雨课堂学堂在线学堂云《线性代数(1)（清华）》单元测试考核答案

第1题向量(389)是(369),(02−2)和(001)的线性组合，等价于三元一次方程组{3x=36x+2y=89x−2y+z=9有解，判断对错A正确B错误C不确定第2题向量(12)和(23)的全部实线性组合是AR2(平面)B一条直线C有限个点第3题任意两个2维向量的全部实线性组合是A点或直线B直线或平面C点、线或全平面第4题设u≠0∈R3，则集合{(xyz)∈R3|(xyz)⊥u}是A过原点直线B过原点平面第5题设u,v,w是R3中3个非零向量，设z是u,v,w的线性组合，即∃a,b,c∈R,z=au+bv+cw，则a,b,c满足A是唯一的B不唯一C唯一性依赖于u,v,w第6题下图ΔABC中，D是三条中线的交点，则向量AD→可写成AB→和AC→的线性组合为AAD→=13(AB→+AC→)BAD→=16(AB→+2AC→)CAD→=12(AB→+AC→)第7题设α=(a1b1c1),β=(a2b2c2),则α⋅β=Aa1a2+b1b2+c1c2B(a1a2b1b2c1c2)C|a1a2+b1b2+c1c2|第8题设x+y+z=0是R3中一过原点平面，则该平面上任一点对应的向量与(111)的内积等于A1B0C-1第9题设v=(34),w=(43),则v和w的夹角余弦等于A2325B2225C2425第10题设v=(abc)是一个3维向量，它和x,y,z轴夹角的余弦分别为cos⁡α,cos⁡β和cos⁡γ,则cos2⁡α+cos2⁡β+cos2⁡γ=A1B2C3第11题设α=(111),β=(001),α可写成两个向量之和α=α1+α2,使得α1和β垂直，α2和β平行，则Aα1=(110),α2=(001)Bα1=(100),α2=(011)Cα1=(101),α2=(010)第12题R3中最多_个向量，使得它们两两之间夹角为钝角？A3个B4个C5个第13题当c=_,d=_时，(148)=c(12)+d(31).A3,2B1,4C2,4第14题向量v=(13)和w=(10)的夹角余弦等于A1B12C13D14第15题α=(5−31−1)和β=(12−2−4)的内积等于A1B2C3D4第16题设||v||=5,||w||=3,则||v−w||的最小值为_,最大值为_.A2,5B4,6C2,8D3,6第17题设v=(12),令{w=(xy)|v⋅w=5},则长度最小的w=_.A(22)B(12)C(13)D(32)第18题若u和v,w均垂直，则v和w平行，对或错？A正确B错误第1题Ax=0有非零解,则AA的列向量线性相关BA的行向量线性相关C无法确定第2题Ax=0有非零解α≠0,则AA的列向量均和α垂直BA的行向量均和α垂直C无法确定第3题C=(−1100−1110−1),则C列向量的全部线性组合{b=(b1b2b3)|b=Cx,x∈R3}是A平面b1+b2+b3=0B平面b1−b2+b3=0CR3第4题若3阶矩阵A可逆，则A的列向量的全体线性组合形成A平面B直线CR3第5题A=(abcd),abcd≠0.若(ac)和(bd)平行,则(ab)和(cd)的关系是A平行B垂直C其他D不能确定第6题一个m维行向量，左乘一个m×n阶阵，得到一个____维行向量AmBnCmnDm,n中较小的第7题向量(1,4,5)和(x,y,z)的内积(或点积)可写成矩阵乘法Ax形式，则Ax=0的解是A和向量(1,4,5)垂直的平面B和向量(1,4,5)平行的平面C和向量(1,4,5)垂直的直线第8题E是一个2阶矩阵,满足E(xy)=(xy−x).则E=A(1−101)B(10−11)C(1−1−11)D(10−10)第9题A=(2112112112),α=(1112),则Aα=____A(345)B(3455)C(3,4,5,5)第10题A=(211233),x=(11),则Ax=____A(336)B(36)C(363)第11题令w1=(123),w2=(456),w3=(789),则(x1,x2,x3)=____时,有x1w1+x2w2+x3w3=0?A(−12,−1,12)B(32,−2,12)C(12,−1,12)D(0,−32,12)第12题设线性方程组(a111a111a)(x1x2x3)=(11−2)有无穷多个解,则a=____A1B3C-1D-2第13题A=(10c110011),c为何值时,A不可逆?A1B-1C0第14题A是一方阵,下列哪一条件不能推出A可逆?AA的列向量张成整个空间BA的行向量线性无关CAx=0有非零解DAx=b只有一个解第15题A=(100−1−11000−11000−11),问A是否可逆?A是B否第16题将平面上任意向量(xy)逆时针旋转90度,得到(x′y′),则(x',y')=____.A(y,x)B(y,-x)C(-y,x)第17题设A=(001010100),则A(xyz)的分量从上往下依次为Az,y,xBx,y,zCy,z,x第18题给定关于x,y,z的两个线性方程，则系数矩阵的行是__维向量，两个方程给出了__维空间中两平面，系数矩阵的列在__维空间中，几何上方程组的解一般是__维的.A4,4,2,1B4,3,2,1C2,3,3,1D3,3,2,1第三讲高斯消元法--3.3课后作业第1题当b=____,g=____时,{2x+by=164x+8y=g是一个奇异系统,且可解.Ab=4,g=16Bb=2,g=32Cb=4,g=32第2题考虑K4=A=(2−1−12−1−12−1−12).使用消元法,第四个主元是____A2B32C43D54第3题当d=____时，对方程组{2x+5y+z=04x+dy+z=2y−z=3的消元需要一个行变换.A5B10C1第4题一个线性方程组的解若存在且不唯一，则它必有无穷个解A对B错第5题设Ax=b有解(123)和(101),则向量____必是它的解.A(224)B(022)C(112)D(113)第6题设A=(110461−220),则E=____时，EA是上三角阵A(100−41010−21)B(100−410−2−21)C(100−410−2101)第7题设A=(aij)5×5,a55=11,只使用行消去变为上三角阵U=(uij),u55=4.当a55换成____时,A是奇异的.A5B6C7D8第8题设3阶方阵A的每一列均是(111)的倍数，则使用消元法,A能得到____个主元A1B2C3D0第9题设E是初等阵，表示第3行减去第1行的7倍，则E−1=A(100010−701)B(100010701)C(10−7100001)第10题设E=(10−21).则E2A表示AA的第2行减去第1行的4倍BA的第2行减去第1行的2倍CA的第2行加上第1行的2倍DA的第2行加上第1行的4倍第11题若AB=I且BC=I则A,B和C的关系是AA=C−1BA=BCC=BDA=C第12题若线性方程组{x+2y=22x+3y+z=33x+4y+az=b有唯一解,则a,b所满足的条件是Aa=2,b≠6Ba≠2,b=6Ca≠2,b任意Da任意,b≠6第13题当a=__时,(a23aa4aaa)是奇异矩阵.A0B0,2C0,4D0,2,4第14题当b=__时,关于{x+by=0x−2y−z=0y+z=0的消元法需要一个行交换,当b=__时,方程组是奇异的,即不能得到第三个主元.A0;1B0;-1C-2;-1D-2;1第15题R3中三个平面互不平行,它们形成方程组Ax=b,则A方程组有解B消元法有三个主元C无解,有唯一解有无穷多解都有可能第16题(001010100)(123456789)(001010100)=_______.A(987654321)B(123456789)C(927456381)第17题A=(aij)n×n,E21=(1−21⋱1),则E21(E21A)的第2行第1列元素为Aa21Ba21−4a11Ca21−4a22Da21−2a11−2a22第18题方程y=a+bx+cx2代入三个不同的点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)得到一方程组,问何时能解出a,b,c使得方程确定一条抛物线?Ax1,x2,x3两两不同B这三个点不共线C同时满足以上两条第四讲矩阵的运算--4.9课后作业第1题以下哪一个一定等于(A−B)2?AA2−B2B(B−A)2CA2−2AB+B2DA2−2BA+B2第2题设A=(aij)3×3满足aij=(−1)i+j,则A=____A(1−11−1111−11)B(11−1−1111−1−1)C(1−11−11−11−11)第3题设M=(ABCD),A,B,C,D均为矩阵，则MT=A(ATBCDT)B(ACBD)C(ATBTCTDT)D(ATCTBTDT)第4题设A=(010001000),则下面那个矩阵是单位阵?AA2BA3CI3+A3D(I3+A)2第5题设A=(102421),B=(330121),则AB=(122)(330)+____A(122)(041)B(041)(121)C(041)(330)D(122)(121)第6题考虑Ax=b,A为3阶方阵,b为3维向量，取b=(100),(010),(001)分别得到解x1,x2,x3,则A(x1,x2,x3)=A0BI3C不能确定第7题下面哪个个方阵满足存在正整数n,使得它的n次方是零矩阵?A(000100010)B(1000)C(1−101)第8题设n阶方阵A,B,C满足ABAC=In,那么以下等式哪个一定正确?AATBTATCT=InBA2B2A2C2=InCBA2C=InDCA2B=In第9题设A是一个2阶方阵,A(1111)=(1111)A,则A=____.A(a00a)B(aaaa)C(abba)第10题设Ax=b对b=(100),(010),(001)分别解得x=(111),(011),(001),则当b=(358)时,解为x=____.A(358)B(3816)C(16138)第11题设A=(aij)3×3满足:当i>j时,aij=0.B=(bij)3×3满足:当j>i时,bij=0.令AB=C=(cij)3×3),则c31=__.Aa33b31Ba31b11C0第12题利用分块矩阵乘积,判断(1200280000100023),(1−100−210020230112)的乘积是否是(−3100−14600202343712)A是B否第13题设A是一个3阶方阵,令A=(α1,α2,α3),ATA=I3,则α1Tα3=___,α1Tα1=___,α2Tα3=___.A0,1,0B1,0,0C1,1,1第14题任一方阵A可写成一个对称阵____加上一个反对称阵____.AA+AT,A−ATBAT+A2,AT−A2CA+AT2,A−AT2DA−AT2,A+AT2第15题设A=(1b01),则An=A(1bn01)B(1nb01)C(1nbnb1)第16题设A,B为n阶方阵,则(A+B)2=AA2+AB+BA+B2BA2+2AB+B2CA2+2BA+B2第17题A,B,C都是矩阵,若AB=AC,则B=C.判断对错A正确B错误第18题A,B为矩阵,(AB)2=A2B2.判断正误A正确B错误第五讲矩阵的逆--5.8课后作业第1题(4−1−1−1−14−1−1−1−14−1−1−1−14)−1=(abbbbabbbbabbbba),则a,b=____.A1,1B12,13C25,15第2题若A2=A,则下列命题正确的是__.AA=0或A=IBI−A可逆CA可逆D若A≠I,则A一定不可逆第3题求矩阵X使得AX+I=A2+X,其中A=(3456).X=____.A(2455)B(4457)C(4567)第4题若A2=I,则下列命题不一定正确的是___.AA可逆,A−1=ABAT可逆CA+I可逆DA+2I可逆第5题设E=(10a010001),那么E−1=A(10−a010001)B(100010−a01)C(10−a010−a01)第6题设P=(010001100),那么P−1=A(100001010)B(001100010)C(010010001)D(001010100)第7题设B=(1011)A,则B−1=A(10−11)ABA−1(1011)CA−1(10−11)D(10−11)A−1第8题设n阶方阵A,B均可逆,则(A00B)的逆为A(A−1A−10B−1)B(B−100A−1)C(AB−1A−1B)D(A−100B−1)第9题当a,b满足____,A=(abbaabaaa)可逆Aa≠0Ba≠0,且a≠bCa≠0,或a≠bDa≠b第10题判断对错:(A+B)−1=A−1+B−1A正确B错误第11题设n阶方阵A可逆，则Ax=0的解为A0BRn中任一向量都是解C不能确定第12题设A3=0,A2≠0,则I−A的逆为AABI+ACI+A+A2DI−A不可逆第13题若A,B都是n阶可逆矩阵,且满足AB=BA则下述结论错误的是AA−1B=BA−1BAB−1=B−1ACA−1B−1=B−1A−1DBA−1=AB−1第14题设A是n阶幂零方阵,即存在正整数k,使得Ak=0,那么AA不可逆且A−I不可逆BA可逆但A+I不可逆CA+I可逆但A−I不可逆DA不可逆第15题设A是n阶反对称阵(即AT=−A),且A可逆,那么AATA−1=−IBAAT=−ICA−1=AT第16题设n阶矩阵A,B,C,D满足ABCD=I,则A(CB)−1=CDADABB(CB)−1=DAC(CB)−1=ADD(CB)−1=DABCDA第17题A=(0001002003004000)的逆为A(1000012000013000014)B(1400001300001200001)C(0001001200130014000)D(0001400130012001000)第18题考虑增广矩阵(Ab),若A可逆,通过行变换把A变为I时,b变为___.考虑(AbT)作列变换,A变为I时,bT变为___.AbA−1,bTA−1BA−1b,(A−1b)TCA−1b,bTA−1DA−1b,bT(A−1)T第六讲LU分解--6.8课后作业第1题差分矩阵(2−1−12−1⋱⋱⋱−12−1−12)作LU分解,L=____.A(11210121⋮⋱⋱0⋯0121)B(1−1210−121⋮⋱⋱0⋯0−121)C(1−1210−231⋮⋱⋱0⋯0−n−1n1)D(1l211⋮⋱⋱ln1⋯lnn−11),lij=−ji第2题设A=LDU=L1D1U1,全部矩阵可逆,则L,D,U和L1,D1,U1的关系是____.若这些矩阵不全可逆,则____.AL=L1,D=D1,U=U1;D=D1BL=L1,D=D1,U=U1;L1−1L为对角阵CL=L1,D=D1,U=U1;此关系仍然成立第3题若U是一个可逆上三角阵,则U−1是___阵.A上三角B下三角C不一定是上三角或下三角第4题设A=(011101234),令P=____,PA有LU分解_____.A(010100001),(101−2−31)(10111−1)B(010100001),(101231)(10111−1)C(001010100),(11210−231)(234−32−11)第5题设x=(x1x2x3),P是一个3阶置换阵,则(Px)TPx=____.Ax12+x22+x32Bx1x2+x2x3+x3x1C上面两种情况都有可能第6题设A为一置换阵,找置换阵P作LU分解PA=LU,则____.A对每一置换阵P均可做LU分解B存在唯一的P使得PA有LU分解第7题设A=(248039007),则A=LDU,L,D,U=AL=I3,D=(237),U=(124013001)BL=I3,D=(237),U=(148019001)CL=(237),D=I3,U=(124013001)第8题关于A=(aaaaabbbabccabcd)的L,U=AL=(1111111111),U=(aaaa0bbb00cc000d)BL=(1111111111),U=(aaaa0b−ab−ab−a00c−bc−b000d−c)第9题在第2题中，A有4个主元的条件是Aa≠0Ba≠0,b≠a,c≠b,d≠cCb≠a,c≠b,d≠c第10题设A=(1093),则(A−1)T−(AT)−1=A(10−313)B(1−3013)C(0000)第11题设x=(01),A=(123456),y=(010),则xTAy=A3B4C5D6第12题总共有____个n阶置换阵AnBn2Cn!D1第13题设x=(x1x2x3),x12+x22+x32=1,则(I3−2xxT)−1=AI3−2xxTBI3−xxTCI3+2xxTDI3+xxT第14题A=(1bbc)的LDLT分解中L=A(10b1)B(10−b1)C(10c1)D(10−c1)第15题关于A=(1111123413610141020)的U=A(1111123131)B(1111211331)第16题A=(1404124040)的LDLT中的L为A(141011)B(140111)C(1410−11)D(1401−11)第17题A=(arrrabssabctabcd)有4个主元的条件是Aa≠0Ba≠0,b≠a,c≠b,d≠cCa≠0,b≠r,c≠s,d≠t第18题设3阶方阵A有主元5,9,3(没有行交换)，则A前两行前两列的子矩阵有主元A5,3B5,9C9,3第七讲向量空间--7.5课后作业第1题在R2中定义运算(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+y2,y1+x2)作为向量加法运算,数乘为通常的数乘预算c(x,y)=(cx,cy).问R2在这两个运算下是不是一个线性空间?A是B否第2题系数在实数域R中的2阶方阵全体构成了R上的一个线性空间M2(R).令A=(2−22−2)为这个空间的一个"向量",那么"向量"12A=A(1−21−2)B(2−12−1)C(1−11−1)D(1−22−1)第3题下列哪个集合是R3的线性子空间?A{(a1,a2,a3)|a1=1}Bv=(1,4,0)和u=(2,2,2)的所有线性组合C{(a1,a2,a3)|a1⩽a2⩽a3}D{(a1,a2,a3)|a1a2a3=0}第4题线性方程x+y−2z=4所决定的集合是不是R3的线性子空间?A是B不是第5题下列哪个集合不是Mn(R)的线性子空间A所有的对称矩阵AT=AB所有的反对称矩阵AT=−AC所有的非对称阵AT≠A第6题设V为一个实线性空间,W,U为它的两个互不包含的线性真子空间(不是零空间和V自身),以下哪个不是V的线性子空间?AW∪UBW∩UCW,U中所有向量的线性组合构成的集合第7题由(1000),(0100),(1100)生成的M2(R)的子空间是:A{(ab00)|a,b∈R}B{(aa00)|a∈R}第8题下列哪个不是R3的线性子空间?A原点(0,0,0)Bxy平面C直线x=y=zD平面x=1第9题下列哪个是线性空间?An阶可逆方阵全体,在通常的矩阵加法与数乘下BR3中的单位球面,在通常的R3的向量加法与数乘下C定义在实数域上的连续函数全体,在通常的函数相加与数乘下D定义在实数域上的可逆函数全体,在通常的函数相加与数乘下第10题mathbbR3内两个过原点的平面的交可能是AR3B空集C原点D一个过原点的平面或者一个过原点的直线第11题如果A是一个5阶可逆实方阵,那么它的列空间是AR5BR5的某个真子空间第12题设A,B为n阶实方阵,那么AB的列空间C(AB)与A的列空间C(A)的关系是AC(AB)∩C(A)={0}BC(AB)∪C(A)=RnCC(AB)⊂C(A)D没有关系第13题A为9×12的矩阵,若线性方程组Ax=b对任何b都有解,那么A的列空间C(A)=AR9BR12C不能确定第14题线性方程组Ax=b的所有解何时构成一个线性空间?Ab=0Bb≠0CAx=b的所有解的集合任何时候都是一个线性空间第八讲求解齐次线性方程组--8.4课后作业第1题下列哪两个线性方程组是同解的?AAx=0,ATx=0BAx=0,(A−AT)x=0CAx=0,−Ax=0第2题Ax=0的解空间与A的列空间是什么关系AAx=0的解空间是A的列空间的子空间BA的列空间是Ax=0的解空间的子空间CA的列空间的每个向量都与Ax=0的解空间的每个向量垂直D没有关系第3题Ax=0的解空间与A的行空间是什么关系AAx=0的解空间是A的行空间的子空间BA的行空间是Ax=0的解空间的子空间CA的行空间的每个向量都与Ax=0的解空间的每个向量垂直D没有关系第4题设A,B都是n阶方阵,那么A若x是Ax=0的解,那么x一定是BAx=0的解B若x是Ax=0的解,那么x一定是ABx=0的解C以上都不正确第5题以下哪个是线性方程组(1−10011101)x=0的解A(110)B(11−1)C(−101)D(111)第6题线性方程组(1−10011101)x=0的解空间是A一个过原点的平面B一条过原点的直线CR3中的一个点第7题设A,B都是n阶方阵,那么线性方程组(AB)x=0解空间是AAx=0的解空间与Bx=0的解空间的交BAx=0的解空间与Bx=0的解空间的并CABx=0的解空间D零空间第8题(1−11−12010a)x=0只有零解,那么Aa=1Ba≠1Ca=2Da≠2第9题若(121)是Ax=0的解,(010)是By=0的解,那么下列哪个是(AB)z=0的解?A(121)−2(010)B(010121)C(121010)第10题设A,B为n阶方阵,且B可逆,那么AAx=0与BAx=0同解B存在Ax=0的解使得它不是BAx=0的解C存在BAx=0的解使得它不是Ax=0的解第11题设(129)和(318)都是线性方程组Ax=0的解,那么下列哪个必定也是解?A(021)B(2−1−1)C(918)D以上都不一定是第12题将3x−y+z=0写为A(xyz)=0,那么A=A(3−11000000)B(300−100100)C(3000−10001)第九讲求解非齐次线性方程组--9.4课后作业第1题A=(213639426),使得Ax=b可解的b形成____.A一条直线B一个平面C整个三维空间第2题(1312002426510)(xyzt)=(113)的所有解为____.A一条直线B过点(1,0,12,0)T的一个平面C无解第3题b1,b2,b3满足什么条件时,方程组{x+2y−2z=b12x+5y−4z=b24x+9y−8z=b3有解.Ab1≠2b2Bb2+b3=6b1C2b1+b2−b3=0D不需要满足特定的条件第4题若Ax=b有两个解,则Ax=0____,进而Ax=b____.A有一个解,只有两个解B有两个解,只有两个解C只有两个解,有无穷多解D有无穷多解,有无穷多解第5题矩阵U的第5列没有主元,那么x5是__变量,零向量__Ax=0的唯一解,Ax=b____.A主;不是;一定有解B自由;不是;若有解,则有无穷多解C自由;是;无解或有唯一解D自由;不是;有无穷多解第6题U的第三行没有主元,则第三行____.方程Ux=c在____时有解.Ax=b____有解.A等于0,c3=0,不一定B是前两行的线性组合,不需要特定条件,一定C是前两行的线性组合,不需要特定条件,可能第7题3×5矩阵最大可能的秩为__,此时Ax=b____.6×4矩阵最大秩为__,此时Ax=b____.A3,有唯一解,6,必然有解B3,必然有解,4,不一定有解C3,有唯一解,4,不一定有解D3,必然有解,4,必然有解第8题Ax=b有无穷多解,那么Ax=b′(b′是新的列)是否一定有解?是否可能有唯一解?A是,否B否,否C否,是第9题固定矩阵A,Ax=b的以下哪种解的情况不会出现A0或1,依赖于bB无穷C1或无穷,依赖于bD0或无穷,依赖于b第10题A是m×n的矩阵,秩为r,若Ax=b有无穷多解,则____.Am>r或n>rBm>rCn>rDm>r且n>r第11题Ax=(13)的全部解为(10)+c(01),求A.A(1030)B(1300)C(0103)D(1133)第12题对任意b,Ax=b与Cx=b的解是完全相同的,是否一定有A=C?A是B否第十讲线性无关、基与维数--10.6课后作业第1题给定向量其中线性无关的向量个数最大为给定向量v1=(1,−1,0,0)T,v2=(1,0,−1,0)T,v3=(1,0,0,−1)T,v4=(0,1,−1,0)T,v5=(0,1,0,−1)T,v6=(0,0,1,−1)T,其中线性无关的向量个数最大为A3B4C5D6第2题U=(abc0de00f),下面哪个条件与U的列线性无关不等价?AU的行线性无关Ba,d,f不全为0Ca,d,f全不为0Dadf≠0第3题判断下面两组向量线性相关还是无关:a)(1,3,2),(2,1,3)与(3,2,1)b)(1,-3,2),(2,1,-3)与(-3,2,1)A相关;相关B相关;无关C无关;相关D无关;无关第4题w1,w2,w3是三个线性无关的向量,则u1=w2+w3,u2=w1+w3,u3=w1+w2线性__;v1=w2−w3,v2=w1−w3,v3=w1−w2线性__.A相关;相关B相关;无关C无关;相关D无关;无关第5题零向量在矩阵A的列空间中,则AA的列线性相关BA的行线性相关CAx=0有解第6题矩阵A的行线性相关,则AA的列线性相关BA的行数大于列数CAx=0有非零解DATx=0有非零解第7题v1,v2,⋯,v6是R4中的向量,则它们___线性相关,___张成R4,是否可能其中任意四个向量张成R4?A一定,一定,可能B一定,不一定,可能C一定,不一定,不可能D不一定,不一定,不可能第8题S是R6中的一个5维子空间,判断对错a)S的一组基可以通过添加一个向量得到R6的一组基;b)R6的一组基可以通过去掉一个向量成为S的一组基.A对;错B对;对C错;错D错;对第9题下列说法正确的是A若矩阵的行向量相关,则其列向量也相关B矩阵的行向量是其行空间的一组基C矩阵的行向量包含行空间的一组基D矩阵的行空间与列空间相同第10题求下面空间的维数:a)所有3×3的对角矩阵;b)所有3×3的对称矩阵(即满足AT=A);c)所有3×3的反对称矩阵(即满足AT=−A).A3,3,3B3,6,6C3,6,3D3,5,4第11题下面哪组向量是R3的一组基A(1,2,0),(0,1,−1)B(1,1,−1),(2,3,4),(4,1,−1),(0,1,−1)C(1,2,2),(−1,2,1),(0,8,0)D(1,2,2),(−1,2,1),(0,8,6)第12题x=(x1,x2,x3,x4)是R4中的向量,重新排列各分量得到24个向量(例如(x2,x1,x3,x4),(x4,x3,x2,x1),可能会有重复),它们所张成的空间的维数不可能为__.A1B2C3D4第十一讲四个基本子空间的基和维数--11.4课后作业第1题下列哪个矩阵的列空间是和其他三个矩阵的列空间不同的A(1−11−1111−11)B(−1111−11)C(1−1101100−1)D(202−212202)第2题下列哪个矩阵的列空间,行空间,零空间,左零空间维数之和最大?A(1−11−1111−11111)B(−1111−11)C(1111)D(129918101)第3题如果交换矩阵A的某两行,那么AA的列空间保持不变BA的零空间保持不变CA的左零空间保持不变第4题设u,v,w,z∈R3都是非零列向量,令A=uvT+wzT,那么A的秩A至多为2B可能为3C不可能为0D一定是2第5题设一个7×9的矩阵秩为5,那么它的行空间,列空间,零空间,左零空间维数分别为A7,9,4,2B7,9,5,5,C5,5,7,9D5,5,4,2第6题若一个3×4的矩阵秩为3,那么它的列空间与左零空间分别是什么?AR3,0BR4,0C0,R3D0,R4第7题(124248)的行空间,列空间,零空间,左零空间维数分别为A2,2,2,1B2,2,1,2,C1,1,2,1D1,1,1,2第8题下列哪个矩阵满足:列空间包含(110),(001),行空间包含(12),(25).A(1−1−110−1)B(111101)C(111011)第9题下列哪个矩阵满足:左零空间包含(13),行空间包含(31).A(−9331)B(6231)C(−9−331)第10题一个矩阵不可能满足以下那条性质?A零空间维数=左零空间维数+1B行空间维数=左零空间维数C行空间与列空间相同,零空间与左零空间维数不同第11题设A是一个3×3的可逆方阵,那么3×6的矩阵B=(AA)的行空间,列空间,零空间,左零空间维数分别是A3,3,3,0B6,3,0,0C3,6,0,3D3,3,0,3第12题设A为矩阵,下列关于矩阵A和B=(AA)的叙述哪个是错误的?AA和B的行空间相同BA和B的零空间相同CA和B的左零空间相同第13题设A为矩阵,下列关于矩阵和B=(AA)和C=(AAAA)的叙述哪个是正确的?AB和C的行空间相同BB和C的零空间相同CB和C的左零空间相同DB和C的秩不同第14题下列哪个叙述是正确的?A若矩阵A为方阵,则它的行空间与列空间相同B矩阵A和−A的行空间,列空间,零空间,左零空间分别都是相同的C如果矩阵A和B的行空间,列空间,零空间,左零空间分别都是相同的,那么A=cB,c为一个实数.第15题设A是一个m×n的矩阵,秩为r.假设存在向量b∈Rm使得线性方程组Ax=b无解,那么Am严格小于nBr严格小于nCATy=0只有零解DATy=0有非零解第16题ATy=d一定有解,如果Ad在A的行空间中Bd在A的列空间中Cd在A的零空间中Dd在A的左零空间中第17题设u,v,w,z∈Rn都是非零列向量,令A=uvT+wzT,那么A的列空间是?Au,w线性生成的空间的子空间Bv,w线性生成的空间的子空间Cu,z线性生成的空间的子空间Dv,z线性生成的空间的子空间第18题若AB=C,那么AC的行空间是A的行空间的子空间BC的列空间是B的列空间的子空间CC的零空间是B的零空间的子空间DB的零空间是C的零空间的子空间第十二讲四个基本子空间的正交关系--12.5课后作业第1题以下哪个矩阵满足:列空间包含(12−3),(2−35),且其零空间包含(111)?A(1−11−1111−11)B(122−3−35)C(12−32−31−35−2)第2题A为3阶方阵,若ATx=0有一个解为(100),那么方程Ax=(111)A无解B有解C不能确定是否有解第3题列空间与行空间正交的矩阵是否存在A存在B不存在第4题行空间包含(12−3),(2−35),且零空间包含(111)的矩阵是否存在?A存在B不存在第5题A,B为矩阵,且AB=0.那么AB的行空间包含于A的零空间,A的列空间包含于B的左零空间BB的零空间包含于A的行空间,A的左零空间包含于B的列空间CB的列空间包含于A的零空间,A的行空间包含于B的左零空间DB的列空间包含于A的左零空间,A的行空间包含于B的零空间第6题如果A,B是\(3\times3\)的方阵,且秩都为2,问AB=0是否可能?A可能B不可能第7题若线性方程组Ax=b0有解x0,ATy=0有解y0,那么Ay0Tx0=0By0Tb0=0Cy0Tx0≠0Dy0Tb0≠0第8题设A为方阵,那么AATA与A的左零空间相同BATA与A的列空间相同CATA与A的零空间相同第9题以下说法哪个正确?A线性子空间的正交补和它自身的交集为空集BR3中过原点相互垂直的两条直线互为正交补C线性空间的一个子集即使不是线性子空间,它的正交补也是一个线性子空间.第10题设W是Rn的真子空间,那么下面关于W⊥的叙述哪个是错误的?AW⊥∪W=RnBW⊥∩W={0}Cdim⁡W⊥+dim⁡W=nD(W⊥)⊥=W第11题下列叙述正确的是A由于(1,1,1)与(1,1,−2)垂直,所以平面x+y+z=0与平面x+y−2z=0相互正交B若线性空间的两个子空间的交集为零向量组成的单点集,那么这两个子空间相互正交C线性空间的零向量与其任何一个向量正交第12题下列说法正确的是A矩阵A的行空间和它的列空间互为正交补B矩阵A的行空间和它的左零空间互为正交补C矩阵A的行空间和它的零空间互为正交补D矩阵A的零空间和它的左零空间互为正交补第十三讲正交投影--13.4课后作业第1题P1,P2为投影矩阵,若P1+P2仍为投影矩阵,则AP1=0或P2=0BP1+P2=0CP1P2是反对称矩阵第2题λ,μ为何值时,λ(1,2,−1)+μ(1,0,1)离(2,1,1)最近?A1,1B12,12C12,32第3题a1=(−1,2,2),a2=(2,2,−1),P1,P2分别是在a1,a2上的投影,求P1P2.A零矩阵B19(1−2−2−244−244)C19(44−244−2−2−21)第4题若P是在C(A)上的投影,则I−P是在___上的投影.AC(A)BN(A)CC(AT)DN(AT)第5题若ATb=0,则b在C(A)上的投影为___.AAbBbC0第6题若ATAx=0,是否一定有Ax=0?A是B否第7题A=(102101),P1是在A的第一列张成的空间上的投影,P2是在A的前两列张成的空间上的投影,求P2P1.A15(120240000)B15(000120120)C12(000011011)第8题P是一个投影矩阵,下列哪一条件不能由P2=P,PT=P推出?APii是P的第i列的模长的平方BPij≥0CPii≤1D|Pij|≤1第9题P1,P2,P3分别是R3中在向量a1,a2,a3上的投影,若P1+P2+P3=I,是否一定有a1,a2,a3两两正交?A是B否第10题P1,P2分别是在子空间S,T上的投影,P1P2=P2P1的充要条件是?AS⊂T或T⊂SBS,T正交CS⊥与T⊥正交DP1P2是在S∩T上的投影第11题求(1,1)在(1,−1)上的投影.A(1,-1)B(0,0)C(1,1)第12题求(1,2,2)在(1,1,1)上的投影.A(1,1,1)B(2,2,2)C(53,53,53)D(53,53,53)第十四讲最小二乘法--14.4课后作业第1题ATAx=ATb总有解是因为AATA可逆BC(AT)=C(ATA)CN(A)=N(ATA)第2题误差向量e在___中,最小二乘解x^在___中(假设ATA可逆).AN(A),C(AT)BN(AT),C(AT)CN(AT),N(A)DC(AT),N(A)第3题给定一组数据t=−2,−1,0,1,2,b=4,2,−1,0,0,用直线b=C+Dt拟合,则C=___,D=___.A1,-1B2,-1C0,-2第4题给定一组数据t=0,1,3,4,b=0,8,8,20,用直线b=C+Dt拟合,C=___,D=___.A0,5B0,4C1,4第5题对第4题的数据用b=Dt拟合,则D=___.A4B5C5613第6题对第4题的数据用直线b=C拟合,C=___.A8B9C12D19第7题对第4题的数据用b=C+Dt+Et2拟合,C=___,D=___,E=___.A0,1,1B2,2,1C2,43,23第8题给定10个点:(1,0),(2,0),⋯,(9,0),(10,40).寻找直线y=C+Dx使得误差∑i=110(yi−(C+Dxi))2最小,C=___,D=___.A−8,2411B0,4C0,0D-8,2第9题P=(x,x,x),Q=(y,3y,−1)是分别位于两条不相交的直线上的两点,求x,y使得PQ距离最短.x=___,y=___.A0,0B-1,-1C−57,−27第10题判断对错:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)共线等价于(y1,y2,y3)可表示为(1,1,1)与(x1,x2,x3)的线性组合.A正确B错误第11题判断对错:从矩阵A中取出最大的一组线性无关的列构成矩阵B,则P=B(BTB)−1BT是到A的列空间的投影矩阵.A正确B错误第12题判断对错:e=b−Ax^,p=Ax^,其中x^是最小二乘解,则||e||2=eTb=bTb−bTp.A正确B错误第十五讲Gram-Schmidt正交化--15.5课后作业第1题下列哪组向量是R2的一组标准正交基?A(11),(−11)B(68),(4−3)C(cos⁡θsin⁡θ),(−sin⁡θcos⁡θ)第2题设R3的一组标准正交基前两个向量为13(22−1),13(−122),第三个向量为A13(212)B13(2−12)第3题设A为3阶方阵,列都是正交的,且长度都为4,那么ATA=A16I3B4I3CI3第4题以下说法错误的是A存在矩阵Q,使得它的列都是正交的,但QQT≠IB若Q1,Q2都是正交阵,那么Q1Q2也是正交阵C正交的向量都是线性无关的第5题设A为3阶方阵,列都是正交的,长度分别为1,2,3,那么ATA=A9I3B(149)C(123)第6题取R3的一组基为(001),(011),(111).进行Gram-Schmidt正交化之后得到的三个向量为A(001),(010),(100)B(001),12(01−1),13(−11−1)第7题取R3的一组基为(001),(111),(011).进行Gram-Schmidt正交化之后得到的三个向量为A(001),(010),(100)B(001),12(110),12(−110)第8题任取Rn的一组基α1,⋯,αn,进行Gram-Schmidt正交化之后得到一组标准正交基ε1,⋯,εn.令U为α1,⋯,αr生成的子空间,V为αr+1,⋯,αn生成的子空间,U′为ε1,⋯,εr生成的子空间,V′为εr+1,⋯,εn生成的子空间,其中1⩽r⩽n−1.以下说法不一定正确的是AU′与V′正交BU与V′正交CU′与V正交DU′=U第9题以下说法错误的是A若Q是一个正交阵,那么Q−1也是B若Q是一个正交阵,那么总有||Qx||=||x||C全体n阶正交阵构成一个线性空间第10题若c(1−1−1−1−11−1−1−1−11−1−1−1−11)是一个正交阵,那么c=A2B12C14D4第11题Rn中任意两个相互正交的单位向量都可以扩充成一组标准正交基A正确B错误第12题(11),(40)进行Gram-Schmidt正交化之后得到的向量是:A(11),(2−2)B(10),(01)C12(11),12(1−1)第十六讲行列式的基本性质--16.5课后作业第1题设A为一个4阶方阵,detA=12,那么det2A=A1B2C8D16第2题设A为一个3阶方阵,detA=−1,那么detA2=A1B-1C0D-2第3题设A为一个5阶方阵,detA=12,那么detA−1=A52B2C132D32第4题以下说法正确的是Adet(I+A)=1+detABdet(ABC)=detAdetBdetCCdet4A=4detADdet(AB−BA)一定为0第5题设A为一个7阶方阵,detA=−1,那么detAT=A1B-1C0D不能确定第6题设Q为一个n阶正交阵,那么detQ=A0B1C1或-1D不能确定第7题设A为方阵,且线性方程组Ax=0有非零解,那么AdetA=0BdetA≠0CdetA=±1D不能确定第8题设Eij(c)为对应于将第i行的c倍加到第j行上去的初等线性变换的方阵,那么它的行列式为A0BcC-1D1第9题设3阶方阵A有主元7,2,3(求得这组主元没有进行换行),那么detA=A42B不能确定第10题以下说法正确的是A行列式等于0的n阶方阵构成一个线性空间B行列式不等于0的n阶方阵构成一个线性空间C行列式等于1的n阶方阵构成一个线性空间D以上都不正确第11题设U=(146025003),那么detU2=A6B12C36D54第12题若2阶方阵(abcd)可逆,那么它的逆是A1ad−bc(d−b−ca)B(d−b−ca)C(a−c−bd)D1ad−bc(a−c−bd)第13题设A=(123)(1−45),那么detA=A0B1C5D-1第14题设A=(α1⋮αn),B=(βα2⋮αn)为n阶方阵,其中αi,β为行向量,那么下面哪个矩阵的行列式等于detA+detB?A(α1+βα2+α2⋮αn+αn)B(α1+βα2+β⋮αn+β)C(α1+βα2⋮αn)第15题已知det(1aa21bb21cc2)=(b−a)(c−a)(c−b),那么det(111abc(a+1)2(b+1)2(c+1)2)=A(b−a)(c−a)(c−b)B(b−a)2(c−a)2(c−b)2C0第16题设A为n阶方阵,n>1,且A的第(i,j)位元素等于i×j,那么detA=An2BnC1D0第17题设A为n阶方阵,n>2,且A的第(i,j)位元素等于i+j,那么detA=A2nBnC1D0第18题以下说法是正确的?A设A,B是同阶方阵.若A不可逆,那么AB也不可逆B可逆方阵A的行列式总是其主元的乘积Cdet(A−B)=detA−detB第十七讲行列式的计算--17.3课后作业第1题计算行列式|001010100|.A1B-1第2题计算行列式|0001001001001000|.A1B-1第3题计算行列式|0a0000b0000cd000|.AabcdB−abcdC0第4题关于第一行展开,求|110111011|.A1B-1C0第5题在上一题的基础上,求|1100111001110011|.A1B-1C0第6题计算行列式|a−Lcb−Ldc−lad−lb|.Aad−bcB(1−L)(1−l)(ad−bc)C−(1−L)(1−l)(ad−bc)D(1−Ll)(ad−bc)第7题计算行列式|1tt2t1tt2t1|.A(1−t)2(1+t)B(1−t)2(1+t)2C1−t3第8题计算行列式|aaaabbabc|.Aa(a−b)(b−c)BabcC0Da(ab+bc+ca)第9题计算行列式|2−100−12−100−12−100−12|.A3B5C9D16第10题计算行列式|12302661−10030207|.A36B-6C42D35第11题计算|10a001b000c000d1|.AcB-cC0第12题计算11|5689|−13|4679|+16|4578|.A0B3C-3第13题求|a00b0ab00cd0c00d|.A0Ba2d2−b2c2C(ad−bc)2第14题A,C为方阵,判断正误:|AB0C|=|A||C|.A对B错第15题判断正误:|1+x12x1x2⋯x1xnx2x11+x22⋯x2xn⋮⋮⋮xnx1xnx2⋯1+xn2|≠0.A对B错第十八讲Cramer法则及行列式的几何意义--18.5课后作业第1题利用Cramer法则求解线性方程组{2x1+5x2=1x1+4x2=2A(1,-2)B(-2,1)第2题利用Cramer法则求解线性方程组{2x1+x2=1x1+2x2+x3=0x2+2x3=0A(34,−12,14)B(14,12,−34)第3题A=(2−10−12−10−12),求A−1.A(321242123)B14(321242123)第4题若对某个i,Cij对所有j都为0,则A是否一定不可逆?反过来,若A不可逆,是否一定存在这样的i?A是,是B是,否C否,是第5题判断正误:若A的各个位置上的元都是整数,且A的行列式为1,则A−1各个位置的元也都为整数.A对B错第6题L=(a00bc0def),L的代数余子式矩阵的行列式为___.AacfB1acfC(acf)2第7题Q是一个正交矩阵,则Q的代数余子式矩阵C满足____.AC=QBC=QTCC=Qn−1D或C=Q或−Q第8题求(2,1),(3,4),(0,5)三点构成的三角形的面积.A5B52第9题求(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3)围成六面体的体积.A20B16C8D5第10题下列与(u×v)⋅w相同的是__.A(u×w)⋅vB−(w×v)⋅uC−(v×w)⋅u第11题求(1,2,3,4),(2,1,3,5)张成三角形面积.A4B92C9第12题(cos⁡αcos⁡β,cos⁡αsin⁡β,sin⁡α),(1,1,0),(1,2,1)张成六面体体积最大为___.A3B23C6第十九讲特征值与特征向量--19.4课后作业第1题A=(1111)的特征值是A0,1B1,-1C0,2D1,-2第2题设A有特征值3,那么以下哪一个必定是A+I的特征值?A4B2C不能确定第3题若A有特征值λ1,B有特征值λ2,那么A+B有特征值λ1+λ2.A正确B错误第4题以下说法正确的是A若ξ是A的特征向量,那么ξ也是A2的特征向量B若λ是A的特征值,那么λ也是A2的特征值C若ξ是A的特征向量,那么ξ也是BA的特征向量第5题若A2阶可逆,且2为A的一个特征值,那么以下哪个一定是A−1的特征值?A2B12C4D14第6题设ξ为可逆方阵A的特征向量,那么以下说法不正确的是Aξ一定是A3的特征向量Bξ一定是A−1的特征向量Cξ一定是AT的特征向量第7题设P=uuT,其中u=(u1⋮un)是一个长度为1的单位向量,那么以下说法不正确的是AuT一定是P的特征向量Bu一定是P的特征向量C1是P的一个特征值D0是P的一个特征值第8题n阶方阵P=uuT同上题,那么P所有的特征向量生成的线性空间的维数是A1B2CnD不确定第9题A=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)的特征值是A0,1B1,-1Ccos⁡θ,sin⁡θDcos⁡θ+−1sin⁡θ,cos⁡θ−−1sin⁡θ第10题若n阶方阵A有n个特征值λ1,λ2,⋯,λn,那么detA=Aλ1λ2⋯λnBλ1+λ2+⋯+λnC无法确定第11题若n阶方阵A有n个特征值λ1,λ2,⋯,λn,那么n+1阶方阵(A00T1)(其中0为n维零列向量)的特征值为Aλ1,λ2,⋯,λnBλ1+1,λ2+1,⋯,λn+1Cλ1,λ2,⋯,λn,0Dλ1,λ2,⋯,λn,1第12题下列关于方阵A与其转置AT的说法正确的是A若ξ是A的特征向量,那么ξ也是AT的特征向量B若λ是A的特征值,那么λ也是AT的特征值第13题若λ1,λ2是方阵A的两个不同的特征值,那么任何一个非零向量不可能同时是这两个特征值对应的特征向量.A正确B错误第14题若ξ1,ξ2是方阵A的两个线性无关的特征向量,那么它们一定对应于两个不同的特征值.A正确B错误第15题若f(x)是一个多项式,A是一个n阶方阵,λ是它的一个特征值,那么以下哪个一定是f(A)的特征值?AλBf(λ)C方程f(x)=0的根D不能确定第16题设A为正交阵,λ为它的的一个正的实特征值,那么Aλ必定为1Bλ的总是大于1Cλ的总是小于1D以上都有可能第二十讲矩阵的对角化--20.6课后作业第1题下列哪个矩阵可对角化为(1003)?A(1203)B(1133)C(1223)D(1230)第2题若2阶方阵A可对角化为(1003),那么A2可对角化为A(1003)B(2006)C(1009)D(3005)第3题若2阶方阵A可对角化为(1003),那么A+2I可对角化为A(1003)B(2006)C(1009)D(3005)第4题若2阶方阵A可对角化为(1003),那么AT可对角化为A(1003)B(1009)C(10013)第5题若2阶方阵A可对角化为(1003),那么A−1可对角化为A(1003)B(1009)C(10013)第6题若3阶方阵A的特征值分别为2,2,5,那么AA一定可逆BA一定可对角化CA一定不可对角化第7题若2阶方阵A的特征向量都是(14),那么以下说法错误的是AA一定不可逆BA的两个特征值相同CA一定不可对角化第8题设A可对角化为对角阵Λ,那么B=(AO02A)A可对角