中国古代数学成就之三从隙积术“到”垛积术(二)

中国古代数学成就之三一从“隙积术”

到〃垛积术”

一、贾宪三角形

贾宪，北宋人，约在1023-1050年间完成《黄帝九章算经细草》，原书佚

失，但其主要内容被杨辉(约13世纪中)著作所抄录，因能传世,杨辉《详解

九章算法》(1261)载有“开方作法本源”图，明确指出这个图“出释锁算书,

贾宪用此术”.这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”.《详解九章算

法》同时录有贾宪进行高次器开方的“增乘开方法”.

1.对于这种数系规律，中亚的阿尔•卡西于1423年才发表.16世纪的德国的阿

披亚努斯也研究过它.17世纪的法国帕斯卡也造过这种“三角形”，被西方

称之为“帕斯卡三角形”

2.对(a+b”的展开式的理解

⑴分离系数法和递推关系

(a+b)°=1,(a+bHO)

(a+b)1=a+b,

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,

(a+b)3=(a+b)(a2+2ab+b2)

=a3+3a2b+3ab2+b3,

(a+b)4=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)

=a4+4a^b+6a2b2+4ab3+b4,

(a+b)5=(a+b)(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)

=a5+5a4b+1Oa^^l0a2b3+5ab4+b5,

(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+5ab5+b6,

15101051

15101051

1615201561

(2)整体认识

(a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)........(a+b)(a+b)

„”-n(n-1)„,n(n-l)(n-2),,

-an+nar-^b+———^-an-92b2+——---■—-~~-a^b1+…

2X13x2x1

+?lQb"T+bn

nn22n3311

=C^a+c；1an-1b+C^a-b+C^a-b+…+C^ab^+C^b.

二、对高阶等差数列求和的贡献

求前n个自然数的平方和l+4+9+16+25+---+n2=?即解决四隅(yii)垛求和，这是最常

见的特殊数列求和问题.

例果子以垛，下方十四个，问计几何？

术日：下方加一，乘下方为平积.又加半为高，以乘下方为高积.如三而一.

解：12+22+32+--+142=

XX(+)X(+

)

=XX.=.

此法用公式表不为1+4+9+16+25"*—+n2=

(+)(+

).它是如何证明的呢？下面分别介绍我国数学家对它的研究.

L杨辉的方法(作差，构造新数列)：

1,4.9.16,25,36,49,64,81,一（二阶等差数列）

一次差3,5,7,9,11,13,15,17,一（等差数列）

二次差2,2,2,2,2,2,2,一（常数列）

杨辉发现:

(1)原数列中的每一项，都可以用含1、3、2这三个数的算式来表示.例

如：

a4=16=9+7=(4+5)+(5+2)=(1+3)+(3+2)+(3+2)+2

-1+3x3+3x2.

a5=25=16+9=(l+3x3+3x2)+(7+2)

=(1+3x3+3x2)+(5+2)+2

=1+4x3+6x2.

86=36=25+11=1+5x3+10x2.

(2)原数列中的第n+1项，比一次差数列的前n项和多1.例如：

a<=16=(3+5+7)+1=15+1.

^=36=(3+5+7+9+11)+1=35+1.

这时杨辉想到，如果构造一个首项为0,比原数列｛

｝再高一阶的新数列，那么它的第n+1项就是原数列的前n项的和.

（

国

团

｝0,1,5,14,30,55,91,140,204,••…（三阶等差数列）

）1,4.9.16,25,36,49,64,一（二阶等差数列）

一次差3,5,7,9,11,13,15,17,一（等差数列）

二次差2,2,2,2,2,2,2,…（常

数列）

数列｛

｝的各项用0、1、3、2分别表示为：

b2=l=0+1=IxO+lxl,

b3=5=1+4=(0+l)+(l+3)=lx0+2xl+lx3,

b4=14=5+9=(lxO+2xl+lx3)+(1+2X3+2)

=lx0+3xl+3x3+lx2,

b5=30=14+16=(1X0+3X1+3X3+1X2)+(Ixl+3x3+lx2)

=lx0+4xl+6x3+4x2,

b6=55=30+25=(1X0+4X1+6X3+4X2)+(1X1+4X3+6X2)

=1x0+5x1+10x3+10x2,

b7=91=55+36=(1x0+5x1+10x3+10x2)+(1x1+5x3+10x2)

=1x0+6x1+15x3+20x2,

b8=140=91+49=(1x0+6x1+15x3+20x2,)+(1x1+6x3+15x2,)

-1x0+7x1+21x3+35x2,

这时，杨辉发现当数列｛次网

6①

层①①

｝的各项用0、1、3、2分别表示时，bn+1项%①②①

中0、1、3、2的系数，恰好是(a+b)n展开式中

5①③③①

前四项的系数.这样，

1+4+9+16+25+……+n2京①④⑥④①

=ai+a2+a3+a4+...+an黑①⑤⑩⑩⑤①

=bnH金①⑥⑮⑳⑮⑥①

命

中

右

以

=Cgx0+C：x1+C2x3+x2左

实

衰

康

■麦

面

果

乃

乃

/c,<.n(n-l)-,n(n-l)(n-2)„齐

除

商

将

网

=1X0+11X1+——-X3+———-——-X2枳

26

之

方

廉

算

败

4n[3+9(2n-2)+(n-1)(n-2)]

4n(n2+齐+｝4n(n+1)(n+5)■

SP1+4+9+16+25+…+才

=jn(n+1)(n+J=jn(n+l)(2n+1).

练习用杨辉的方法证明三角垛公式：

14-3+6+10+15+……+&苫=：n(n+l)(n+2).

26

证明：构造新数列｛

□

□

｝.

(

0

0

)0,1,4,10,20,35,56,84,120,165,--(三阶等差数列)

)1,3.6.10,15,21,28,36,45,一(二阶等差数列)

一次差2,3,4,5,6,7,8,9,…(等差数列)

二次差1,1,1,1,1,1,1,…(常数列)

1+3+6+10+15+……+

2

=ai+a2+a3+a4+...+an=bn*i

x0+©x1+髭x2+量x1

/c,4.n(n-l)-,n(n-l)(n-2)4

=1X0+11X1+—_-X2+———-——-X1

26

—n[6+6(n—1)+(n2—3n+2)]

6

=4n(n2+3n+2)Wn(n+l)(n+2).

36

即1+3+6+10+15+……+==71(71+l)(n+2).

26

3.利用图形拼接的方法直观证明

下面介绍的利用图形拼接的方法直观证明某些特殊数列的和，体现了我国古代

数学家独特的思想方法和聪明才智。这是对世界数学发展的又一贡献.

(1)关于1+4+9+16+25+…+才=；用＞+1)(2兀+1)的直观证明

6

为了理解下面的拼图方法的依据，我们先把公式做一下变形：

1+4+9+16+25+…+才=-n(n+1)(2九+1).

6

3(1+4+9+16+25+♦­•+n2)=^n(n4-l)(2n4-1)=(n+l)n24-1n(n+1).

拼接的第一步：设n=6.各个层分别用不同的颜色表示.

▲△△△△△△AAA▲▲▲▲▲△△△△△△

△△藤AAAA▲▲▲▲▲AAAAAA

△AAA44444△△△△△△

AAAAMM3AAAAAA

▲▲▲▲▲AAAAAA

拼接的第二步：

先从第n层（红色的）开始，每n个一横行，分别排成n个一行，再把第

n-1层（蓝色的）每（n-1）个一横行，也分别排成（nT）个一行，依次对应放

在前面已经排列好的那一横行的下面（如图所示），这样顺次摆下去…，到

第二层（白色的），分成两行，每行2个摆上去，最后的顶层（黑色的）一个也

对应摆上去.

△△△△△△△△△△△A

图

图

(图)((z

x3)

△A3A2AA△A△

rAA

AAA

▲A

AAAA

AZXS

A-?A

A

（图4）（图5）（图6）

拼接的三步

把图1至图6横排列的▲变成竖排列（如图7至12）,并把斜上方的第

一行▲的颜色变为黄色（第二、三步相当于构造了两个辅助数列）.

△△△

△△

△△△△△

△△△△△

△△▲△▲

△△△▲△△▲△

△△▲△▲

△▲△△▲

△△▲△▲△△

△△▲△△▲

△▲△▲△△A△

△△▲△▲△s△△

(图7)(图8)(图9)(图10)(图11)(图⑵

拼接的第四步△

把图7至图12中的黄色/排成三角阵.得到△△

□

△△△△△

□△△△△△△

□(□+□).

拼接的第五步

分别把图7至图12中余下的上，分别与图1至图6对应拼接，再把表示

（n-2）2.…、22.12的▲方阵（蓝、绿、橙、白、黑）分别插进去，得到

n个n2,再加上原来剩下的n2（红色的/方阵），一共有（n+1）个n2.

△△△△AA«A△△

AAAAAA△▲△AXXA▲A

<一

△△AAA△A会A

△一«AAA△AZ

△A

会

△A会A

△△会XAA

△-AS△AA

△△△△A△△AA△△△△△△△

r

会▲AA△▲AAA△△A△△△

▲AOA△▲AAA△△A△△△

△▲AAZ△▲AKA△△A△△△

A

△▲AA△▲AAA△△A△△△

样

这

就

证

明了

△▲AX△A▲AAA△△A△△△

3(1+4+9+16+25+-+n2)=(n4-l)n2+|n(n4-1).

即1+4+9+16+25+-4-/72=in(n+l)(2n+1).

6

（2）关于1+3+6+10+15+……+吗3=：九（71+1）（71+2）的直观证明

26

为了理解下面的拼图方法的依据，我们先把公式做一下变形：

3（1+3+6+10+15+..+~+1）x（n+2）.

拼接的第一步：设n=6.各个层分别用绿色的/组成三角阵来表示

拼接的第二步：我们再构造与原数列相同两个辅助数列分别列用红色/和

蓝色/表示的该数列，并把对应的图形对接成平行四边形.

3）（图4）（图5）（图6）

拼接的第三步：

先从第n个图（即图6）开始，每n个一横行，分别排成n个一行，再把第nT

个图（即图5）每（n-1）个一横行，也分别排成（nT）个一行，依次对应放

在前面已经排列好的那一横行的上面（如图所示），这样顺次摆下去…，空缺

部分用原数列（绿色的/）填补，得到表示（n+2）个三角阵（1+2+3+“+）的

八个图.

矗

这样就证明了

3(1+3+6+10+15+...+=(1+2+3+…+n)x(n4-2)

=in(n+1)x(n+2).

即1+3+6+10+15+……+=in(n+l)(n+2).

26

4.递推叠加法

递推叠加法是利用(k+：)n的展开式，构造数列求和.利用这种方法，可以依次

求出自然数的平方和、立方和、四次方和、五次方和、……，这是现在普遍

采用的方法.

证明：1+4+9+16+25+…+n2=

□

□

□(□+□)(□□+□).

由(k+l)3=k3+3k2+3k+l,

令k=l.2.3.4....、n,得到n个等式：

+X

X

+X

+X+

+X

+X+

+X

X

(-)

+X

(-)

+X(-)+,

(□+□)

□

□

□

+nx

□

□

+nxn+n,

把这n个等式相加，得

(n+1)3=1+3(12+22+32+42+***+n~)+3(1+2+3+4+…+n)+n

3(12+22+32+42+--n0=(n+1)-3x-(n+1)

—[2(n+I)2-3n-2]=”1)一+对

想一想：利用(k+1)4=k4+4k3+6k2+4k+1,令k=1.2.3.4........、n,把

得到n个等式相加，如何得到13+23+33+43+--•+n3=

□(□+□)

□

□

三、沈括的隙积术

我国宋代科学家沈括(1031—1095)梦谈谈

A*vTI♦

在他的巨作《梦溪笔谈》卷18第四条中写［了$

到：足衣、“一、

算术求积尺之法，如刍要(mCng)、刍童、受曲*屹

方池、冥谷、堑堵、鳖将圆锥、阳马之类，物…I，

形备矣，独未有隙积一术.康

冥谷

方锥和方号

古法：凡算方积之物,有立方，谓六幕皆方者，其法再自乘则

得之.

有堑堵，谓如土墙者，两边杀，两头齐.其法并上下广折半以为之广，以直

高乘之.又以直高为股，以上广减下广，余者半之为勾，勾股求弦，以为斜高.

(即S:

上

+

下

2

九斜高二

h

2

+

(

上

下

2

)

2

)

有刍童，谓如覆(他)斗者，四面皆杀.其法倍上长加入下长，以上广乘之,

倍下长加入上长，以下广乘之，并二位，以高乘之，六而一.

即vJ[4(2B+b)+a(2b+B)]

6

现在用分割的方法，证明如下：

如图，设MN=a,NC=b,EF=A,FG=B,

高二h,则IF=

,FJ=

V=abh+2x(i-ha)+2x

=abh+-b)+^bh(A-a)+-a)(B—b)

二;/i[6ab+3QB—3ub+3bA—Sub+2(4B—bA—aB+Qb)]

6

^h(2AB4-M+lab+aB)

6

++)

gpV="4（2B+b）+a（2b+8）］.

6

例应用举例：《九章算术》卷第五商功22题

今有冥谷，上广二丈，袤（mao）七丈，下广八尺，袤（mao）四丈，深六丈

五尺。问积几何.（答曰：五万二千尺.）

解：v二二

X

X

X+

+X

X+

X+X(X

=65x(70x8+40x6)=65x800=52000.

问题：能否用前面求刍童的体积公式，计算下面球垒成的球垛？

如图所示，有n层圆球，各层都紧靠呈矩形，从下层到上层的长和宽上的

球，依次各减少一个，若底层长有A个球、宽有B个球，顶层长有a个球、宽

有b个球，问共有多少个球？

沈括曰：隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆

斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。予思而得

之：用刍童法为上位，下位别列，下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，

并入上位。

设共有S个球，沈括给出的隙积术公式表示为：

S=AB+(A-1)(B-1)+(A-2)(B-2)+........+(a+1)(b+1)+ab

n[A(23+b)+a(2b+B)](3-b)n

66

即S=—^~[A[2B+b)+a(2b+B)+(B—b)].

6

下面给出这个公式的一个证明：

由题意，A=a+(n-l),B=b+(n-l).

S=nab+也*+当处+02+12+22+……+(n-l)2

22

=b+如®+n(B-b)a+n-l)n[2(n-l)-H]

226

Fab+n(/lb+Ba-2ab)+n(8-b){2(4-a)+l}

26

一:[6ab+3Ab+3Ba-Gab+2AB-2Ab-2Ba+2ab+(B-

6

孙

一：(2AB+Ab+2ab+Ba+B-b)

6

一?|4(2B+b)+a(2b+B)+(但一切.

沈括日：假令积罂(ylng)：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二

行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘

之，得之三十二，又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二，

并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，余十，以

高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四。六而一，得六百四十九，此为罂数也。

刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡(x诒n)积也。

Nl=

X+

X+(X+)X

X=,

罂数N=2(12-2)X11=3784+110=当空649.

666

沈括也是一位卓越的数学家，在数学的许多领域内都取得了辉煌的成就,

其中《隙积术和会圆术》就是他的两大重要研究成果。

会圆术是计算圆弧的弦、矢(弧的高)与孤长间数量关系的数学公式.

如图，设CD=h,AO=BO=r,则

弦AB二

(-)

弧AB2+

+

在我国数学史上，沈括第一个利用弦、矢求出了孤长的近似值.这一公式为

元代郭守敬创制《授时历》提供了直接的数学依据.

隙积术是用来计算诸如累棋、层坛、积罂(堆砌的酒坛子)一类堆垛物体的体

积公式，它发展了自《九章算术》以来关于等差级数的研究，成为中国研究高

阶等差级数的开端，而且这种研究一直延续到十九世纪。“创始之功，断推沈

氏”即沈括的研究开了中国垛积术研究的先河。

南宋时期的数学家杨辉发展了这一成果，创造了垛积术公式。在他的《详解九章

算法》(1261年)和元朝的朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)中又给出许多新

的级数和公式，这些结果统称为垛积术.垛积术是隙积术成果的发展.

四、杨辉的垛积术

1.杨辉在《详解九章算法》中，把的《九章算术》商功篇中方锥、方亭、刍

要、刍童、鳖鹏等求体积的变通成垛积术(其中，他的高阶等差数列求和

方法已经在前面介绍).

2.四隅(y。)垛

1+4+9+16+25+....4-n2=1n(n+l)(n+

3.方垛

p2+(p+l)2+(p+2；2+...+(n-l)2+n2

=1(n-p+l)[(n2+即+p2)+阴

4.刍费垛

P+2(p+1)+3(p+2)+4(p+3)+...+n[p+(n—1)]

=7^(714-l)[2(p+n-1)+p]

5.刍童垛

例长方形立体垛，上面长p个，宽q个，高n层，问：计几何？

令a-p+(n-1),b-q+(n-1),则

PG(h1)(#1)+(p+2)(q+2)+(p+3)(q+3)+...+[p+(n-l)][q4-(n-

1)]

=^n[a(2b+q)+p[2q+b)+(匕-q)]

o

6.三角垛

例三角垛下广一面十二个，上尖，高十二个，问：计几何？

术曰：下广加一，乘下广。平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一O

解：0+0+0+00+00+--+

00X00

0

12x(124-1)x(12+2)

=---------=—-------=2x13x14=364.

6

用公式表示为

1+3+6+10+15+……+=in(n+l)(n+2).

即1+3+6+10+15+……+=in(n+l)(n+2).

26

四、朱世杰的垛积术

朱世杰的《四元玉鉴》成书于1303年，共三卷，24门，288问.在卷中《菱草

行段》、《如象招数》和卷下《果垛迭藏》门中，他主要研究三角垛、四角垛这两

个基本的垛积系统以及由此产生的岚峰形垛系统.

另外，书中记述的四元术一一多元高次方程组列式及消元法，在欧洲到18-19

世纪才进行研究.而招差术一一高次内插法，在欧洲1670年以后才由格里高利、牛

顿等提出.

L三角垛中的高次方程

例今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累

贵一文，问底子每面几何？答曰：九个

术曰：立天元一为每个底子，如积求之，得三万一千六百八十为益实十为从方，

二十一为从上廉，一十四为下廉，三为从隅，三桀方开之，得每个底子,

合问。

解：三角垛自上而下，每边的果子数是：

1/2,3,4,5,6,7,…,n.

自上而下，每层的果子数是：

L3,6,10,15,21,28,,

0

0+1

2

自上而下，各层每个果子值钱：

2,3,4,5,6,7,8,-(n+1).

三角果子垛价值工由下列级数表示

5n=2+9+24+50+90+147+224+……+1n(n+I)2

团

回

}0,2,11,35,…

j

i

0

0

}2,9,24,50,90,147,…,

7,15,26,40,57,…

8,11,14,17,…

3,3,3,••

Sn=bn+1=CnxO+C^x2+C^x7+C^x8+CjvX3

=2n+x7+iT(n—2))X8+仆7(吁2)(.3).3

2624

=^(3n4+14n34-2In2+lOn)

这是一个已知级数和，倒求n的数学问题.朱世杰利用他的“天元术”，解高

次方程.

令Sn=1320得：

3n4+14n3+2In2+10?i-31680=0,

32

(n-9)(3n+41n+390n+3520)=07

n-9=0或3n3+41n2+390n+3520=0,(无正数根)

得n=9.

检验，V9=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320..

三、朱世杰研究的级数举例

我们通过用现在的代数方法进行的证明，来体验当年我国古代数学家用“筹

算”建立的算法体系的伟大成就，及进行计算、推理的艰辛.

(1)岚峰形垛

2+12+36+80+…+n2(n+1)=――n(n+1)(几+2)(3几+1)

-L4

证明：ak=k2(k+l)=k3+k2,

令k=l.2、3、4、…、n,得

33332222

Sn=(l+2+3+-+n)+(l+2+3+-+n)

_n(n+l)l2n(n+l)(2n+l)

=+6

=^n(n+l)[3n(n+1)4-2(2n+1)]

=-n(n+l)(3n2+7n+2)

=^n(n+l)(n+2)(3n+l).

(2)三角落一形垛

1x2x3+2x3x44-3x4x5+,,,+n(n4-l)(n+2)

1

=-n(n+l)(n+2)(n+3).

证明：ak=k(k+l)(k+2)=k2(k+l)+2k2+2k,

令k=l.2,3,4,…、n,得

S——Ti(n+1)(九+2)(3几+1)+2x-n(n+1)(2几+1)+2x——-

n1262

=--Tt[n+1)[(n+2)(3TL+1)+4(2n+1)+12]

=^n(n+l)(3n2+15n+18)

=^n(n+l)(n2+5几+6)

l)(n+2)(n+3).

—4n(n+

(3)四角落一形垛

1X2X3+2X3X5+3X4X7+*-+n(n+l)(2n+1)=—Ti(n+1)2(九+2).

证明：ak=k(k+l)(2k+l)=2k2(k+l)+k2+k,

令k=L2、3、4、…、n,得

S=2x—n(n+l)(n+2)(3n+1)+-n(n+l)(2n+1)+-n(n+1)

1262

=^n(n+l)[(n+2)(3n+1)+(2n+1)]+6

=in(n+l)(3n2+9/+6)=-n(n+l)(n2+3〃+2)

62

=1n(n+l)(n+l)(n+2)=1n(n+l)2(n+2).

(4)三角岚峰形垛

6+48+180+480+…+n2(n+l)(n+2)

=Ji71(九+DS+2)(几+3)(4n+1)

乙\J

证明：ak=k2(k+l)(k+2)=k3(k+l)+22(k+l)=k4+k3+2k2(k+l),

令k=1.2、3、4、…、n,得

S=^n(n+l)(2n+1)(3/+3n-1)+[竺罗]2

+2x^n(n4-l)(n+2)(3n+1)

=；n(n+1)七(2n+l)(3n24-3n-1)+；n(n4-1)4-i(n+2)(3n+1)1

LIO/JJ

=-n(n+1)—(2n+1)(31+3n-1)+-n(n4-1)+-(n+2)(3n+1)1

2.1523