重庆市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周考七试题111

重庆市第一中学高二上学期数学周考七试题一、单选题：本题共8小题、每小题5分，共分.1.已知在上存在极值点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，结合极值点的定义即可求解.【详解】由题意得，令，因为在上存在极值点，所以方程在上有两个不等实根，所以，解得，则实数的取值范围为.故选：D.2.已知等比数列满足：.设的前项和为，则（）A.149B.153C.155D.157【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求解，从而可得的通项公式，根据分组求和可得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，则，可得，所以，则，第1页/共23页

所以.故选：B.3.已知点满足，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解.表示点到点的距离；表示点到直线的距离，又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，设，则，当且仅当时，等号成立，故选：C.4.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由等比数列和等差数的性质先求出和的值，从而可求出的值【详解】解：因为数列是等比数列，数列是等差数列，，，第2页/共23页

所以，，所以，，所以，，所以，故选：A【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题5.已知圆C：，C上使得成立的点P）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】结合题意表示出，化简得到P的轨迹为圆,同时满足点P在圆C上，转化为判断两圆的位置关系,进而得到答案.【详解】假设圆C上存在点P，设，圆C的方程可化为，圆心为．，即，即，表示圆，圆心为．因为，所以为圆与圆位置关系为相交，故点P有2个．故选：C.第3页/共23页

6.设定义在R上的函数满足任意都有，且时，有，则、、的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】的周期为断得解.【详解】由任意都有，得，则是周期为的函数，于是，令函数，而当时，，因此，即函数在上单调递减，则，即，因此，所以.故选：D7.已知双曲线为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P与圆E∶（）A.B.C.D.【答案】C第4页/共23页

【解析】【分析】先设直线与圆E∶相切于点，根据题意，得到，从而得到，利用相似比求出，根据勾股定理求出与的关系式，从而可得渐近线方程.【详解】如图所示，设直线与圆相切于点，且圆心，半径=．因为以为直径的圆过点P，所以，又圆E与直线的切点为M，所以，从而．由，得=，所以===b．又，所以，解得，因此该双曲线的渐近线方程为．故选：C8.已知）A.B.C.D.【答案】C【解析】，第5页/共23页

得，再利用导函数求ab的取值范围即可.【详解】由，得，令，即，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，而，因此是直线与函数图象的两个交点的横坐标，不妨令，，而，则，即有，，因此，令函数，求导得，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上单调递减，则，即，函数在上单调递减，则，即，函数在上单调递减，因此，即，即，则，由恒成立，得，所以实数的取值范围为.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共分.9.已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（）A.B.C.的最大值为D.【答案】ABC【解析】【分析】根据，通过得出，判断A，通过得出，第6页/共23页

进而推出，判断B的正误，等差数列中，由，结合等差数列性质可得的最大值为C转化为出，判断D.【详解】对于A选项，因为，所以，故，A正确，对于B选项，因为，所以，即，又，所以，B正确，对于C选项，因为，，所以数列的公差小于0，且当时，，当时，，所以的最大值为，C正确，对于D选项，，所以D错.故选：ABC.10.已知O的焦点为在的直线与交于不同的两点，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】对于A，由准线的位置可计算得；对于B，设出，联立直线与抛物线，结合韦达定理，即可得解；对于C，由抛物线的性质将转化为，再将其转化为，结合直线倾斜角的范围，即可得解；对于D，由抛物线的性质可得后结合韦达定理，即可得解.【详解】由题可知，，故，故抛物线.第7页/共23页

对于A：，故A正确；对于B：易知直线的斜率存在，且不为0，故可设直线，，联立直线与抛物线可得，，消去得，，解得或，，，故B错误；对于C：过点作准线的垂线，由抛物线的性质可知，，故.由B可知，，或，由对称性，不妨令，则，则，，，即，故C错误；对于D：由B可知，，.由抛物线的性质可知，，故，故D正确.故选：AD.已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，第8页/共23页

过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（）A.数列是等差数列B.当且时，C.D.记的面积为，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A，通过导数求切线方程，进而可得，所以A正确；对于B，需要构造，再用导数证明可得结果；对于C，根据两点间的距离公式，再结合不等式即可判断；对于D，先计算，再结合等差数列的性质即可得结果.【详解】由函数，得.对于A：过点作曲线的切线为：.又因为切线交x轴于，代入上述切线，得，即，故数列是等差数列，所以A正确；对于B：由上可知，即.又，所以，.要证，只需证明：，令，.当时，单调递减；当时，单调递增；所以函数，所以恒成立，故成立，所以B正确；第9页/共23页

对于C：，同理，.由数列是等差数列，设公差为，.所以，，.所以.即，故C错误；对于D：因为中，，所以三角形底边长为，高为，所以三角形的面积，同理，且数列是等差数列，.所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知数列满足，则数列前项的和为__________.【答案】【解析】【分析】根据裂项相消求和法，化简计算，即可得答案.【详解】因为，第10页/共23页

所以故答案：13.函数，其导函数为，则___________.【答案】【解析】【分析】，令，证明函数为奇函数，为偶函数，利用函数奇偶性的性质，代入即可求解.【详解】，函数的定义域为，令，定义域为，，，所以函数为奇函数，，，，所以为偶函数，第11页/共23页

又，所以，所以.故答案为：.14.已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，根据渐近线斜率与离心率的关系，从而得到正确答案.【详解】由P为双曲线渐近线上一点，，又，设，则，由，即，解得又在中，为斜边中线，因此，在中，由余弦定理可求得，则为锐角，则，即其中一条渐近线的斜率，即，第12页/共23页

而离心率，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点.（1）求直线l的方程；（2）求p【答案】（1）（2）【解析】1D的坐标求出ODAB得答案；（2AB得到AB纵坐标的关系，联立直线和抛物线方程，消元后利用根与系数的关系求解．【小问1详解】由题意，得直线的斜率，因为，所以直线的斜率.又点坐标为，所以直线的方程为，即.【小问2详解】第13页/共23页

由，得，设，则.①因为，所以，即.又因为，所以.②将①代入②，得.又，所以.16.已知函数.（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若过点可作曲线的两条切线，记直线的斜率分别为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）根据函数的单调性，利用导函数不小于0恒成立，再分离参数后，利用导数求最大值即可；（2）设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，过点建立方程，根据方程有两正根，求出参数的取值范围，再由的表达式求范围即可.【小问1详解】因为函数在定义域内单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，则，第14页/共23页

当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，，所以.【小问2详解】设切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，即，化简可得，因为存在两条切线，所以方程有两个不等的正根，故，解得，此时，所以，由，可知，所以的取值范围为.17.已知数列满足的前项和为.（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）记的前项和为.若存在，使得成立，求正实数的最小值.第15页/共23页

【答案】（1）（2）【解析】1与1的表达式，进而求出.（2）先根据求出的表达式，再利用错位相减法求，根据已知条件求出，再将进行化简，分为奇数和偶数两种情况讨论，求出的最小值.【小问1详解】已知，两边同时取倒数可得，则.又，所以.所以是以为首项，为公比的等比数列.由等比数列通项公式可得，则，所以.【小问2详解】由，可得，，①第16页/共23页

，②①－②得：，根据等比数列求和公式可得：，所以.由，可得将和代入不等式可得：，化简得：，即，当为奇数时，，则，因为，所以；当时，取得最大值，所以，无解；当为不小于2的偶数时，，则0，即.因为随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，所以，解得或.第17页/共23页

又因为为正实数，所以，综上，实数的最小值为.18.已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点．（1）分别求的方程．（2Q是上一点，分别交直线和于为直径的圆记为圆D．（i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．（iiP是DP作圆D面积的取值范围．【答案】（1）曲线，曲线；（2i）圆过定点ii）【解析】1）根据判断曲线焦点的位置，再根据离心率，得出的值；（2i，的坐标，根据中点坐标公式得出圆心的坐标，在利用的半径，最后将圆心与半径代入得圆的标准方程，即可得出圆ii）根据圆的面积公式，得出圆D的面积最小时，，得出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，可求的取值范围，根据切线性质可求，最后再构造出函数，结合函数单调性求出面积的取值范围.小问1详解】因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上；对于曲线，，解得：；第18页/共23页

对于曲线，，解得：；即，所以曲线，曲线.【小问2详解】（i）由题意可知：，，设，因为在上，则，可得，直线的方程为，令得：，即；直线的方程为，令得：，即；则，且，可知圆的圆心为，半径，则圆的方程为：，整理可得，令得，所以圆过定点；第19页/共23页

（ii）因为，则，当且仅当时，等号成立，所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为，设，，则，即；则，因为，是圆D的两条切线，则，，可知，，设，则，,因为，令，则，可得，因为在内单调递减，且，，可得，所以面积的取值范围为.19.已知且.（1）试讨论函数的单调性；（2）当时，若有三个零点.①求的范围；②设，求证：.【答案】（1）答案见解析第20页/共23页

（2）①；②证明见解析【解析】1）去绝对值符号，再分和两种