2024-2025学年江苏省常州外国语学校七年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省常州外国语学校七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列计算中，一定正确的是（）A．x+x2＝x3 B．x•x2＝x3 C．（x3）2＝x5 D．x6÷x2＝x33．（2分）下列计算中，能用乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的为（）A．（x﹣2y）（﹣x+2y） B．（x﹣2y）（x+y） C．（x+2y）（﹣2x+y） D．（x+2y）（x﹣2y）4．（2分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（）A． B． C． D．5．（2分）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF等于（）A．6 B．7 C．8 D．96．（2分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（）A．30° B．60° C．75° D．90°7．（2分）马小虎做一道整式乘法的习题，做完后，不小心墨水把等式（a+2）（a﹣△）（a2+4）＝a4﹣□中两个数字盖住了，那么式子中的△、□处对应的两个数字是（）A．8，64 B．3，24 C．2，16 D．1，88．（2分）平移小平行四边形

可以得到“中国结”图案，如图，是由小平行四边形

平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，在第25个图案中，小平行四边形的个数是（）A．625 B．1250 C．576 D．1152二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为米．10．（2分）使得（3a﹣1）0＝1有意义的a的取值范围是．11．（2分）若（x+a）（x﹣5）＝x2﹣3x﹣10，则a＝．12．（2分）已知2a÷4b＝8，则a﹣2b的值是．13．（2分）计算：．14．（2分）已知是方程3x+2y＝12的一个解，则m的值是．15．（2分）如图，是一块长方形场地，长am，宽bm，从中间建成的小路宽都为1m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为m2．16．（2分）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有种．17．（2分）如图：大家一定熟知杨辉三角形（I），观察下列等式（Ⅱ）．根据以上规律，（a+b）5的展开式中a3b2的系数是．18．（2分）如图：将长方形ABCD绕点A旋转，点B、C、D对应点记为点B′、C′、D′，旋转角记为∠α．0°＜α＜90°时，如果∠BAB′与∠BAD′的度数之比为2：7，∠α的度数为．三、解答题（19题16分。20题8分，21题6分，22题8分，23题8分，24题8分，25题10分，共64分）19．（16分）计算：（1）．（2）3a3b•（﹣2ab）+（﹣3a2b）2．（3）2xy（3y﹣2x﹣1）．（4）（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）．20．（8分）解下列二元一次方程组：（1）；（2）．21．（6分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．22．（8分）把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，已知∠BAC＝40°．（1）点B的对应点为，∠C的对应角为．（2）求∠CAD和∠BAE的大小．23．（8分）观察下列等式，并回答问题．（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．（1）（8+3）2﹣82的结果是3的倍；（2）设偶数为2k（k为整数），试说明（2k+3）与2k的平方差能被3整除．24．（8分）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是长4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，再用四块小长方形拼成如图2图形．（1）观察图形，写出一个（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者之间的等量关系式是；（2）运用（1）中的结论，当x﹣y＝7，xy＝﹣6时，求x+y的值；（3）若（2024﹣m）（2025﹣m）＝4，求（2024﹣m）2+（2025﹣m）2的值．25．（10分）操作实践图案设计时常巧妙地运用图形变换，呈现数学独特的应用之美．采用不同的数学工具设计，又对我们提出了不同层次的数学思维要求．【源于生活】假期中爸爸和小明一起制作风筝，风筝是一个轴对称图形，有两根支撑的龙骨．一根是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．爸爸在一张4k纸上画好了风筝的轮廓，已知AB＝AB1，“副龙骨”经过AB的中点C，爸爸请小明独立完成以下操作（所有操作不写作法，保留作图痕迹）．操作1：请用圆规和无刻度的直尺在图1中作出三角形风筝的“主龙骨”AO；操作2：请用圆规和无刻度的直尺在图1中找到点C；操作3：点C1是AB1上一点，请在图1中用无刻度的直角三角板画出“副龙骨”CC1；【数学思考】小明继续制作风筝，连接了B1C和BC1，发现B1C和BC1的交点恰好在“主龙骨”上，爱思考的小明在AB，AB1上分别取D、D1，使其关于AO对称．连接了B1D和BD1，也有同样的发现，小明立马跟爸爸分享了他的发现，爸爸说，能不能用你的新发现作出“主龙骨”？操作4：如图2，根据小明的发现，用不同于操作1的方式，用圆规和无刻度的直尺作出“主龙骨”AO1；作为数学老师的爸爸思考片刻，提出，能不能仅用无刻度的直尺完成寻找龙骨的过程？小明立刻想到了借助网格，请和他一起完成：操作5：如图3，在边长为1的正方形网格中利用格点画出“主龙骨”；【创新应用】风筝制作好了，爸爸又给小明留了一道思考题：操作6：如图4，点E是正方形ABCD的边AB上一点，请利用无刻度的直尺在BC边上找一点G，使CG＝AE．

2024-2025学年江苏省常州外国语学校七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBDCBDCB一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．2．（2分）下列计算中，一定正确的是（）A．x+x2＝x3 B．x•x2＝x3 C．（x3）2＝x5 D．x6÷x2＝x3【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算，进而得出答案．【解答】解：A．x+x2，无法计算，故此选项不合题意；B．x•x2＝x3，故此选项符合题意；C．（x3）2＝x6，故此选项不合题意；D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意．故选：B．3．（2分）下列计算中，能用乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的为（）A．（x﹣2y）（﹣x+2y） B．（x﹣2y）（x+y） C．（x+2y）（﹣2x+y） D．（x+2y）（x﹣2y）【分析】根据乘法公式的形式进行判断即可．【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣（2y）2＝x2﹣4y2；故选：D．4．（2分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵五只雀、六只燕共重一斤，∴5x+6y＝1；∵互换其中一只，恰好一样重，∴4x+y＝5y+x．∴根据题意可列出方程组．故选：C．5．（2分）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，点A，D之间的距离为2，∴BE＝CF＝2，∵CE＝3，∴BF＝CF+BE+CE＝2+2+3＝7，故选：B．6．（2分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（）A．30° B．60° C．75° D．90°【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，故选：D．7．（2分）马小虎做一道整式乘法的习题，做完后，不小心墨水把等式（a+2）（a﹣△）（a2+4）＝a4﹣□中两个数字盖住了，那么式子中的△、□处对应的两个数字是（）A．8，64 B．3，24 C．2，16 D．1，8【分析】根据完全平方公式的特点进行作答即可．【解答】解：∵（a+2）（a﹣2）（a2+4）＝（a2﹣4）（a2+4）＝a4﹣16．故选：C．8．（2分）平移小平行四边形

可以得到“中国结”图案，如图，是由小平行四边形

平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，在第25个图案中，小平行四边形的个数是（）A．625 B．1250 C．576 D．1152【分析】仔细观察图形发现第一个图形有2×12＝2个小平行四边形，第二个图形有2×22＝8个小平行四边形，第三个图形有2×32＝18个小平行四边形，…由此规律得到第n个图形有2n2个小平行四边形，然后代入n＝25即可求得答案．【解答】解：第一个图形有2×12＝2个小平行四边形，第二个图形有2×22＝8个小平行四边形，第三个图形有2×32＝18个小平行四边形，…第n个图形有2n2个小平行四边形，第25个图形有2×252＝1250个小平行四边形．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为3.4×10﹣10米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，故答案为：3.4×10﹣10．10．（2分）使得（3a﹣1）0＝1有意义的a的取值范围是a．【分析】根据零指数幂的运算法则：a0＝1（a≠0）计算即可．【解答】解：若（3a﹣1）0＝1有意义，则3a﹣1≠0，解得a，故答案为：a．11．（2分）若（x+a）（x﹣5）＝x2﹣3x﹣10，则a＝2．【分析】将（x+a）（x﹣5）利用多项式乘多项式法则计算后列得关于a的方程，解方程即可．【解答】解：（x+a）（x﹣5）＝x2﹣5x+ax﹣5a＝x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2﹣3x﹣10，则5a＝10，解得：a＝2，故答案为：2．12．（2分）已知2a÷4b＝8，则a﹣2b的值是3．【分析】根据幂的乘方运算法则可得4b＝22b，再逆向应用同底数幂的除法法则解答即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．【解答】解：∵2a÷4b＝2a÷22b＝2a﹣2b＝8＝23，∴a﹣2b＝3．故答案为：3．13．（2分）计算：2．【分析】根据，计算求解即可．【解答】解：，故答案为：2．14．（2分）已知是方程3x+2y＝12的一个解，则m的值是3．【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入方程3x+2y＝12中即可求出m的值．【解答】解：把代入方程3x+2y＝12中，得3×2+2m＝12，解得m＝3，故答案为：3．15．（2分）如图，是一块长方形场地，长am，宽bm，从中间建成的小路宽都为1m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为b（a﹣1）m2．【分析】从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积．【解答】解：经过平移后，草坪是一个长方形，新长方形的长为（a﹣1）m，宽为bm，∴草坪的面积为b（a﹣1）m2，故答案为：b（a﹣1）．16．（2分）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有4种．【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可．【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有4种，故答案为：4．17．（2分）如图：大家一定熟知杨辉三角形（I），观察下列等式（Ⅱ）．根据以上规律，（a+b）5的展开式中a3b2的系数是10．【分析】根据题意，得出杨辉三角形中每行数与（a+b）n展开式系数之间的关系即可解决问题．【解答】解：由题知，（a+b）4展开式各项的系数依次为1，4，6，4，1，则（a+b）5展开式各项的系数依次为1，5，10，10，5，1，所以（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，则（a+b）5的展开式中a3b2的系数是10．故答案为：10．18．（2分）如图：将长方形ABCD绕点A旋转，点B、C、D对应点记为点B′、C′、D′，旋转角记为∠α．0°＜α＜90°时，如果∠BAB′与∠BAD′的度数之比为2：7，∠α的度数为36°或20°．【分析】两种情况，根据∠BAB'与∠BAD'的度数之比为2：7列出方程可得出答案．【解答】如图，将长方形ABCD绕着点A顺时针方向旋转，∴∠BAB'＝∠DAD'＝α，∴∠BAD'＝α+90°，∵∠BAB'与∠BAD'的度数之比为2：7，∴α：（α+90）＝2：7，∴α＝36°；如图，将长方形ABCD绕着点A逆时针方向旋转，同理可得α：（90﹣α）＝2：7，∴α＝20°；综上所述，顺时针方向∠α＝36°；逆时针方向∠α＝20°；故答案为：36°或20°．三、解答题（19题16分。20题8分，21题6分，22题8分，23题8分，24题8分，25题10分，共64分）19．（16分）计算：（1）．（2）3a3b•（﹣2ab）+（﹣3a2b）2．（3）2xy（3y﹣2x﹣1）．（4）（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；（3）利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；（4）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．【解答】解：（1）＝4×1﹣9＝4﹣9＝﹣5；（2）3a3b•（﹣2ab）+（﹣3a2b）2＝﹣6a4b2+9a4b2＝3a4b2；（3）2xy（3y﹣2x﹣1）＝6xy2﹣4x2y﹣2xy；（4）（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）＝x2+4xy+4y2+x2﹣y2＝2x2+4xy+3y2．20．（8分）解下列二元一次方程组：（1）；（2）．【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：（1），把②代入①，得3（y+3）+2y＝14，解得y＝1，把y＝1代入②，得x＝4，所以方程组的解是；（2），①+②，得4x＝12，解得x＝3，把x＝3代入②，得y＝1，所以方程组的解是．21．（6分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积；（2）代入a＝3，b＝2计算即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab；（2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．22．（8分）把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，已知∠BAC＝40°．（1）点B的对应点为点D，∠C的对应角为∠E．（2）求∠CAD和∠BAE的大小．【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论；（2）根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴点B的对应点为点D，∠C的对应角为∠E，故答案为：点D，∠E；（2）∵把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴∠DAB＝∠CAE＝60°，∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝∠CAB+∠DAB＝100°，∠BAE＝∠CAE﹣∠CAB＝60°﹣40°＝20°．23．（8分）观察下列等式，并回答问题．（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．（1）（8+3）2﹣82的结果是3的19倍；（2）设偶数为2k（k为整数），试说明（2k+3）与2k的平方差能被3整除．【分析】（1）根据题干中的等式总结规律后即可得出答案；（2）利用平方差公式计算后进行判断即可．【解答】解：（1）由题干中的等式可得（8+3）2﹣82＝19×3，即（8+3）2﹣82的结果是3的19倍，故答案为：19；（2）设偶数为2k（k为整数），则（2k+3）2﹣（2k）2＝（2k+3+2k）（2k+3﹣2k）＝3（4k+3），∵k为整数，∴4k+3为整数，∴（2k+3）与2k的平方差能被3整除．24．（8分）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是长4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，再用四块小长方形拼成如图2图形．（1）观察图形，写出一个（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者之间的等量关系式是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）运用（1）中的结论，当x﹣y＝7，xy＝﹣6时，求x+y的值；（3）若（2024﹣m）（2025﹣m）＝4，求（2024﹣m）2+（2025﹣m）2的值．【分析】（1）观察图形即可得出答案；（2）整体代入即可；（3）根据（1）式的公式即可得出答案．【解答】解：（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）将x﹣y＝7，xy＝﹣6代入（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy中，（x+y）2＝49﹣24＝25，∴x+y＝±5．（3）∵2024﹣m﹣2025+m＝﹣1，∴原式＝（2024﹣m﹣2025+m）+2（2024﹣m）（2025﹣m）＝1+8＝9．25．（10分）操作实践图案设计时常巧妙地运用图形变换，呈现数学独特的应用之美．采用不同的数学工具设计，又对我们提出了不同层次的数学思维要求．【源于生活】假期中爸爸和小明一起制作风筝，风筝是一个轴对称图形，有两根支撑的龙骨．一根是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．爸爸在一张4k纸上画好了风筝的轮廓，已知AB＝AB1，“