2023届东北三省四市高考数学二模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在边长为1的等边三角形A3C中，点E是AC中点，点尸是8E中点，则赤.旃=（）

5353

A.—B.—C.-D.—

4488

2.已知数列'-If是公比为;的等比数列，且4〉0,若数列｛q｝是递增数列，则q的取值范围为（）

an3

A.（1,2）B.（0,3）C.（0,2）D.（0,1）

13

3.已知。=logI213b超丫4，c=log,J4,则a,〃,c的大小关系为（）

A.a>h>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

4.若函数=满足〃a）=/（。），且0<4V〃，则4"'"4的最小值是（）

4a-2b

3r-

A.0B.1C.-D.2V2

，、9

5.已知9〃｝为正项等比数列，S”是它的前〃项和，若％=16,且％与小的等差中项为三，则臬的值是（）

8

A.29Be30C.31D.32

6.如图，抛物线M：），2=8K的焦点为尸，过点”的直线/与抛物线M交于A,3两点，若直线/与以产为圆心,

线段■（O为坐标原点）长为半径的圆交于C,。两点，则关于值的说法正确的是（）

A.等于4B.大于4C.小于4D.不确定

x+y<2

7.已知变量x,y满足不等式组•x-ywi,则21一），的最小值为（）

x>0

A.-4B.-2C.0D.4

8.已知平面向量满足|£|二出|,且（01则ZB所夹的锐角为（）

D.0

7

9.己知AABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c且A=60。，b=3,AD为8c边上的中线，若AQ=一,

t2

则的面积为（）

A25出口15>/3「15n358

A.-------B.--------C.——D.---------

4444

10.已知复数z满足（l+2i）z=4+3i,贝I"的共枕复数是（）

A.2-iB.2+zC.1+2/D.1-2;

11.已知四棱锥P-A3CO中，0A_L平面43co，底面A8C3是边长为2的正方形，PA=5£为p。的中点,

则异面直线座与PO所成角的余弦值为（）

A屈R如「厉V15

A.--------B.------C.---------nD.------

393955

12.若复数z满足（l+i）z=i（i是虚数单位），贝ijz的虚部为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.对任意正整数〃，函数/（〃）=2/一7〃2cos〃乃一一1,若/（2）20,则义的取值范围是________；若不等式

/（〃）20恒成立，则义的最大值为.

x+y..3

14.设变量x,八z满足约束条件7-,亚-1,则目标函数z=2x+3y的最小值是____

2x-y<3

F\,2X3V

15.设P（x,y）为椭圆工+匕=1在第一象限上的点，则:；—十六的最小值为______.

16124-x6-y

16.已知向量，二（—4,3）,b=（6,m）,且a_L/?,则.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建

立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监

测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有耳月有1套系统监测出排放超标，则

立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立

即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为

且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当p=J时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统

每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计

算）？并说明理由.

18.（12分）已知的内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,满足退sinA+cosA=0.有三个条件：①。=1;

②〃=G；③50N=立•其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：

（1）求C;

（2）设D为边上一点，且4OJ.AC,求AA3O的面积.

19.（12分）如图，已知在三棱锥P—A8C中，Q4JL平面ABC,EF,G分别为ACPh尸8的中点，且AC=26E.

（1）求证：PBLBC；

（2）设平面EFG与8C交于点H,求证：”为8C的中点.

20.（12分）已知不等式«+1|+国+«-1|之|加+1|对于任意的xwR恒成立.

（1）求实数m的取值范围；

（2）若,〃的最大值为且正实数a,bf，满足々+2/2+3。=为.求证,+二—二之2+6.

2a+bb+2c

21.（12分）己知。>0,Z?>0,c>0.

⑴求诉a..嘤鲁,

(2)若nZ?c=l,求证：ay+by+c3..ab+be+ac.

22.(10分)如图1,在等腰梯形8中，两腰Ag=8"=2,底边A3=6,月入=4,。，C是A3的三等

分点，E是打鸟的中点.分别沿C£,QE将四边形8CE6和AOEg折起，使耳,生重合于点尸，得到如图2所示

的几何体.在图2中，M,N分别为CD,EF的中点.

国2

(1)证明：MN」平面人次").

(2)求直线CN与平面A3厂所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据平面向量基本定理，用血,前来表示赤，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：点E是AC中点，点尸是跖中点

通=g(福+荏)，AE=^AC

所以标通+

24

又通./二|丽.布卜osNA=lxlxg=g

所以标.丽=(3而+;正)•福

则"有二9

248

故选：C

【点睛】

本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.

2.D

【解析】

先根据已知条件求解出｛4｝的通项公式，然后根据｛见｝的单调性以及4〉0得到外满足的不等关系，由此求解出外的

取值范围.

【详解】

1(11、〃-1a=---------i-----------

由已知得二--1I，则”(11丫1丫

%3油匕-先I+1

因为4〉0,数列｛q｝是单调递增数列，

所以

化简得°<!<，一,

所以0<%<1.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据仆,《山之间的大

小关系分析问题.

3.D

【解析】

由指数函数的图像与性质易得〃最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a和。的大小关

系，进而得解.

【详解】

根据指数函数的图像与性质可知0<匕=(<1,

U3J

由对数函数的图像与性质可知〃=log]/3>l,c=log1314>l,所以力最小;

而由对数换底公式化简可得a-c=log1213-log1314

Igl3_lgl4

Ig213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

2

|(lgl2+lgl4)，

由基本不等式可知Igl2-lgl4<代入上式可得

4

,lg213--(Igl2+lgl4)

1113-乜12也14&[2-0

Igl21gl3Igl2-lgl3

(i\2

lg213--lgl68

_______",

"Igl2-lgl3

(1M1、

Ig13+-lgl68-Igl3——lg168

_I2J/2)

Igl2-lgl3

Igl2-lgl3

所以〃>C，

综上可知

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

4.A

【解析】

由%）=/（。）推导出/,二：2

，且将所求代数式变形为4"“2+h-今4=仝2〃+上/£一4_利用基本不等式

4a+2b22a+b

求得2a-〃的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.

【详解】

,/函数/(x)=|lnx|满足/(。)=f(b),.,.(inr/)2=(lnZ?)2,即(ln4-lnZ?)(lna+ln〃)=0,

•.•()<〃</?,/.Int?/.lnt/+ln/?=0,即ln(a〃)=0=>〃/?=1,

/.\=ab>a2»则0<4<1,

由基本不等式得24+〃=2。+,22」2如"!"=2近,当且仅当。=1时，等号成立.

a\a2

4a2+Z?2-4(2rz+/?)~-4ab-4(2a+-82a+b4

4。+2〃2(2〃+。)2(2a+b)2—2a+b'

由于函数y=在区间l_2&，y）上为增函数，

4〃+—4

所以，当2。+8=2&时，取得最小值号亲。•

4。+2〃

故选：A.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算,涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.

5.B

【解析】

设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计

算即可得到所求.

【详解】

设正项等比数列的公比为q,

则a4=16q3,a?=16q6,

9

a」与a7的等差中项为3,

o

9

即有34+a7=一,

4

9

即16q3+16q6,=-

4

解得q=；（负值舍去）,

■

故选C.

【点睛】

本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题.

6.A

【解析】

f_O

利用产的坐标为（2,0）,设直线/的方程为无一加），-2=0,然后联立方程得•~,最后利用韦达定理求解即

[my=x-2

可

【详解】

据题意，得点尸的坐标为（2,0）.设直线/的方程为上一〃少一2=0,点A,4的坐标分别为（％,y）,（%，%）•讨论：

y2=8（

,得产一（8加2+4）X+4=0,所以不工2二4,所以

{my=x-2

|AC|•忸4二偕可_2）•（忸目・2）=（再+2_2）・优+2_2）=不9=4.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题

7.B

【解析】

先根据纥束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.

【详解】

x+y<2

解：由变量无，）‘满足不等式组,画出相应图形如下：

x>0

可知点4（1,1）,8（0,2）,

2x-y在8处有最小值，最小值为-2.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.

8.B

【解析】

根据题意可得（缶-1）・5=0,利用向量的数量积即可求解夹角.

【详解】

因为（缶一"（岳一6）3=0

即岳-5二出|2

=/-r\a?

而cos（〃,/?）=------=—

'/\a\-\h\\bf2

所以75夹角为g

4

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积求夹角,需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.

9.B

【解析】

延长AQ到E,使A7）=D£,连接BE,CE,则四边形ABEC为平行四边形，根据余弦定理可求出A3=5,进而可

得△A/C的面积.

【详解】

解：延长4。到E,使AD=OE,连接BE,CE,则四边形A8EC为平行四边形,

c

则BE=AC=3,ZABE=\m-60=120,AE=2AD=7t

在ZVIBE中，AE2=AB2+BE2-2AB-BEcosZABE

则72=482+32—2XA8X3XCOS120,得AB=5,

G=15后

1八8c=；A3AC.sin60=­x5x3x

2

故选：B.

【点睛】

本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.

10.B

【解析】

根据复数的除法运算法则和共挽复数的定义直接求解即可.

【详解】

4+3i

由（l+2i）z=4+3i,得z=工方=2—i,所以］=2+i.

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共枕复数的定义，属于基础题.

11.B

【解析】

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos（而，而）=BEPD

而即可得解.

【详解】

•••/%_L平面A〃C。，底面是边长为2的正方形,

如图建立空间直角坐标系，由题意：

4(000),8(2,0,0),。(2,2,0),尸(0,(),石)，D(0,2,0),

丁E为PC的中点，••E.

••丽=TL字，PD=(0,

一一_1

3悻屈）=箭=云=叵

2,

••・异面直线BE与PD所成角的余弦值为|cos（M而，即为姮.

故选：B.

【点睛】

本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.

12.A

【解析】

由（1+i）z=，得z=一一，然后分子分母同时乘以分母的共辄复数可得复数z，从而可得z的虚部.

1+Z

【详解】

因为(l+i)z=i,

所以Z=.=上二i-i2z+1I1.

---7==—H--I

1+Z(1+0(1-/)1-r1+122

所以复数Z的虚部为1.

2

故选A.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共枕复数，转化

为乘法运算.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

将，=2代入求解即可；当n为奇数时,cos〃万二一1,则转化/(〃)=2/+7/r一加一120为4W2/+7〃一士设

n

g(〃)=2/+7/?-L,由单调性求得g⑺的最小值；同理，当〃为偶数时,cos〃兀=1,则转化

n

f(n)=2/一7/—4〃一120为之W一7〃-L设h{x)=2x2-7x--2),利用导函数求得h(x)的最小值,

nx

进而比较得到4的最大值.

【详解】

13

由题J⑵=16—28—22—120,解得2

2

当〃为奇数时,cos-1,由f(n)-2/+7/一力7-120,得2W2〃2+7/?--,

n

而函数g(〃)=2n2+7n--为单调递增函数，所以g(〃)*=g(D=8,所以4W8；

n

当n为偶数时,cos〃万=1,由f(n)=2,一7〃2-2〃-120,得2W2n2-In--,

n

设力(x)=2d-7x-'(x22),

x

x2=2.〃(x)=4x-7+!>0,•,/(x)单调递增，

x

13一n

二./心焉=/2⑵=-5,所以

13

综上可知，若不等式/(〃)>0恒成立，则义的最大值为一万.

(13]13

故答案为:⑴；(2)--

I2」2

【点睛】

本题考查利用导函数求最值，考查分类讨论思想和转化思想.

14.7

【解析】

x+y>3

作出不等式组「-)亚-1表示的平面区域,

2x-y<3

得到如图的△A3c及其内部，其中4(2,1),B(1,2),C(4,5)

设z=F(r,j)=2x+3j,将直线Z：z=2x+3j进行平移,

当/经过点A时，目标函数z达到最小值

:,工最小值二户(2,1)=7

15.4

【解析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性

质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值.

【详解】

解：设点P(4cosa,2V3sinrz),其中0<。<三，

2

、

/.----x---十—3—y=-(-z----x---十—3—y)=-(-/--------4---+---4-十—3(——y-6)--4---1--8).

4-x6-yx-4y-6A-4y-6

4

=-4-(——+

x-4

由x=4cosa,y=2x/3sina,()<«<—,

418418

可设z==十---=-------1----j=---

6-.y4-4cosa6—2J3sina

13G

----------+-----------

I-cosaV3-siim

sina3x/3cosa

导数为z'=-+

(1-cosa)2(>/3-sindr)2

由/=0,可得3A/5COSCT-66cos2a+3\/5cos%-Ssina-sin'a+zGsin%

=(Geosa-sin<7)(3-6cosa-2x/3sina+3cos*a+sin2a+2\/5sinacosa)=0,

可得\/3cosa-sine?=0®3-6cosa-2\/3sina+3cos2er+sin2a+2\/3sinacosa=0»

由3-4AAsin(cr+—)+2+cos2。+石sin2a=5-46sin(cr+—)+2sin(2«+—)

336

=3-4x/3sin(a+—)+4sin2(a+—)=(2sin(cr+—)-\/3)2>0,(0<a<—),

3332

可得Gcosa-sina=0，即lana=6，可得。=可，

J

由()<a<£可得函数二递减；由[cacg,可得函数z递增，

332

13x/3

可得a=£时，函数z取得最小值，且为二丁十-；^一五一,

3273

则.V+()的最小值为1.

4-x6-y

故答案为：1.

【点睛】

本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力,

属于难题.

16.8.

【解析】

利用转化得到£»=0加以计算，得到〃?.

【详解】

向量a=(-4,3)rb=(6,ni),aJL反

则。・B=0,-4X6+3〃2=0,〃Z=8・

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2s

17.(1)(2)不会超过预算，理由见解析

32

【解析】

(1)求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

C；(g)2xg+C；g)3=C；(g)3+C；(g)3=g,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系

11O

统的概率为C；()3[]_()2]=二，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

2232

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.求得P(X=1500)=C；p(l-p)2,

产(X=900)=1-C；p(l-p)2,求得其分布列和期望E(X)=900+1对•其求导，研究函数的单调性,

可得期望的最大值，从而得出结论.

【详解】

(1)•.•某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

+*)3=。；(权+锯)=3,

某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

I1g1Q25

C：(T)3[1-(T)2]二弓二•某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为一+—二一•

223223232

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.

•rP(X=\500)=C：p(l-p＞,P(X=900)=1-C；p(l-p)?

E(X)=900x[l-C；p(\-pf]+1500xC^(l-p)2=900+1800^(1-P)2

令g(P)=P(1-a)?,〃e(0,1)，则g'(p)=(1—pf-2p(l-p)=(3p-l)(p-l)

当〃CO」)时，g'(P)＞。，g(P)在(O,)上单调递增；

33

当〃£(!』)时，以〃)在上(11)单调递减，

33

・•.g(p)的最大值为gg)=，，

4

•••实施此方案，最高费用为100+9000x(900+1800x—)x10"=1150(万元)，

27

v1150＜1200,故不会超过预算.

【点睛】

本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决

的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.

18.(1)1；(2)县.

12

【解析】

57r

(1)先求出角4=二，进而可得出。＞〃，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情

6

况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得。的值；

(2)计算出和NC4Z),计算出渣皿=J,可得出进而可求得44砒＞的面积.

【详解】

(1)因为J5sinA+cosA=0,所以J^tanA+1=0,得lanA=——->

3

‘.5乃

A=—,

6

A为钝角，与〃=1<人=6矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.

显然Sg/jc-^bcsinA=,得bc=.

当①③正确时,

由4=/+/-2Z?CCOS4，得〃+/=-2(无解);

当②③正确时，由于历=百，b=C，得c=l；

(2)如图，因为A=2,ZCAD=-t则/84。=巳,

6--

«-AB-ADsinZBAD.

则义皿=2----------------=1.•"々…卜枭浮

SRACD-ACADsinZCAD2

2

【点睛】

本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

19.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)要做证明依_L8C,只需证明BC_L平面/MA即可；

(2)易得PC〃平面EFG,PCu平面PBC,利用线面平行的性质定理即可得到G"〃尸C,从而获得证明

【详解】

证明：(1)因为PAJ_平面ABC,8Cu平面A8C,

所以抬_L3C.

因为AC=2BE,所以加_LBC.

又因为R4cP4=A,AAL平面勿/?,尸AL平面出A,

所以8cl.平面PAB.

又因为平面乃"h所以PB工BC.

（2）因为平面EFG与交于点“，所以G”u平面P8C.

因为E,尸分别为AC,曰的中点，

所以E尸〃PC.

又因为尸C2平面EFG,EFu平面EFG,

所以PC〃平面E/P.

又因为尸Cu平面?8C,平面平面石尸G=G〃，

所以G"〃尸C,

又因为G是P3的中点，

所以“为BC的中点.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.

20.（1）[-3,1]（2）证明见解析

【解析】

（1）法一：H+1|+,-1,卜+1）-（兀-1）|=2,凶20,得|x+l|+|X+|x-l|N2,则忱+1,2,由此可得答案;

法二:由题意|优+1区（上一1|+卜|+,+1忆,令二（%）=|x+l|+W+kT，易知/（x）是偶函数，且二e[0,+oo）时

为增函数，由此可得出答案；

（2）由（1）知，M=l,即n+»+3c=l,结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论.

【详解】

解：⑴法一：k+1|+,一12卜+1）-（工一1）|=2（当且仅当—1W1时取等号），

又国20（当且仅当x=0时取等号），

所以|x+l|+国+门一1|之2（当且仅当尤=0时取等号），

由题意得|m+1]工2,则一2<m+1<2,解得一3<m<1,

故"?的取值范围是[-31]；

法二：因为对于任意XER恒有«+1|+|乂+«—1|可机+1|成立，即帆+i区（,一1|+凶+,+1|）而.，

令"x）=|x+l|+W+|x-l],易知/（"是偶函数，且/£[0,+8）时为增函数，

所以/（x）min=/（°）=2，即忸+1仁2,JQiJ-2<77?+l<2,解得—

故加的取值范围是

(2)由(1)知，M=l,即a+2/7+3c=l,

1111

----+----=（〃+2/7+3c>----+----

2a+bb+2c2a+bb+2c

（2«+b）+3（H2c）

----+----

22a+bb+2c

4+3（8+2c）+2a+〃

22a+bb+2c

织4+2百］=2+6,

II

故不等式--------