2023年山东省济南市中考数学三模试卷

2023年山东省济南市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共1。小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一|的倒数是（）

A.I—zIB.-弓C.-1；D.M

•JO4乙

2.如图所示的几何体的左视图是（）

AR~|

BSzn

咛

Drfl

3.人的大脑每天能记录大约8600万条信息，把数据“8600万”用科学记数法表示为（）

A.0.86x104B.8.6x103C.8.6x107D.8.6x108

4.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

5.若方程/一。+4=0有两个不相等的实数根.则c的值不可能是（）

A.10B.6C.3D.-5

6.一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差

别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（）

A.?B.；C.TD.

o323

7.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，下丸结论正确.a..b

l.lII]

的是（）一2一1°I2

A.a+b>0B.ab>0C.(-a)-b>0D.\a\<\b\

8.如图，已知△ABC中，Z.C=70°,AB=10,内切圆OO半径为3,则图中阴影部分面积

和是()

A.15—B.15—C.20—竽TTD.20—日九

9.用棋子摆成图案，摆第20个图案需要颗棋子.（）

0O

0O

C>

o3O0OO0

ooO0

ooooO0

ooOOO0

oo008

第1个第2个第3个

A.195B.210C.290D.295

10.已知在平面直角坐标系中，点A为（1,0）,点8为（3,0）,将抛物线Z：y=-mx2+2x-l,

绕原点旋转180。得到抛物线R,若抛物线K与线段月6只有一个公共点，则?n的取值范围是（）

7〜7

A.-3<m<--B.-3<m<--

C.-3<m<-^或m=1D.-3<m<-（或m=1

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.分解因式：/一6/+9%=.

12.加果一个正多边形的内角和是10H0。，则它的中心角的度数为度.

13.小华在如图所示的4x4正方形网格纸板.上玩飞镖游戏（每次飞

镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落

在阴影区域的概率是______.

14.设;q、不是方程/一刀+2巾-1=0的两个实数根，若又「小＞。，则m的取值范围是

15.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图，线段OA

表示货车离甲地距离y（千米）与时间》（小时）之间的函数关系式；折线B-C-D-表示轿车离

甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发小时与轿车相遇.

16.如图，现有边长为4的正方形纸片486,点P为4D边上的

一点（不与点4点。重合），珞正方形纸片沿EF折叠，使点8落在

P处，点C落在G处，PG交OC于H,连结BP、BH,下列结论：

®BP=EF;

②当P为“。中点时，ZiPAE三边之比为3：4：5：

③44PB=乙BPH；

④△PDH周长等于8.

其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

计算：^^T2+(-i)-2-|2-tan60°\+(2022-TT)0.

18.(本小题8.0分)

f2(x-1)<%+1

解不等式组，12计5,并写出它的正整数解.

U--十子

19.(本小题8.0分)

如图，已知。力中，BE1AC^EDFLAC^F.

求证：BF=DE.

20.(本小题80.0分)

某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取几名学生进行测试，测试

成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图.

请根据图中信息解答下列问题：

(1)补全频数分布直方图；

(2)在扇形统计图中，“70〜80”这组的百分比m=—；

(3)已知“80〜90”这组的数据如下：83,85,87,81.86,84,88,85,86,86,88,89.这

组数据的众数是一分；抽取的几名学生测试成绩的中位数是一分；

(4)若成绩达到80分以.上(含80分)为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情

况为优秀的学生人数.

21.(本小题8.0分)

如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度4B,在居民楼前

方有•斜坡，坡长CD=18m,斜坡CD的坡度i=l：VW小文在点。处测得楼顶端4的仰角为

63°,在。点处测得楼顶瑞4的仰角为37。(点4B,C,。在同一平面内).

(结果精确到1m,参考数据：sin63°«[cos630«焉tan63°«2,sin37°«cos37°«g,

JLU4UDO

tan37°«\/~3«1.7)

(1)求乙。4。度数;

(2)求居民楼的高度力B.

22.(本小题8.0分)

△ABC中，点。在BC上，以OC为半径的。。恰好与AB相切，切点为D,连接CD,且CO1AC.

(1)求证：^BCD=^A.

(2)设亡用4=本BD=6,求。0的半径之长.

23.(本小题8.0分)

某学校为改善办学条件，计划采购力、8两种型号的空调，已知4型空调的单价是8型空调单

价的1.5倍，用108000元购买的4型空调数量比用90000元购买的8型空调数量少3台.

(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；

(2)若学校计划采购4、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两

种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

24.(本小题8.0分)

如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点4的坐标为(3,0),四边形0ABe为平行四边

形，反比例函数y=§(x>0)的图象经过点C,与边AB交于点D.若OC=2/2,tan乙40c=1.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点P(a,0)是一动点，求|PC-最大时a的值；

(3)连接C4,在反比例函数图象上是否存在点M,平面内是否存在点N,

使得四边形&4MN为矩形？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.

25.(木小题8.0分)

(1)问题呈现：

如图1,△A8C和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE.易知,=.

(2)类比探究

如图2,和△AOE都是山△,LABC=^LADE=90°,且黑=黑二/连接BO,CE,求空

BCDE4CE

的值；

(3)拓展提升：

如图3,△AZJC是等腰直.向二角形，^ACB=90°,将△43C绕点A逆时针旋钱60。得到△A。？，

连接8。，EC,延长EC交BD于点入设力8=6,求EF的长.

26.(木小题8.0分)

二次函数丫=。/+"一3的图象交汇轴于点力(一1,0),点8(3,0),交y轴于点C,抛物线的顶

点为点M.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上的一点，设点尸的横坐标为＞3),点Q在对称轴上，且4Q1PQ,

若AQ=2PQ,请求出血的值；

(3)如图2,将抛物线绕斓正半轴上一点R旋转180。得到新抛物线6交3轴于。、E两点,点力的

对应点为点E,点8的对应点为点D.若sin48M/?二[,求旋转中心点R的坐标.

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：一|的倒数是一|.

故选：B.

乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案.

本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义.

2.【答案】B

【解析】解：从左边看，可得如图：

故选：B.

根据从左边看得到的图形是左视图即可解答.

本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左边看得到的图形是左视图为解答本题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：将8600万=86000000,

用科学记数法表示为8.6x107.

故选：C.

科学记数法的表示形式为ax10髓的形式，其中lW|a|V10,九为整数.确定九的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，八的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时,

九是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为QX10〃的形式，其中lW|a|<10是关键.

4.【答案】B

【解析】解：4不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

8.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意：

C不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意：

。.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够

与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果-个图形沿•条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键.

5.【答案】C

【解析】解：•••方程M-C%-4=0有两个不相等的实数根，

•••4>0,BP(-c)2-4xlx4=c2-16>0,

整理得:(c+4)(c-4)>0,

解得：c>4或c<一4,

则c的值不可能是3

故选：C.

根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,求出c的范围，即可作出判断.

此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：画树状图如下:

开始

总计有6种可能结果，其中我们关注的事件两个都是红球的情况有2种,

二随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为：1=1

OO

故选：B.

根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的

比值就是其发生的概率的大小.

此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数

与总情况数之比.

7.【答案】C

【解析】解：根据数轴可知：a<-1、0<b<l.

Aa4-b<0.(—a)—b>O.ab<0,|a|>\b\.

故选：C.

根据图中的点的位置即可确定a、b的正负，即可判断.

本题考查数轴与实数对应关系、绝对值、有理数的加减法，乘除法知识，熟记运算法则是解题的

关键.

8【答案】A

【解析】解：:©。是△4BC的内切圆，切点分别为G,D,R,

・•・图中阴影部分面积和是4力。8的面积-扇形TOQ的面积，

•••04、08分别是4c48、NCB4的角平分线，

Z-OAB=^Z-CAB,WBA=^z.CBA,

•••NACB=70°,

•••LCAB+LCBA=180°-70°=110°,

WAB+Z.OBA=|LCAB-r1^.CBA=55°,

•••LAOB=180-(乙。/B+ZOBA)=125°,

]12525

•*,S阴影=SRAOB-S扇形=-xl0x3--XTTX32=15一万叫

故选：A.

根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是△403的面积一扇形TOQ的面积，进而即可求解.

本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，解投本题的关键是掌握三角形的内切圆与

内心.

9.【答案】C

【解析】解：•••第1个图形中的棋子的个数为：5=14-2x4-4,

第2个图形中的棋子的个数为：11=1+2+3x4-4,

第3个图形中的棋子的个数为：18=1+2+3+4x4—4,

二第n个图形中的棋子的个数为：1+2+3+…+九+4(n+1)-4=型/+4n,

第20个图形中的棋子的个数为：等1+4x20=290.

故选：C.

第1个图形中的棋子的个数为：5=14-2x4-4,第2个图形中的棋子的个数为：ll=l+2+3x

4-4,第3个图形中的棋子的个数为：18=1+2+3+4x4-4,…，据此可求得第九个图形中

的棋子的个数，从而可求解.

本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出第九个图形中的棋子的个数.

10.【答案】A

【解析】解：将抛物线Z：y=-巾产+2%-1,绕原点旋转180。得到抛物线R：-y=-rm；-%)2+

2(-x)-l,即”爪/+2火+1,

当抛物线R经过点力时，则m+2+l=0,解得m=-3；

当抛物线R经过点8时，则9m+6+1=0,解得血=一，

当抛物线丫=m/+2%+1与％轴有一个交点时，则4二0,

/-4—Am=0,解得m=1,此时y=/+2x+l,与％轴的交点为(—1,0),不合题意，

••・若抛物线R与线段AB只有一个公共点，则m的取值范围是-3

故选：A.

根据关于原点对称的点的坐标特征得到抛物线R：y=mx2+2x+l,把点4(1,0),点8(3,0)分别

代入求得m的值，即可求得加的取值范围.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变

换，求得绕原点旋转180。后抛物线的解析式是解题的关键.

11.【答案】x(x-3)2

【解析】先提取公因式乃再对余卜的多项式利用完全平方公式继续分解.

本题考查因式分解的提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关

键.

解：x3-6%24-9x,

=x(x2-6x+9),

=x(x-3)2.

故答案为：x(x-3)2.

12.【答案】45

【解析】解：设此多边形为72边形，

根据题意得：180°(n-2)=1080°,

解得：n=8,

这个正多边形的每一个外角等于：360。+8=45。.

故答案为：45.

首先设此多功形为九功形，根据撅意得：180°(n-2)=1080°,即可求得〃=8,再由多切形的外

角和等于360。，即可求得答案.

本题考查了多边形的内角和与外角和的知识.关键是掌握多边形内角和定理：(九-2)•180。，外

角和等于360。.

13.【答案】尚

【解析】解：阴影部分的面积是：16-4一与X2-竽=5,

则飞镖落在阴影区域的概率是・：

16

故答案为：2

用正方形的总面积减去空白部分的面积，求出阴影部分的面积，再根据概率公式即可得出答案.

此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键.

14.【答案】［vTnW：

乙O

【解析】解：根据题意得/=(一1)2—4(2小一1)20,

解得m<O

=

•x22m—1

-1>0,

解得m>i,

・•.m的取值范围为;vzn工"

Lo

故答案为：

2

先根据根的判别式的意义得到4=(-1)-4(2租-1)>0,再利用根与系数的关系得到片•x2=

2m-1>0,然后求出两不等式的公共部分即可.

本题考查了根与系数的关系：若勺，不是一元二次方程Q/+加+c=0(QH0)的两根时，力+

%2=-?也考杳了根与系数的关系.

15.【答案】3.9

【解析】解：设04段对应的函数解析式为y=kx,

将(5,300)代入，得：5k=300,

解得k=60,

即。力段对应的函数解析式为y=60x,

设CD段对应的函数解析式为y=ax+b,

f2.5a+b=80

U.5a+b=300'

解得

即C。段对应的函数解析式为y=110x-195,

^110x-195=60x,得x=3.9,

即货车出发3.9小时与轿车相遇，

故答案为：3.9.

根据函数图象中的数据，可以分别求得04段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得工的

值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇.

本题考杳一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

16.【答案】①②③④

【解析】解：如图，过点F作尸M14B于点M,

•.•四边形力BCD为正方形，

:.Z.A=/.ABC=90°,AB=BC,

vFM1AB,

.•・四边形MBC5为矩形，

:.MF=BC=AB,乙FME=90°,

由折叠可知,EF1BP,

:.乙PBE+乙BEF=90°,

v乙PBE+Z.APB=90°,

Z.BEF=Z.APB,即4MEF=N4PB,

在△4"和^MFE中，

(/-APB=4MEF

l^BAP=乙FME，

\AB=MF

•••△A8P三△MrE(/L4S),

：.BP=EF,故①正确；

由折卷可知，BP=PE,

设BP=PE=x,^iAE=4-x,

•••P为4。中点，

：.AP=2,

在Rt/kPAE中，AP2+AE2=PE2,

:.22+(4-x)2=x2,

解得：x二|,

35

AE=4-x=/,PE=2，

3S

AAE：AP：PE*：2：尹3：4：5,

即△「/!£1三边之比为3：4：5,故②正确；

由折叠可知，BE=PE,AEBC=/-EPC=90°,

.•"BE=Z-BPE,乙BPE+LBPH=90°,

LPBE+Z.APB=90°,

:.乙APB=乙BPH,故③正确；

如图，过点B作BN工PH于点N,

LBAP=乙BNP=90°,

在ZkABP和△N8P中，

2BAP=乙BNP

乙APB=乙NPB,

PB=PB

.•.△4BPw^NBP(44S),

•••AB=BN,AP=PN,

:.BC=BN,

在RtABNH和RtaBCH中，

(BN=BC

IBH=BH'

:.Rt△BNHwRt△BCH(HL),

•••NH=CH,

:.C&PDH=PD+PN+NH+DH=PD+AP+CH+DH=2AD=8,故④正确・

综上，正确的结论有①②③④.

故答案为：①②③④.

过点尸作于点M,易得MF=BC=48,由折叠可知EF18P,于是利用同角的余角相等

可得NME尸=〃P8,以此可通过44s证明a/lBP三尸£即可判断①；由折叠可知BP=PE,

设8P=*£,=%,则A£=4-x,^.Rt^PAE^,利用勾股定埋建立方程，求解即可判断②：利

用等角的余角相等即可判断③；过点8作BN1P，于点N,易通过A4s证明a/lBP三△NBP,得到

AB=BN,AP=PN,以此再通过HL证明R£△BNH三Rt△BCH,得到NH=CH,则=2AD,

即可判断④.

本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助

线，构建合适的全等三角形解决问题是解题关键.

17.【答案】解：原式=2/3+4-(2-/豆)+1

=2门+4-2+门+1

=3C+3.

【解析】利用二次根式的性质，负整数指数鼎的意义，绝对值的意义和零指数舞的意义化简运算

即可.

本题主要考杳了实数的运算，二次根式的性质，负整数指数幕的意义，绝对值的意义和零指数幕

的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键.

(2(%-1)<x+1①

18.【答案】解：L2计5/4

解不等式①，得力43,

解不等式②，得力2-金

所以不等式组的解集是一(<x<3,

所以不等式组的正整数解是1,2,3.

【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的

解集，最后求出不等式组的正整数解即可.

本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求

出不等式组的解集是解此题的关键.

19.【答案】证明：••・四边形48co是平行四边形,

:.AB//CD,AB=CD,

：,Z.BAE=乙DCF,

vBEOF14。于广,

•••Z-BEA=Z.DFC,

在MBE和△W中，

（LBAE=乙CDF

l^BEA=乙DFC,

l4B=CD

：,^ABE^^DFC{AAS）y

:.BE=DF,

■:Z.BEA=Z.DFC,

:.乙BEF=乙DFE,

BE//DF,

•••四边形8EDF是平行四边形，

BF=DE.

【解析】根据44S证明△力8£三4DFC得出BE=DF,再证明四功形3E0F是•平行四功形即可得出

结论.

本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定性质，证明△力BE三'是解题的关键.

20.【答案】20%8684.5

【解析】解：（1）8・16%=50（人），50-4-8-10-12=16（人），

补全频数分布直方图如F：

测试成绩频数直力图

人数（频数）

20

18

16

14

12

180

6

4

2

0

5060708090100成绩，分

（2）zn=j5x100%=20%；

故答案为：20%：

（3）将“80〜90”这组数据进行排序：

81,83,84,85,85,86,86,86,87,88,88,89,出现次数最多的为86,

,众数为86分，

故答案为：86：

“50〜80”分的人数已有22人，

第25和26名的成绩分别是是84分，85分，

，中位数是巴罗=84.5分：

故答案为:84.5；

(4)1200x卑*=672(人).

二优秀人数是672人.

(1)先求出样本容量，再用样本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90〜100”这组的频数,

从而补全频数分布直方图；

(2)用“70〜80”这组的频数除以样本容量即可：

(3)根据众数和中位数的定义求解即可；

(4)用1200乘以80分以上人数所占的比例即可.

本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图

获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.也考查了利

用样本估计总体，求数据的众数与中位数.

21.【答案】解：(1)过点。作垂足为E,过点。作。F_L48,垂足为F,

由题意得：DF//BE,

••・斜坡CD的坡度i=1：V-3,

DE1C

.-.-=，

CE---------3

在中，tanzDCE=径=1，

•••Z-DCE=30°,

•••乙4cB=63°,

:.Z.ACD=180°-Z.ACB-LDCE=87°,

vDF//BE,

(FDC=Z.DCE=30°,

vZ.ADF=37°,

Z.ADC=^ADF+乙FDC=67°,

Z-CAD=180°-Z-ACD-/-ADC=26°,

•••Z&4D度数为26。；

(2)由题意得：DF=BE,BF=DE,

在Rt△OCE中,CD=18m,Z-DCE=30°,

---DE—CD=9(/71),CE=V~1DE=9O(m).

•••BF=DE=

设8C=xm,

：,DF=BE=BC+CE=(x+9V~3)m，

在RCAABC中，Z.ACB=63c,

AB=BC•tan63°«2x(m),

在Rt△力D/中，LADF=37°,

AF=DF-tan37°+9-3)m,

AB-AF=BF,

:.2x-沁+9C)=9,

解得：x«16.38,

AB=2x«33(zn)»

••・居民楼的高度约为337n.

【解析】(1)过点。作OE，BC,垂足为E,过点。作OF_L718,垂足为F,根据题意可得：DF”BE,

根据已知可得：在/?£△/)(?£•中，tanzDCF=从而可得匕。CE=30。，然后利用平角定义求出

Z/1CD=87°,再利用平行线的性质可得NFOC=Z_OCE=30。，从而可得乙1OC=67。，最后利用

三角形内角和定理进行计算，即可解答；

（2）根据题意可得：DF=BE，BF=DE,在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出

DE,CE的长，然后设8C=xm,则。r=BE=（x+9门）7九，在取△ABC中，利用锐角三角函

数的定义求出48的长，再在Rt△%£）「1«,利用锐角三角函数的定义求；IZF的长，最后根据48-

AF=BF,列出关于％的方程，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡隹问题，根据题目的一已知条件并结合

图形添加适当的辅助线是解题的关键.

22.【答案】(1)证明：连接。0,如图，

•••以OC为半径的。。恰好与相切，

•••OD1AB,

:.LODA=90°,

:.Z.ODC+Z.ADC=90%

vOC=OD,

:.Z.ODC=Z.OCD,

•••乙BCD+乙ADC=90°.

•••CD1AC,

:.4A+Z.ADC=90°,

:.4BCD=乙4：

(2)解：设。。的半径为r,则。0=。。二丁,

.3.CD

vtanA=tanA=—,

4AC

CD3

'AC=4'

v乙BCD=Z■力，乙B=乙B,

•••△BCDfBAC,

.BD_BC_CD_3

't~BC=AB=AC=4,

63

二瓦二"

63

BO+r4

••・80=8-r.

在RtaOBD中,

-OD2+BD2=BO2,

r2+62=(8-r)2,

解得：r=]

4

••・。。的半径之长为提

4

【解析】(1)连接。D,利用切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质定理，直角三

角形的性质和等角的余角相等解答即可；

(2)设。。的半径为r,则OD=OC=r,判定△BCD〜△B4?,利用相似三角形的性质定理得出比

例式得到8。=8-r,在Rt&OBD中,利用勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结论.

本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关

系定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.

23.【答案】解：(1)设3型空调每台需工元，则4型空调每台需1.5%元,

根据题意得:108000_900003,

1.5xx

解得：x=6000,

经检验，x=6000是原方程的解,

1.5%=1.5x6000=9000.

:4型空调每台需9000元，9型空调每台需6000元；

(2)设采购m台力型空调，则采购(30-m)台8型空调，

•••4型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元,

.(m>1(30-m)

boOOm+6000(30-m)<217000,

解得：

•••m为整数，

•・.m可取10,11,12,

•••学校共有3种采购方案：采购10台A型空调，采购20台8型空调或采购11台4型空调，采购19台8

型空调或采购12台力型空调，采购18台8型空调：

(3)设总费用为w,

根据题意得：w=9000m+6000(30-m)=3000m+180000,

3000>0,

・•.w随zn的增大而增大，

••・m=10时，w取最小值，最小值为3000x10+180000=210000(元)，

•••采购10台4型空调，采购20台8型空调可使总费用最低，最低费用是210000元.

【解析】(1)设8型空调每台需x元，可得得：曙2=誓-3,解方程并检验可得答案；

(2)根据A型空调的台数不少于8型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，列

不等式组，由m为整数可得答案；

(3)设总费用为w,可得：w=9000m4-6000(30-m)=3000m+180000,根据一次函数性质可

得答案.

本题考查一次函数，分式方程的应用，涉及一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，

列出方程和函数关系式.

乙CEO=90°,

vtanz.AOC=1

:.Z.COA=45。，

:.Z-OCE=45°,

•••OC=26,

OE=CE=2,

••"(2,2),

•.・点C在反比例函数图象上，

二k=2x2=4,

反比例函数解析式为y=%

(2)•.•点C(2,2),点。(0,0),

・••OC解析式为：y=x,

•.•四边形048C是平行四边形，

=OA=3,BC//OA.AB//OC,

・•・点B(5,2),

二设48解析式为：y=x+b,

•••2=5+b,

•••b=-3,

・••AB解析式为：y=x-3,

_4

联立方程组可得：y=x,

.y=x-3

北:谶:*舍去).

•••点。(4,1)；

在△PCO中，|PC-PD|V。。，则当点尸，C,。三点共线时，\PC-PD\=CD,此时，|PC-PD|取

得最大值，

由(1)知C(2,2),D(4,l),设直线CD的解析式为：y=mx+n,

.-.{^+n=2解得

(4m+n=11n=3

直线CD的解析式为：y=-^x+3,

令y=0,即—；x+3=0,得x=6,

|PC—PD|最大时a的值为6.

(3)存在，理由如下：

若四边形C4MN为矩形，则△&4M是直角三角形，

则①当点4为直角顶点时，如图2,过点人作AC的垂线与y=：交于点M,分别过点C,M作工轴的垂

线，垂足分别为点凡G,

由“一线三等角”模型可得以A/C-aMGA,

则AF：MG=CF：AG,

•••C(2,2),力(3,0),

：,OF=CF=2,AF=1,

1：MG=2：AG,即MG：AG=1：2,

设MG=t,则24G=2t,

•••M(2t+3,t),

•••点M在反比例函数y=:的图象上，

则£(2t+3)=4,

解得£=(负值舍去)，

4

②当点。为直角顶点时，这种情况不成立；

综上，点M的坐标为(注/[3+；FT)

【解析】(1)先确定出。E=CE=2,即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；

(2)先求出。。解析式，由平行四边形的性质可得8C=04=3,BC//OA,AB//OC,利用待定系

数法可求48解析式,求出点⑦的坐标，再根据三角形关系可得出当点P,C,。三点共线时，|PC-PD\

最大，求出直线CD的解析式，令y=0即可求解；

(3)若四边形C4MN为矩形，则△&4M是直角三角形且4c为一条直角边，根据直角顶点需要分两种

情况，画出图形分别求解即可.

本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定与性质，相似三角形的性质与判定.第一问的

关键是求出点C的坐标，第二问的关键是知道当点P,C,。三点共线时，IPC-PDI取得最大值，

第三问的关键是利用矩形的内角是直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质建立等式.

25.【答案】1

【解析】解:⑴和AAOE都是等边三角形,

：.AD=AE,AB=AC,/.DAE=Z-BAC=60°,

•••乙DAE-Z.BAE=Z.BAC-Z.BAE,

•••乙BAD=Z.CAE,

三△CAE(S4S),

:.BD—CE,

BD.

,量=L

故答案为：1;

(2)噎崂二%4ABC=^ADE=90%

ABC~AADE♦

ABAD3

•••Z.BAC=Z.DAE,,■-zz-:

ACAE5

二Z-CAE=/.BAD,

•••△CAE-^BAD,

,BDAD3

"'~CE=~AE=S'

(3)如图，过点。作交E尸的延长线于，，过点。作DN1EF于N,

「△/WC是等腰直角三角形，^ACB=90%AB=6,

AC=BC=3「，

•.•将△/8C绕点力逆时针旋转60。得到△ADE,

AB=AD,AC=AE,/.BAD=Z.CAE=60°,BC=DE,Z.ACB=Z.AED=90°,

：.△AB