四川省泸州市泸县第五中学2022届高三二诊模拟考试数学（理）试题

II卷主观题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为_____________.14.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________15.已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点,且的面积为则____.16.已知函数为奇函数，，若函数与图像的交点为，则________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）期中考试后,老师把学生的成绩分为较低、及格（不含优秀）、优秀三类,制成下表．类别较低及格优秀人数7其中低分率与优秀率分别是与．(1)求全班人数及,的值；(2)老师重点关注成绩较低的及成绩优秀的学生,利用课外时间给他们的家长打电话做电话家访,为了保证电话家访的质量,他每天随机打给三位学生的家长,求在第一天老师抽取的三位学生中成绩优秀者的人数的分布列及数学期望．18.（12分）在中，分别是内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.19.（12分）如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；20.（12分）已知椭圆的中心在原点,左焦点右焦点都在轴上,点是椭圆上的动点,的面积的最大值为,在轴上方使成立的点只有一个.(1)求椭圆的方程；(2)过点的两直线分别与椭圆交于点和点,且,比较与的大小.21.（12分）已知函数.(1)若函数在上是单调函数,求实数的取值范围;(2)当时,为函数在上的零点,求证:.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点的极坐标为，为曲线上的动点，求的中点到曲线的距离的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲]（10分）已知函数.(1)解关于的不等式;(2)若函数的最小值记为，设均为正实数，且,求的最小值.泸县五中高2019级高三二诊模拟考试理科数学参考答案1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.A 7.C 8.B.9.B10.A11.B 12.A13.6 14.8 15.2 16.3m17.(1),,．(2)需要家访的共10人,其中成绩优秀的有4人,；；；,0123．18.（1）把整理得，,由余弦定理有,.（2）中，，即，故，由已知可得,,整理得.若，则，于是由，可得，此时的面积为.若，则，由正弦定理可知，，代入整理可得，解得，进而，此时的面积.∴综上所述，的面为.19.（1）在三棱柱中，平面，四边形为矩形.又分别为的中点，又平面平面平面.（2）由（1）知，由平面，平面.如图建立空间直角坐称系.由题意得设平面的法向量为，，，令，则，平面的法向量，又平面的法向量为，.所以二面角的余弦值为.20.(1)根据已知设椭圆的的方程为，∵在轴上方使成立的点只有一个，∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点，当点是短轴的端点时,由已知可得,解得，∴椭圆的方程为，(2).若直线的斜率为0或不存在时,,且,或,且，由，，∴.若的斜率存在且不为0时,设，由可得设,则，∴，同理可得，∴，∴综上所述.21.（1），当函数在上单调递减，则在上恒成立，即，设，则，，所以，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，，故，当函数在上单调递增时，则在上恒成立，即，由上可知，故，综上所述，实数的取值范围为或.（2）当时，，故，，由于和在上单调递增，在上单调递增，，故在上单调递减，，所以存在唯一的，使得，在上单调递增，在单调递减，又，所以函数在上的零点.即，要证，即证，设，则，显然在上恒恒成立，所以在上单调递增，，故原不等式得证.22.（1）因为，所以，得.又，所以的普通方程为，将代入曲线的极坐标方程，得曲线的直角坐标方程为.（2）由点的极坐标，可得点的直角坐标为.设点，因为为的中点，所以将代入的直角坐标方程得，即在圆心为，半径为1的圆上.所以点到曲线距离的最大值为，由（1）知不过点，且，即直线与