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圆锥曲线的光学性质与蒙日圆阳友雄广东省珠海市第一中学平沙校区一、圆锥曲线的光学性质1.椭圆的光学性质：在椭圆中，从焦点发出的光学，经椭圆反射，反射光线必过另一焦点如图，过作椭圆的切线，及切线的垂线，则有,证明：设椭圆方程，两边求导得，设，则切线的斜率，设切线与的夹角分别为,同理得，故,故，2.双曲线的光学性质：在双曲线中，从焦点发出的光线，经双曲线反射，反射光线的反向延长线必过另一焦点如图，过作双曲线的切线，及切线的垂线，则有，3.抛物线的光学性质：在抛物线中，从焦点发出的光线，经抛物线反射，反射光线必平行于对称轴如图，过作该抛物线的切线，以及切线的垂线，则有4.矩形的性质1：矩形所在平面内任意一点在相对两个顶点的距离平方和相等证明：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设,则，显然二、圆锥曲线光学性质与蒙日圆例1：过作椭圆的两条切线，切点为，若，则轨迹方程为证明：如图，作焦点关于切线的对称点，连接,由椭圆的光学性质得,又，故，故三点共线，且，因为为的中位线，故同理，三点共线，，故的中位线长在矩形中，由矩形的性质1可得解得，设，则的轨迹为例2：过作双曲线的两条切线，切点为，若，则轨迹方程为证明：如图，作焦点关于切线的对称点，连接由椭圆的光学性质得,又，故，故三点共线，且，因为为的中位线，故同理，三点共线，，故的中位线长在矩形中，由矩形的性质1可得解得，设，则的轨迹为例3：过作抛物线两条切线，切点为，若，则的轨迹为其准线证明：如图作焦点关于切线的对称点，连接，则，过作轴的垂线由抛物线的光学性质得，所以故三点共线，所以垂直准线，又，所以在准线上，则中点在轴上，同理可得垂直准线，点在准线上，中点在轴上又，故四边形为矩形，由矩形性质得到对角线的距离相等，即，故的轨迹方程为准线【拓展】实际上，例1和例2的背景就是鼎鼎大名的蒙日圆如果考虑复数的话，则双曲线可以描述为过作双曲线的两条切线，切点为，若，则轨迹方程为从而可以将双曲线和椭圆统一归纳为：过作曲线的两条切线，切点为，若，则轨迹方程为上述结论表明圆锥曲线家族具有遗传性，从生物学上来说，有遗传必有变异，从而导致抛物线出现突变，由于抛物线只有一个焦点，我们可以设想另一个焦点在无穷远处，若把

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