初中数学：学案《平行线》

第页整体感知整体感知平行线【学习目标】1.通过将道路示意图抽象成直线，识别“三线八角”，说出三种角的大致形状；2.通过作过线外一点的平行线探究平行线的两条基本性质，抽象概括并用自己的话说出应用基本性质的意义；3.写出围绕平行线“三线八角”及性质学习的相关内容，并画出学习导图.【学习任务】认识“三线八角”模型与平行线的基本性质学习活动1学习活动1——识别“三线八角”某高效学习科研小组为研究“三线八角”，绘制出了峡山区道路示意图，并将道路抽象为三条直线，直线AB，CD被直线EF所截，分别用∠1、∠2···∠8标示出夹角.问题1：∠1与∠5有怎样的位置关系？还有哪几组角与∠1和∠5具有类似的位置关系？问题2：∠3与∠5有怎样的位置关系？还有哪几组角与∠3和∠5具有类似的位置关系？问题3：∠4与∠5有怎样的位置关系？还有哪几组角与∠4和∠5具有类似的位置关系？【归纳生成】结合同位角、内错角、同旁内角的概念，说出识别同位角、内错角、同旁内角的方法以及这三种角的大致形状.【学习评测】如图，（1）∠1与∠C是两条直线、被第三条直线______所截构成的______角；（2）∠2与∠B是两条直线、被第三条直线______所截构成的_________角；（3）∠EAC和∠C是两条直线、被第三条直线______所截构成的____________角.学习活动2学习活动2——初探平行线概念、画法及基本性质观察下列图片中包含的直线：问题1：两条铁轨所在的两条直线是否相交？若不相交具有怎样的位置关系？在现实生活中你还能找出那些此类的直线？问题2：如图，假定工人师傅已经架设了一条电线a，请你帮助工人师傅在直线a外取一点P，架设电线b使得b//a.这样的平行线，你能画出几条？你能得出什么结论？·Paaa·Pa·P·Qbc【归纳生成】归纳画平行线的基本步骤.总结平行线的两个基本性质.学习活动3学习活动3——猜想平行线的性质在学习活动1中，如果AB//CD，那么图形将变成平行线下的“三线八角”模型，如图所示.问题1：找出图中的同位角、内错角与同旁内角.问题2：通过测量观察，猜想图中各对同位角是否分别相等？问题3：通过测量观察，猜想图中还有哪些角相等？学习活动4——构建学习活动4阅读教材及271BAY资源，围绕三线八角、平行线的性质及判定，自主构建本单元知识与逻辑结构.探究建构平行线探究建构【学习目标】1.通过叠合实验与推理的过程，探究八角之间的数量关系，说出平行线的性质；2.通过作图、推理探究平行线的判定方法的过程，说出性质与判定之间的关系；3.通过探索平行线之间距离的性质，解决点与点、点与线、平行线之间距离的问题.【学习任务】探究平行线的性质及判定方法学习活动1学习活动1两条平行线被第三条直线所截形成三线八角模型，平行线下三线八角有什么样的特殊数量关系呢？如图所示，已知直线AB,CD被直线EF所截，且AB//CD.问题1：∠1与∠5有什么样的位置关系和数量关系？从图中找出其他三组有相同关系的角.问题2：∠3和∠5是什么样的位置关系？它们相等吗？为什么？从图中找出另一组有相似关系的角（提示:借助同位角进行转化）.问题3：∠2与∠5是什么样的位置关系？它们相等吗？为什么？再写出图中另一组有相似关系的角（提示:借助同位角进行转化）.★问题4：图中除了以上相等的各组角，你还能找到那些相等的角?【归纳生成】总结出平行线关于同位角、内错角、同旁内角的性质（用文字语言和符号语言分别表示）.【学习评测】1.如图，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2.如图，学习活动学习活动2——探究平行线的判定方法如图所示，利用∠1=∠5，我们可以经过直线AB外一点，画它的平行线CD.问题1：你还能利用其它同位角得出AB//CD吗，请找出这些角.问题2：如果已知∠3=∠5，直线AB与直线CD平行吗？如何用问题1中的“同位角相等，两直线平行”来转化？请写出你的证明过程.问题3：若∠4与∠5互补，直线AB与直线CD还平行吗？为什么？【归纳生成】根据问题1、2、3，总结出平行线的判定方法.（分别用文字语言与符号语言描述）【学习评测】1.（多选）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是()A.∠3=∠4B.∠1=∠2C.∠D=∠DCED.∠A=∠DCE2.在铺设钢轨时，两条直轨必须是互相平行的.如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？学习活动3学习活动3已知公路a与公路b平行，现欲过A点或者C点在两条公路之间再铺设两条公路AB与公路CD.问题1：过点A作AB⊥b，垂足为B，AB与直线a有什么位置关系？依据是什么？问题2：过点C作CD⊥b，垂足为D，CD与AB有什么位置关系？依据是什么？问题3：用圆规比较垂线段AB与垂线段CD的大小，你发现了什么？【归纳生成】结合作图过程，辨析点与点、点与线、平行线之间距离的异同.【学习评测】如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB的面积有什么关系？为什么？应用迁移平行线应用迁移【学习目标】1.通过平行线模型进行线与角的转化，用数学语言准确写出推理证明或计算过程，解决综合问题；2.构建平行线模型，选择合适的平行线的性质和判定，解决折线问题.3.运用平行线的性质与判定解决实际问题，说出解决实际问题的思路和注意事项.【学习任务】平行线的性质与判定的应用学习活动学习活动1——探究平行线与角之间的相互转化平行线的性质与判定都与角有关，平行线通常与角相互转化，来解决数学问题.问题1：（1）如图1，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是_______. 图1图2（2）已知：如图2，在三角形ABC中，AD∥BC,AD平分∠EAC,试说明：∠B=∠C.问题2：（1）如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（）.A.∠EDC=∠EFCB.∠AFE=∠ACDC.∠3=∠4D.∠1=∠2（2）如图，A,B,C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由.【归纳生成】平行线与角的转化中，将平行关系转化为角的数量关系依据是什么？将角的数量关系转化为平行关系依据又是什么？在转化过程中需要注意哪些问题？——用平行线性质与判定解决折学习活动2学习活动2当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.问题1：如图所示，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2=90°，那么，直线AB、CD的位置关系如何？说明你的理由．问题2：如图所示，若∠BED=∠B+∠D，直线AB、CD的位置关系如何？说明你的理由．问题3：如图所示，AB∥CD，∠PAB，∠APC与∠PCD的和是多少度？你是怎样求出来的？【归纳生成】根据以上问题的探究过程，总结用辅助线解决平行线中的折线问题的一般思路.【学习评测】1.如图所示,已知AB//CD,∠ABE=45°,∠CDE=32°,求∠BED的度数.2.已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意一点.(1)如图1，探究∠BED与∠B,∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B,∠BED的数量关系，并说明理由学习活动3——用学习活动31.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于.2.如图，将一块含30°角的直角三角板放置在长方形纸片上.若∠1=48°，则∠2的度数为.第2题第1题第3题3.如图，光线AB、CD被一个平面镜反射，此时∠1=∠3，∠2=∠4，那么AB和CD的位置关系是，BE和DF的位置关系是.第2题第1题第3题【归纳生成】结合以上实际问题的探究过程，总结平行线的性质与判定在解决实际问题的思路及注意事项.【学习评测】第2题图1.如图，是一条街道的两个拐角∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的关系是，这是因为.第2题图第1题图第1题图2.如图所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,若∠EFG=50°,∠DEG的度数为.★3.如图，潜望镜中的两个镜片AB和CD是平行的，光线经过镜子反射时，∠AEN=∠BEF，∠EFD=∠CFM，那么进入潜望镜的光线NE和离开潜望镜的光线FM是平行的吗？请说明理由.重构拓展重构拓展平行线【学习目标】1.通过研读课本和学程，从“三线八角”、平行线的性质与判定等方面重构思维导图，举例说明线与角的关系；2.深度探究平行线性质与判定的关系，解决平行线相关的创新问题；3.围绕平行线的性质和判定进行单元过关，纠错反思总结提升，实现人人过关.【学习任务】运用平行线的性质和判定解决综合问题【单元重构】通过学习，相信同学们对平行线有了更加深入的认识，下面有两个任务更大家任选一个完成.任务1：再次研读课本内容及271BAY相关资源，从与三线八角、平行线的概念、性质判定等方面层层深入，梳理本单元的核心知识结构，重构思维导图.任务2：本单元的落脚点是利用平行线与角的转化中进行角度的计算、灵活选择平行线的性质与判定进行计算与证明中，有很多值得注意的问题，请同学们在举例的基础上进行总结，并自己设计图形、预设条件及问题并解决问题（包括数学综合问题和生活实际问题），完成后与同学交流.【基础过关】1.如图1，下列结论正确的是（）.A．∠5与∠2是对顶角；B．∠1与∠3是同位角；C．∠2与∠3是同旁内角；D．∠1与∠2是同旁内角.2.如图2，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）A．70°B．100°C．110°D．120°图1图2图33.如图3，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°4.有下列四种说法：其中正确的个数是（）（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（4）平行于同一条直线的两条直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是().A．平行的性质B．等量代换C．平行于同一直线的两条直线平行D．以上都不对6.如右图，若∠3=∠4，则∥．【应用过关】7.将两张矩形纸片如右图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝________．8.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（）A.第一次右拐50°，第二次左拐130°B.第一次左拐50°，第二次右拐50°C.第一次左拐50°，第二次左拐130°D.第一次右拐50°，第二次右拐50°9.如右图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为．10.如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．【单元拓展】光在两种物质分界面上改变传播方向又返回原来物质中的现象，叫做光的反射.1.在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内;2.反射光线，入射光线分居法线两侧;3.反射角等于入射角.(可归纳为:"三线共面，两线分居，两角相等".)11.如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，∠AOB=40°．则∠QPB的度数是（）A．60°B．80°C．100° D．120°如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，且AB∥CD．求证：MN∥EF．平行线·单元检测一、单选题（每题4分，共32分）1.下列图中∠1和∠2是同位角的是（）A.⑴、⑵、⑶B.⑵、⑶、⑷C.⑶、⑷、⑸D.⑴、⑵、⑸2.下列语句中正确的是（）A.同一平面内不相交的两条线段平行

B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.两直线平行，同旁内角互补

D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等3.如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在直线AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（）A.30°B.40°C.50°D.60°l1ll1l2123第4题图第3题图第5题图4.如图，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（）A.20° B.40°C.50° D.60°5.如图，四条直线a、b、c、d，其中a∥b，∠1=30°，∠2=75°，则∠3等于（）A.40°B.30°C.60°D.70°6.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）B.C.D.7.如图，直线AB∥CD，P、Q是AB上两点，设ΔPCD的面积为S1，ΔQCD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不能确定8.一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图,其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1=75°，则∠2的大小是（）A.105°B.75°C.95°D.125°第7题图第8题图二、多选题（每题5分，共20分）9.若将一副三角板按照如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（）A.B.C.D.10.如图，下列判断正确的是（）A.∠A与∠1是同位角B.∠A与∠B是同旁内角C.∠4与∠1是内错角D.∠1与∠3是同位角第10题第11题第12题11.如图，下列能判定AB∥EF的条件有（）A.∠B+∠BFE=180°B.∠1=∠2C.∠3=∠4D.∠B=∠5．12.如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B和D，BE和DF分别平分∠ABN和∠CDN，下列结论中正确的是（）A.AB//CDB．∠1=∠2C．CD