初中数学七年级下册《多项式除以单项式》高效课堂教案（北师大版）

初中数学七年级下册《多项式除以单项式》高效课堂教案（北师大版）

一、设计理念与理论依据

本课设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，深度融合建构主义学习理论、社会文化理论以及“深度学习”教学理念。我们认为，数学学习不应是静态知识的传递，而是学生在已有认知基础上，通过主动探究、社会互动与意义协商，实现数学思维结构与问题解决能力的重构与发展。

核心理论支撑：

1.建构主义视角：学生从“单项式除以单项式”和“乘法分配律”的已有认知出发，通过类比、猜想、验证，主动建构“多项式除以单项式”的运算法则，实现知识的顺向迁移与意义生成。

2.社会文化理论（维果茨基）：重视“最近发展区”的搭建。通过精心设计的问题链和阶梯性任务，在师生对话、生生合作中，将潜在的发展水平转化为现实的发展。教师作为“专家”和“促进者”，通过提问、示范、搭建“思维脚手架”，引导学生跨越认知障碍。

3.深度学习框架：超越对运算法则的机械记忆与模仿，致力于引导学生理解法则背后的算理（乘法与除法的互逆关系、分配律的代数本质），并能在真实、复杂甚至跨学科的情境中，批判性地应用知识解决新问题，实现概念的本质理解、方法的迁移创新和思维的高阶发展。

4.跨学科视野（STEM整合）：将数学视为描述世界、解决问题的通用语言。在情境创设与问题设计中，自然融入物理学（如电路计算）、经济学（如成本均摊）、几何学（面积、体积计算）等元素，展现多项式运算的广泛应用价值，培养学生的综合素养与跨学科思维。

二、教学内容与学情分析

1.教学内容分析

本节课是北师大版初中数学七年级下册第一章“整式的乘除”的第四部分内容。从整章知识结构看，它是在学生学习了同底数幂的除法、单项式除以单项式以及多项式乘以单项式之后，对整式除法运算的进一步完善与闭合。它不仅是整式四则运算体系的关键一环，更是后续学习因式分解、分式运算、方程求解乃至函数表达式变形的坚实基础。其核心是将除法转化为乘法，并利用分配律进行运算，深刻体现了转化与化归的数学思想。

知识的内在逻辑：

1.生长点：单项式除法法则(a^m÷a^n=a^(m-n)

，系数相除)与乘法分配律a(b+c)=ab+ac

。

2.新核心：多项式除以单项式法则(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m

(m≠0)。

3.发展点：为学习多项式除以多项式（长除法）提供思想和方法准备，为分式约分化简提供直接工具。

2.学情分析

1.认知基础：七年级学生已熟练掌握有理数四则运算、整数指数幂的运算性质，初步建立了代数式概念，学习了合并同类项、整式的加减、幂的运算、整式的乘法（单项式乘单项式/多项式、多项式乘多项式）以及单项式除以单项式。他们具备一定的符号运算能力和从具体到抽象的思维能力。

2.可能遇到的障碍：

1.3.心理障碍：对“除法分配律”存在误解，容易与乘法分配律混淆，产生(a+b)÷c=a÷c+b÷c

是否成立的疑虑。

2.4.认知障碍：在具体运算中，容易出现以下错误：①忽略符号，尤其是负号的处理；②漏除多项式的某一项；③系数、字母及其指数在相除时出现计算错误（与单项式除法法则混淆）；④对运算结果是否需要整理（按字母降幂排列、合并同类项）不清晰。

3.5.思维障碍：停留在算法操作层面，对“为什么可以这样算”的算理理解不深，导致在复杂情境或变式问题中迁移应用困难。

6.发展空间（最近发展区）：学生能够从“乘除互逆”和“乘法分配律”的角度，通过具体例子自主探究并理解法则的合理性；能够将法则流畅应用于计算；能够在实际问题中识别并建立多项式除以单项式的模型，并解释结果的现实意义。

三、教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能

1.理解多项式除以单项式的运算法则及其算理（转化思想、分配律）。

2.能准确、熟练地运用法则进行多项式除以单项式的运算。

3.能对运算结果进行规范化整理。

2.过程与方法

1.经历“观察特例—猜想规律—验证归纳—抽象概括”的法则探索过程，发展合情推理与演绎推理能力。

2.通过对比分析、错例辨析，提升运算的准确性和严谨性。

3.在解决实际问题和跨学科问题的过程中，体会数学建模的思想，提升应用意识。

3.情感、态度与价值观

1.在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

2.体会数学知识之间的内在联系（乘除互逆、数式通性）与统一美、简洁美。

3.通过感受数学在科技、经济等领域的广泛应用，激发学习兴趣和科学探究精神。

4.在小组合作中培养倾听、表达、协作的意识和能力。

四、教学重难点

1.教学重点：多项式除以单项式的运算法则的理解与正确应用。

2.教学难点：

1.3.理解算理：从算理层面理解法则的由来（除法转化为乘法，再利用乘法分配律）。

2.4.应用中的易错点：商的符号确定、各项分别相除时的完整性、运算结果的规范化表达。

3.5.法则的灵活迁移：在隐含运算（如括号处理）、逆向问题及综合问题中的应用。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（包含动画演示法则推导过程、生活与跨学科情境素材、阶梯式例题与练习、思维导图小结）。

2.3.设计并印制“探究学习任务单”（含探究问题、猜想记录、验证计算区）。

3.4.准备实物教具或模型（如用于面积问题讲解的拼接纸板）。

4.5.预设课堂生成性问题及应对策略。

6.学生准备：

1.7.复习单项式除以单项式的法则、乘法分配律。

2.8.预习课本相关内容，并尝试思考一两个生活中的除法问题。

3.9.学习小组（4-6人异质分组）。

六、教学过程设计

（一）创设情境，问题导学(预计时间：8分钟)

设计意图：从学生熟悉的现实世界和已有知识出发，创设认知冲突，激发探究欲望。问题设计体现数学与生活、与其他学科的关联，自然引出本课核心问题。

教学实施：

1.情境呈现（生活/几何）：

1.2.课件展示：一块长方形农田，长为(6a²+9a)

米，宽为3a

米。若已知总面积和宽度，如何求长度？

2.3.学生活动：快速列出算式：长度=(6a²+9a)÷3a

。

3.4.教师提问：这是一个什么运算？（多项式除以单项式）我们已经会算单项式除以单项式，那么像(6a²+9a)÷3a

这样的式子该如何计算呢？你能利用已有的知识想办法解决它吗？

5.情境再现（物理/经济）：

1.6.课件展示：一个简单并联电路，两条支路的电阻分别为R₁

和R₂

，已知总电阻R

满足1/R=1/R₁+1/R₂

。如果总电阻R=2xy

欧姆，其中一条支路电阻R₁=x

欧姆，求另一条支路电阻R₂

。

2.7.引导列式：由公式得1/R₂=1/R-1/R₁=1/(2xy)-1/x

。通分后得到1/R₂=(1-2y)/(2xy)

，因此R₂=2xy/(1-2y)

。提问：如果我们现在想计算R₂

，本质上需要处理2xy÷(1-2y)

，这又是一个什么运算？（一个单项式除以一个多项式）这和我们今天要学的形式正好相反，但它提醒我们，整式的除法在科学计算中无处不在。今天我们先把基础的“多项式除以单项式”掌握牢固。

8.知识回溯，搭建桥梁：

1.9.教师提问：回忆一下，我们是如何计算单项式除以单项式的？依据是什么？

2.10.学生回答：系数相除，同底数幂相减，其余字母连同指数直接作为商的一部分。依据是幂的运算性质和除法意义。

3.11.教师追问：还记得乘法分配律吗？用字母怎样表示？它在除法中可能成立吗？即(a+b)÷c=a÷c+b÷c

成立吗？请举例说明（如用数字：(6+9)÷3=15÷3=5

，而6÷3+9÷3=2+3=5

）。

4.12.引导发现：在数字运算中，除法对加法满足分配律（当除数是单项时）。那么在代数式中，对于多项式除以单项式，是否也存在类似的规律呢？让我们一起来探究。

（二）合作探究，建构新知(预计时间：15分钟)

设计意图：这是本节课的核心环节。让学生亲历知识的发生过程，通过小组合作、从特殊到一般、从具体到抽象的探索，自主发现法则，并深刻理解其算理。教师角色转变为组织者、引导者和促进者。

教学实施：

1.任务驱动，自主猜想：

1.2.下发“探究学习任务单”。任务一：计算下列各式，并观察、思考商与被除式、除式之间的关系。

1.2.3.(6a³b+9a²b²)÷3ab

2.3.4.(12x⁴-8x³+4x²)÷(-4x²)

3.4.5.(ad+bd)÷d

（先思考，再假设d为具体数字验证）

5.6.学生活动：独立计算或小范围讨论。教师巡视，关注学生的不同方法（有的可能直接做除法，有的可能逆用乘法：找(?)×3ab=6a³b+9a²b²

）。

6.7.方法引导：鼓励学生尝试多种思路。重点引导“逆运算”思路：因为(2a²+3ab)×3ab=6a³b+9a²b²

，所以(6a³b+9a²b²)÷3ab=2a²+3ab

。这体现了乘除互逆的关系。

8.小组研讨，归纳规律：

1.9.小组讨论议题：

1.2.10.你是如何计算以上各题的？步骤是什么？

2.3.11.观察所得的商，它与原来的被除式（多项式）、除式（单项式）的各项之间有什么规律？

3.4.12.你能用文字语言描述这个计算规律吗？

4.5.13.你能尝试用字母式子把这个规律表示出来吗？

6.14.学生活动：小组内充分交流，记录员整理小组观点。教师深入各组，倾听讨论，捕捉有价值的生成（如学生可能表述为“每项分别除”），并对有困难的小组进行点拨（提示：类比数字除法分配律）。

15.全班分享，抽象法则：

1.16.邀请2-3个小组代表汇报他们的发现和猜想。

2.17.师生共同提炼：

1.3.18.步骤：先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。

2.4.19.字母表示：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m

（其中m≠0

）。

3.5.20.教师追问（深化算理）：为什么可以这样做？其背后的数学原理是什么？

4.6.21.引导揭示算理：(a+b+c)÷m=(a+b+c)×(1/m)

（除法转化为乘以其倒数）。根据乘法分配律，(a+b+c)×(1/m)=a×(1/m)+b×(1/m)+c×(1/m)=a÷m+b÷m+c÷m

。动画演示这一转化过程，强化理解。

7.22.形成法则：师生共同用精炼的数学语言总结法则，并板书。

23.对比辨析，明确关键：

1.24.提问：多项式除以单项式的法则，与多项式乘以单项式的法则有什么联系和区别？（联系：都用到分配律；区别：运算不同，一个是逐项乘，一个是逐项除）。

2.25.强调注意事项（板书强调）：

1.3.26.先确定商的符号（类比有理数除法）。

2.4.27.每一项都要除以单项式，不能漏项。

3.5.28.单项式除以单项式时，要遵循其运算法则（系数相除，同底数幂相减）。

4.6.29.结果通常按某个字母的降幂排列，并检查是否是最简形式（如有同类项需合并）。

（三）典例精析，深化理解(预计时间：12分钟)

设计意图：通过由浅入深、具有代表性的例题，教师示范规范的解题步骤和思维过程，帮助学生巩固法则，掌握运算技能，并初步渗透分类讨论、整体思想等高级思维。

教学实施：

例1：基础应用，规范书写

计算：(9x⁴-15x²+6x)÷3x

1.学生尝试：先让一位学生板演，其余在练习本上完成。

2.师生共析：

1.3.步骤化讲解：

1.2.4.写算式：原式=(9x⁴)÷(3x)+(-15x²)÷(3x)+(6x)÷(3x)

（体现“分别相除”）

2.3.5.逐项计算：=3x³+(-5x)+2

（系数、同底数幂分别运算）

3.4.6.写成代数和：=3x³-5x+2

5.7.强调规范：板书展示完整、规范的书写过程，强调步骤性和等号对齐。

6.8.提问：商的项数与被除式的项数有什么关系？（相同）最后一项6x÷3x=2

，为什么是2

而不是2x

？（同底数幂x¹÷x¹=x⁰=1

）

例2：符号处理与整体意识

计算：(-12a⁵b³c+8a⁴b³c²-6a³b²)÷(-4a³b²)

1.学生活动：独立完成，同桌互换检查。

2.重点剖析：

1.3.符号：除数是负数，商的符号如何？（先确定总体符号为负，或每项相除时单独处理符号。引导学生比较哪种更不易出错）。

2.4.不漏项：被除式有三项，商也必须是三项之和。

3.5.字母指数计算：详细演算a⁵÷a³=a²

，b³÷b²=b

，c÷1=c

等过程。

4.6.结果：=3a²bc-2abc²+(3/2)

。追问：最后一项3/2

还需要乘以a

或b

吗？为什么？（因为a³÷a³=a⁰=1

，b²÷b²=b⁰=1

）

例3：结构辨识与灵活转化

计算：[(x+y)²-(x-y)²]÷2xy

1.思维引导：

1.2.这个式子直接看，被除式是多项式吗？（是，它由(x+y)²

和-(x-y)²

两项组成）

2.3.但在运算前，可以对被除式进行什么处理？（先利用乘法公式化简被除式）

3.4.学生活动：先化简(x+y)²-(x-y)²=(x²+2xy+y²)-(x²-2xy+y²)=4xy

。

4.5.再计算：原式=(4xy)÷(2xy)=2

。

6.方法提炼：运算前，先观察被除式的结构，看能否先进行化简（合并同类项、运用公式等），使计算更简便。这体现了“先化简，后运算”的优化思想。

（四）变式训练，巩固内化(预计时间：8分钟)

设计意图：设计层次分明、题型多样的课堂练习，及时巩固新知，反馈学习效果。通过辨析易错点、开放性问题，提升学生思维的批判性和灵活性。

教学实施：

“练兵场”阶梯练习：

1.基础巩固（全体必做）：

1.2.(15a³b²-10a²b³)÷5a²b²

2.3.(6x²y³-9xy⁴)÷(-3xy³)

3.4.(0.25a⁴b²-0.5a³b³+a²b⁴)÷(-0.5a²b²)

5.易错辨析（小组讨论）：判断下列计算是否正确，错误的请改正。

1.6.(10x⁴-8x³)÷2x=5x³-4x²

（漏除x

的指数？）

2.7.(12a³-6a²+3a)÷3a=4a²-2a

（漏了最后一项3a÷3a=1

）

3.8.(4x²y-2xy²)÷(-2xy)=-2x+y

（符号错误？应为-2x+y

还是-2x-y

？分析：-2xy²÷(-2xy)=+y

）

9.拓展提升（学有余力选做）：

1.10.已知(28a³-14a²+7a)÷M=-4a²+2a-1

，求单项式M

。（逆向思维，多项式除法与乘法的互逆关系）

2.11.一个长方体的体积为(3x³y+6x²y²-9xy³)

立方厘米，它的底面积为3xy

平方厘米，求这个长方体的高。（建立数学模型并求解）

3.12.设计一道多项式除以单项式的题目，使它的商是2x²-3x+1

。（开放设计，深度理解运算结构）

1.组织方式：学生独立完成基础题，教师巡视批改，快速了解整体掌握情况。易错辨析题由小组讨论后派代表讲解。拓展题作为思考题，鼓励学生挑战，并可在课后继续研究。

（五）链接实际，拓展升华(预计时间：5分钟)

设计意图：将数学知识还原到更广阔的应用背景中，通过解决跨学科、有挑战性的微项目问题，让学生体验数学的威力和价值，培养综合应用能力与创新意识。

教学实施：

微项目：“共享农田的智慧分配”

1.情境：某生态农场有一块总面积为(8a²b+12ab²)

平方米的矩形土地，计划平均分给4ab

个社区家庭进行共享种植。

2.问题链：

1.3.平均每个家庭分得的土地面积是多少？（直接应用：(8a²b+12ab²)÷4ab=2a+3b

平方米）

2.4.如果a

代表10米，b

代表5米，请算出具体的面积数值。（2*10+3*5=35

平方米）

3.5.（跨学科联系-几何）如果农场主想把这整块土地用篱笆围起来，已知长为(4a+6b)

米，你能根据面积公式求出宽吗？这与我们今天的运算有何联系？（宽=面积÷长=[(8a²b+12ab²)]÷(4a+6b)

。指出：这是多项式除以多项式，我们现在还不会，但它来源于今天的知识，是我们下一步要学习的。这体现了知识的连续性。）

4.6.（开放思考）如果这些家庭想在他们分得的土地上，沿着边界种植一圈花卉，你能提出一个与周长相关的数学问题吗？

7.活动形式：师生互动探讨。重点在于引导学生列出算式、解释结果的现实意义，并感受从数学结果回到实际解释的完整过程。

（六）反思小结，体系建构(预计时间：2分钟)

设计意图：引导学生从知识、方法、思想、情感等多个维度进行反思总结，将零散的知识点串联成线，编织成网，形成稳定的认知结构。鼓励学生提出新问题，保持探究的延续性。

教学实施：

1.学生自主总结：通过今天的学习，你收获了哪些知识？掌握了什么方法？感悟了哪些数学思想？还有什么疑惑或想进一步研究的问题？

2.教师提炼升华（结合板书）：

1.3.知识线：多项式除以单项式→转化为→单项式除以单项式→依据：乘除互逆、乘法分配律。

2.4.方法线：观察—猜想—验证—归纳（探索新知）；分项—逐除—相加—化简（实施运算）。

3.5.思想线：转化化归思想（除法转乘法）、数式通性思想（分配律）、类比思想、模型思想。

4.6.情感线：数学源于生活，用于生活，且与其他学科紧密相连。

7.展望延伸：今天我们学习了“多项式÷单项式”，那么“多项式÷多项式”该如何计算呢？这就像我们当初从数的除法过渡到代数式的除法一样，充满了挑战与乐趣，留待我们下一章去探索。

七、板书设计

主板书（逻辑清晰，重点突出，保留全程）

课题：多项式除以单项式

一、法则

(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m

（m≠0）

文字表述：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

二、算理（转化与依据）

(a+b+c)÷m=(a+b+c)×1/m

（除法转化为乘法）

=a×1/m+b×1/m+c×1/m

（乘法分配律）

=a÷m+b÷m+c÷m

三、运算步骤（“分、除、加、简”）

1.分：写出多项式各项分别相除的和式。

2.除：对每个单项式除法进行运算（系数、同底数幂）。

3.加：将所得的商相加。

4.简：整理结果（按降幂排列，合并同类项）。

四、注意事项（符号、不漏、指数、化简）

1.定符号

2.每项都除到

3.明指数

4.简结果

五、例题示范区（随讲随写，保留关键步骤）

例1：(9x⁴-15x²+6x)÷3x=...=3x³-5x+2

例2：(-12a⁵b³c+...)÷(-4a³b²)=...=3a²bc-2abc²+3/2

例3：[(x+y)²-(x-y)²]÷2xy=(4xy)÷2xy=2

副板书/电子白板区（用于学生板演、临时演算、生成性内容记录）

八、分层作业设计

设计理念：遵循因材施教原则，作业设计体现基础性、发展性和实践性，满足不同层次学生的发展需求。

A层（基础巩固，全体完成）：

1.教材课后练习题（全部）。

2.同步练习册基础达标部分。

3.整理本节课的笔记，用思维导图的形式呈现法则、算理、步骤和注意事项。

B层（能力提升，建议大部分学生完成）：

1.计算下列各式：

1.2.[(2x+y)²-y(y+4x)]÷2x

2.3.[5a(2a-b)-2a(b-2a)]÷4a²

4.先化简，再求值：[(2x-y)²+(2x-y)(y+2x)-4xy]÷(-2x)

，其中x=1,y=-2

。

5.已知一个多项式与单项式-3x²y

的积是12x⁴y-9x³y²+6x²y³

，求这个多项式。

C层（拓展探究，供学有余力学生选做）：

1.（跨学科-物理）研究两个电阻R₁

、R₂

并联后的总电阻R

，公式为1/R=1/R₁+1/R₂

。若R₁=ax

欧姆，总电阻R=(a²x²)/(a²x+ax²)

欧姆，请求出R₂

的表达式。这属于哪一类代数运算？

2.（数学文化/探究）查阅资料，了解“长除法”在代数发展史上的作用。尝试用类似整数竖式除法的方法，探索(x²+5x+6)÷(x+2)

的计算过程，并与因式分解的方法进行对比。

3.（项目