所对圆周角为直角的投影应用.常见错误③：由求b的范围时忘记b>0.【规律总结】外心与数量积的综合题，核心是利用外心到三顶点等距的性质，结合几何投影将向量数量积转化为边长平方.6.如图，在四边形ABCD中，为等边三角形，，则______.【答案速览】18【详细解答】由，得，故，即，则.由得，故.△ACD为等边三角形，，，故.【易错警示】常见错误①：未先判断△ABC的形状.常见错误②：向量减法方向写反.常见错误③：等边三角形内角记错.【规律总结】几何图形中求数量积，先分析图形特征，将目标向量向已知模长和夹角的向量转化.7.十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则______.【答案速览】【详细解答】由，三角形三个角均小于120°，故费马点P满足.设，由面积关系：.则，化简得，同理另两项均为乘以对应乘积.三者和为.【易错警示】常见错误①：费马点的角度记成60°.常见错误②：面积公式代入数值出错.常见错误③：数量积与夹角余弦的对应关系记反.【规律总结】费马点问题与数量积结合，核心是利用三个120°夹角和面积拆分建立模长乘积的关系式，进而求出数量积的和.8.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥CB，，，，E为CD上一点，且，设，若F为线段AB的中点，则______；若F为线段AB上的动点，则的最大值比最小值大______.【答案速览】1；【详细解答】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建系.由AB⊥AD，AB=2，AD=，得A(0,0)，B(2,0)，D(0,).由CD⊥CB，，过C作CG⊥x轴于G，作CH⊥y轴于H，由几何关系可求得C().由，得E分CD为CE:ED=1:2，可求得E().当F为AB中点时，F(1,0)，代入，解得，故.当F为AB上的动点时，设F(m,0)，m∈[0,2]，由向量等式解出，结合m范围得，最大值与最小值之差为.【易错警示】常见错误①：建系后C点坐标求错.常见错误②：向量等式列写时方向符号出错.常见错误③：求μ范围时未考虑m的定义域.【规律总结】复杂四边形中的向量问题，建系坐标法是首选.步骤：分析图形中的垂直关系选原点→求出各点坐标→将向量条件转化为坐标方程→求解参数并求范围.三、解答题（共35分）9.（10分）如图所示，是边长为1的正三角形，点四等分线段.（1）求的值；（2）若点Q是线段上一点，且，求实数m的值.【答案速览】（1）  （2）【详细解答】（1）以点A为原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系.则A(0,0)，B(1,0)，C().由四等分线段BC，可得各分点坐标：，.也可直接计算坐标：，.计算.相加得.由为靠近C的四等分点，.点Q在上，设.又已知.对比系数得，解得.代入得.【易错警示】常见错误①：四等分点坐标计算错误.BC四等分，靠近B，靠近C.常见错误②：向量相等对比系数时，基底不共线是前提.常见错误③：定比分点公式应用不熟练.【规律总结】正三角形中的向量问题，建系坐标法最为直观.分点问题可用定比分点坐标公式或向量线性表示.设参后用基底对比系数求参数是通法.10.（12分）已知.是否存在实数使与垂直？【答案速览】存在，【详细解答】由得，代入模长得，解得.若，则.展开得.代入：，即，.检验可知存在.【易错警示】常见错误①：展开时漏掉中间项系数2.常见错误②：解方程时符号和分数运算出错.【规律总结】已知三向量和为零及模长，通过平方建立数量积方程求，再代入垂直条件求参数.

11.（13分）（1）在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值；（2）在中，，，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若，求的最大值.【答案速览】（1）  （2）【详细解答】（