2026年《数字信号处理》FFT算法与应用真题及答案

2026年《数字信号处理》FFT算法与应用真题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.对长度为N=1024的实序列x[n]进行基2-FFT运算，所需复数乘法次数约为A.5120  B.10240  C.20480  D.1024×log₂1024答案：A2.若X[k]为x[n]的N点DFT，则利用FFT计算X[k]时，输入序列x[n]必须满足A.长度N为2的整数幂  B.长度N为质数  C.长度N为任意正整数  D.长度N为3的整数幂答案：A3.在按时间抽取（DIT）基2-FFT流图中，第m级蝶形运算的旋转因子W_N^r的r值由下列哪一项决定A.蝶形输入节点序号  B.蝶形输出节点序号  C.蝶形所在级数与节点序号二进制反转  D.节点序号二进制码的最低m位答案：C4.对实序列x[n]做N点FFT，利用共轭对称性可一次计算两个实序列的FFT，此时第二个实序列应置于A.实部  B.虚部  C.奇数点  D.偶数点答案：B5.若采用Cooley-Tukey算法对N=2048点序列做FFT，其复数加法次数为A.Nlog₂N  B.2Nlog₂N  C.N(log₂N−1)D.Nlog₂N−N答案：A6.在FFT实现中，采用原位运算（in-place）的主要目的是A.降低运算量  B.节省存储空间  C.提高精度  D.减少截断误差答案：B7.对序列x[n]=cos(2πn/64)，n=0,1,…,63，其64点FFT幅度谱出现非零谱线的索引为A.1与63  B.2与62  C.0与32  D.4与60答案：A8.采用基4-FFT算法时，N必须满足A.N=4^m  B.N=2^m  C.N为质数  D.N为任意合数答案：A9.在FFT谱分析中，为减小栅栏效应，可采取A.补零  B.降采样  C.增加量化位数  D.减小窗长答案：A10.对x[n]做L点FFT后，频率分辨率Δf与采样频率f_s的关系为A.Δf=f_s/L  B.Δf=f_s·L  C.Δf=L/f_s  D.Δf=1/(f_sL)答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分；每题至少两个正确答案，多选少选均不得分）11.下列关于按频率抽取（DIF）基2-FFT的说法正确的是A.输入为自然顺序，输出为倒位序  B.每级蝶形运算后需乘以旋转因子  C.可进行原位运算  D.复数乘法次数与DIT相同答案：ACD12.造成FFT谱泄漏的原因包括A.时域截断  B.非整周期采样  C.补零  D.窗函数旁瓣答案：ABD13.下列窗函数中，主瓣宽度最窄的是A.矩形窗  B.汉宁窗  C.汉明窗  D.布莱克曼窗答案：A14.在嵌入式DSP实现N=256点FFT时，为提高运算速度可采取A.使用定点数  B.采用查表法存储旋转因子  C.启用硬件FFT加速器  D.降低采样率答案：BC15.对实信号x(t)以f_s=8kHz采样，欲用FFT做频谱分析并区分相距10Hz的两根谱线，下列做法可行的是A.截取时长0.2s  B.补零至8192点  C.采用切比雪夫窗  D.增加采样率至16kHz答案：AB三、填空题（每空2分，共20分）16.对N=512点序列，基2-FFT的复数乘法次数为________，复数加法次数为________。答案：2304，460817.若x[n]的8点DFT为X[k]，则X[0]=________。答案：∑_{n=0}^{7}x[n]18.采用256点FFT分析50Hz正弦信号，采样率f_s=1kHz，则谱峰出现的数字频率索引k=________。答案：round(50×256/1000)=1319.倒位序操作是指将索引n的二进制表示________后得到的新索引。答案：位反转20.在FFT流图中，旋转因子W_N^r=e^{−j2πr/N}，其中r的取值范围是________。答案：0≤r≤N−121.对实序列做N点FFT，其频谱满足X[k]=X[N−k]，该性质称为________对称。21.对实序列做N点FFT，其频谱满足X[k]=X[N−k]，该性质称为________对称。答案：共轭22.若窗函数主瓣宽度为Δω，则频率分辨率近似为________。答案：Δω23.采用重叠保留法进行长序列卷积时，相邻段重叠点数应等于________长度减1。答案：冲激响应24.在定点FFT中，为防止溢出，常在每级蝶形后右移________位。答案：125.对x[n]=δ[n]+δ[n−4]做8点FFT，则|X[k]|=________。答案：2|cos(πk/2)|四、简答题（每题6分，共18分）26.简述按时间抽取（DIT）基2-FFT的算法思想，并给出第一级蝶形运算的输入输出关系。答案：将N点DFT分解为两个N/2点DFT，分别计算偶数序号与奇数序号子序列的DFT，再组合得到完整DFT。第一级蝶形：X[k]=G[k]+W_N^kH[k]，X[k+N/2]=G[k]−W_N^kH[k]，其中G[k]、H[k]分别为偶、奇子序列的N/2点DFT。27.说明如何利用一次N点FFT计算两个实序列x₁[n]、x₂[n]的N点DFT，给出具体步骤。答案：构造复序列y[n]=x₁[n]+jx₂[n]，计算Y[k]=FFT{y[n]}，则X₁[k]=½(Y[k]+Y[N−k])，X₂[k]=−j/2(Y[k]−Y[N−k])。X₁[k]=½(Y[k]+Y[N−k])，X₂[k]=−j/2(Y[k]−Y[N−k])。28.解释频谱泄漏现象，并给出两种抑制泄漏的窗函数及其主瓣宽度、旁瓣峰值。答案：频谱泄漏由时域截断导致，能量从真实频率扩散到相邻谱线。汉宁窗：主瓣宽8π/N，旁瓣峰值−31dB；布莱克曼窗：主瓣宽12π/N，旁瓣峰值−57dB。五、计算与分析题（共57分）29.（10分）已知x[n]=cos(πn/4)，n=0,1,…,15。(1)求16点DFTX[k]的闭合表达式；(2)给出|X[k]|的数值序列。答案：(1)X[k]=∑_{n=0}^{15}cos(πn/4)e^{−j2πkn/16}=½∑(e^{jπn/4}+e^{−jπn/4})e^{−jπkn/8}=½[∑e^{jπn(1−k/2)}+∑e^{−jπn(1+k/2)}]，利用几何级数得X[k]=8δ[k−2]+8δ[k−14]。(2)|X[k]|：k=2,14处为8，其余为0。30.（12分）用基2-FFT计算N=8点DFT，输入序列x[n]={1,1,1,1,0,0,0,0}。(1)画出DIT流图并标出旋转因子；(2)逐级计算给出最终X[k]；(3)验证X[0]=4，X[4]=0。答案：(1)三级流图：第一级4组2点蝶形，旋转因子W_8^0；第二级2组4点蝶形，旋转因子W_8^0,W_8^2；第三级1组8点蝶形，旋转因子W_8^0…W_8^3。(2)逐级计算得：X[k]={4,1−j(1+√2),0,1+j(1−√2),0,1−j(1−√2),0,1+j(1+√2)}。(3)直接求和得X[0]=4，X[4]=0，与FFT结果一致。31.（10分）对连续信号x(t)=2cos(2π·100t)+3cos(2π·150t)以f_s=1kHz采样，截取0.1s数据，用1024点FFT分析。(1)给出离散序列长度N；(2)计算谱峰对应的索引k₁、k₂；(3)若改用汉明窗，求主瓣宽度并判断是否可区分两谱峰。答案：(1)N=0.1×1000=100点，补零至1024。(2)k₁=round(100×1024/1000)=102，k₂=round(150×1024/1000)=154。(3)汉明窗主瓣宽≈8π/N→Δf=4/(NT)=4/(1024×0.001)=3.91Hz，两谱峰相距50Hz>3.91Hz，可区分。32.（10分）采用重叠保留法计算长序列x[n]（长度10⁵）与h[n]={1,−1}的线性卷积，段长L=256，求：(1)每段重叠点数；(2)总段数；(3)复数乘法总量（利用256点FFT）。答案：(1)重叠M=1。(2)段数=ceil((10⁵+1−1)/(256−1))=392。(3)每段FFT两次，乘392×2×(256/2log₂256)=392×2×1024=802816次复乘。33.（15分）设计一快速卷积系统，要求实时处理采样率48kHz、帧长20ms的立体声信号（左右声道），滤波器h[n]长度为512点，DSP芯片单次1024点复数FFT耗时0.5ms，复数乘法耗时20ns。(1)计算每帧采样点数；(2)选择重叠保留参数使延迟≤25ms，给出段长L与重叠P；(3)估算单声道所需FFT次数与乘法次数，并判断是否满足实时。答案：(1)N=48000×0.02=9