2023年中央民族大学高考仿真卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1V1

1.设全集U=R,集合4={幻*-1）（工一3）20},B=lx\->7.则集合（4/）03等于（）

A.（1,2）B.（2,3]C.（1,3）D.（2,3）

2.若直线/不平行于平面小且Sa,则（）

A.a内所有直线与/异面

B.”内只存在有限条直线与/共面

C.a内存在唯一的直线与/平行

D.a内存在无数条直线与/相交

3.已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）

△

A.2近B.C.4D.2x/6

4./+b?=1是。sin8+/?cose«1恒成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.函数f（Y）=Asin（a）Y+0）（其中A>0,3>0,的图象如图,则此函数表达式为（）

r

W二klzX

A./（x）=3sin（2x+?）B./（尤）=3sin（gx+?

.不

c.f(x)=3sino2x----D.〃x)=3sin(*(

I4J

6.双曲线工.E=/的渐近线与圆（“-3）2+），2=/（r>0）相切，则r等于（）

63

A.43B.2

C.3D.6

〃+Y

7.命题〃：存在实数%,对任意实数使得sin（x+/）=—sinx恒成立；q：Va>0,f（x）=In——-为奇函数,

a-x

则下列命题是真命题的是（）

A.〃八qB.（^p）v（-1^）c.P八DD.Jp）八q

8.已知等比数列｛q｝满足生T，4T6,等差数列仇｝中分=4,S”为数列也｝的前〃项和，则Sg=（）

A.36B.72C.-36D.+36

一,x<0

9.已知函数/=X,若函数/"）=/（幻-区在R上有3个零点，则实数2的取值范围为（）

Inx八

——,x>0

A.(0,A)

B.吟C.Ho.)

e

10.已知椭圆二+1=1（公>。>0）与直线2-：=1交于A,B两点，焦点"0,・c）,其中C为半焦距，若是直角

a~b~ab

三角形，则该椭圆的离心率为（）

AV5-1口V3-1「V3+1布+1

A.------B.------C.--------

224

”•已知双曲线C：，5=1（4>0/>0）的左、右焦点分别为耳，尸2,点尸是C的右支上一点，连接夕片与），轴交

于点M,若忻O|=2|OA/|（。为坐标原点），Pb\±Pb2,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±3xB.y=±\/3xC.y=±2xD.y=±\[lx

22

12.设双曲线三+二=1的一条渐近线为y=-2x,且一个焦点与抛物线f=4），的焦点相同，则此双曲线的方程为

ab

()

2*4222

A.5x?5)2=1B.5y'42=ic.5X=1D.5xy=\

444'4'

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.已知双曲线x2-^-=\(b>0)的一条渐近线为y=2x,则焦点到这条渐近线的距离为.

14.已知x=0是函数/(x)=x(at-tanx)的极大值点，则。的取值范围是.

15.如图，在矩形屋C。中，E为边题的中点，AB=\fBC=2,分别以A、。为圆心，1为半径作圆弧E8、

EC(E在线段AO上).由两圆弧所、KC及边3C所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体

积为.

16.如果抛物线./一2内上一点A(4,⑻到准线的距离是6,那么，.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

，71

17.(12分)已知函数f(x)=sirrx+sinxcos(x——).

6

(1)求函数/U)的最小正周期；

(2)求在0,^上的最大值和最小值.

18.(12分)已知函数f(x)u-^sinx+cos?]-；,(x€R)•

(1)当xw[0,加时,求函数的值域；

(2)△4/C的角4民。的对边分别为4〃工•且。二道，/(C)=1,求43边上的高/?的最大值.

19.(12分)已知函数/(%)=!x-2|,g(x)=a\x\-l.

(1)若不等式8"-3)之一3的解集为[2,4],求。的值.

(2)若当xwR时，/(x)Ng(x),求。的取值范围.

20.(12分)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点尸在直线x+)，-l=0上，平行

于x轴的两条直线(，/2分别交抛物线C于A,两点，交该抛物线的准线于小£两点.

(1)请利用正态分布的知识求尸(36vZ$79.5)；

(2)该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案:

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费:

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

获赠的随机话费(单位：元)1020

21

概率

33

市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？

附:①14.5;②若X~则P(/7-(7<X<〃+cr)=0.6827,P(〃—2cr<X<〃+2b)=0.9545,

P(〃-3c■<X<〃+3b)=0.9973,

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

先算出集合再与集合3求交集即可.

【详解】

因为A={x|xN3或,所以Q；A={x[l<x<3},又因为8=卜|2、<4}={x|xv2}.

所以-{x[l<x<2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.

2.D

【解析】

通过条件判断直线/与平面〃相交，于是可以判断ABCD的正误.

【详解】

根据直线/不平行于平面a,且可知直线/与平面斓交，于是ABC错误，故选D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

3.B

【解析】

由三视国可知，该三棱锥如图，其中底面A3c是等腰直角三角形，PC_L平面A4C,结合三视图求出每个面的面积即

可.

【详解】

由三视图可知，该三棱锥如图所示：

其中底面ABC是等腰直角三角形，尸C1平面ABC,

由三视图知，PC=2,AB=2x/2,

因为PCIBC,PCA.AC,AC=BC,AC±CB,

所以AC=BC=2,PA=PB=AB=2五,

所以S&PAC=SAPCB=S“CB=/x2x2=2,

因为A/33为等边三角形，

所以S&PAB(2夜y二2百,

44

所以该三棱锥的四个面中，最大面积为2G.

故选：B

【点睛】

本题考查三视图还原几何体并求其面积；考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关

键;属于中档题、常考题型.

4.A

【解析】

a=cosa

设｛=〃sin8+〃cos，=sinecosa+cos，sina=sin(e+a)<l成立；反之，〃=/?=()满足

b=sina

osine+AosOK1,但公+从",故选A.

5.B

【解析】

由图象的顶点坐标求出A,由周期求出力，通过图象经过点(三,0),求出夕，从而得出函数解析式.

【详解】

解：由图象知A=3,7=4(•一营］=4乃，则0=生=1,

122J4TI2

图中的点£。应对应正弦曲线中的点(再0),

IZ/

所以;乂与+夕=不，解得夕=5

/、1711

故函数表达式为/(1)=3sin-X+—.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属

于基础题.

6.A

【解析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.

【详解】

双曲线的渐近线方程为y=±也，圆心坐标为(3,0).由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径「，即，=

2

答案；A

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.

7.A

【解析】

分别判断命题〃和9的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题〃，由于sin（x+万）=一sinx,所以命题P为真命题.对于命题9,由于。>0,由>0解得一。<工<。,

a-x

且/（一6=11]—=11/”三]=-ln—=-/（A;）,所以/（H是奇函数，故9为真命题.所以〃八“为真命题.

a+x\a-xJa-x

（「p）v（->g）、p八（「q）、（「p）Aq都是假命题.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

8.A

【解析】

根据如是。2与4的等比中项，可求得％,再利用等差数列求和公式即可得到Sg.

【详解】

等比数列也｝满足生=1,4=16,所以为=土疯工^=±4,又〃4=〃2寸>。，所以%=4,由等差数列的性

质可得$=9分=9%=36.

故选：A

【点睛】

本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的讨算能力，是中档题.

9.B

【解析】

根据分段函数，分当x<0,x>0,将问题转化为攵=工区的零点问题，用数形结合的方法研究.

x

【详解】

当x<0时，k=^^-=-^t令g(x)=!，g'(x)=-2>0，g(工)在xw(-8,0)是增函数，攵>()时，

XXXXX

有一个零点，

当x>0时，攵=迫=野，令山)=坐”(])=匕坐

工厂x-X

当了£(0,6)时，"x)>0,.•./?")在(0,〃)上单调递增，

当X£(p2,+8)时，〃'(X)V。，「•心)在(八,+8)上单调递减，

所以当工=8时，取得最大值，，

因为F(x)=fM-依在R上有3个零点，

所以当x>0时，攵=型。有2个零点，

X

综上可得实数2的取值范围为(().1)，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.

10.A

【解析】

联立直线与椭圆方程求出交点A,〃两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于以儿。的关系式，解方程求解即可.

【详解】

'92

x~

2b2x=0x=-b

联立方程CT,解方程可得或，

2.Xy=ay=0

--z1

ab

不妨设40,不B（-b,0）,由题意可知，BA'BF=0»

因为84=（4々），BF={b-c）,

由平面向量垂直的坐标表示可得，bb-ac=0t

因为/?2=〃2-02，所以*-C2=QC,

两边同时除以/可得，e2+e-\=0,

解得6=叵1或£=土史（舍去），

22

所以该椭圆的离心率为叵L

2

故选：A

【点睛】

本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平

面向量垂直的坐标表示得到关于仇。的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

11.C

【解析】

利用三角形AOM耳与“死尸相似得|P用=2归身，结合双曲线的定义求得a,4c的关系，从而求得双曲线的渐近线

方程。

【详解】

设厅（一c、0）,日（c,0）,

由忻。|二2|OM|,AOMf；与鸟尸相似，

所以笆处=萼1=2,即|尸耳|=2归周，

111121

\OM\\PF2\

又因为|所卜|尸闾=2a,

所以|P£|=4a,|P闾=2a,

所以4c2=16/+4/，即<?=5。2,b2=4a2，

所以双曲线C的渐近线方程为），=±2.r.

故选：C.

【点睛】

本题考直双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

12.C

【解析】

求得抛物线的焦点坐标'可得双曲线方程三-三二1的渐近线方程为），二

,由题意可得力=-4。，又。2=1,

即力—4=1,解得。，b,即可得到所求双曲线的方程.

【详解】

解：抛物线1=4），的焦点为（0,1）

22

可得双曲线士+匕=1（人>0,〃<0）

ab

V2r2

即为1-L=1的渐近线方程为），二二

由题意可得2,即b=j

又/=],即Z?-。=1

I4

解得"一y/?=《.

即双曲线的方程为宜-5/=1.

4

故选：C

【点睛】

本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2.

【解析】

由双曲线f—±=is>0)的一条渐近线为y=2x,解得人.求出双曲线的右焦点(c,0),利用点到直线的距离公式

求解即可.

【详解】

•.•双曲线/一写=］屹>())的一条渐近线为)，=2X.•.彳=2

r

解得：b=2,,c=V172=V5

」•双曲线的右焦点为(后,())

..•焦点到这条渐近线的距离为：-^==2

本题正确结果：2

【点睛】

本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题.

14.("』］

【解析】

方法一：令g(x)=ar-tanx,则/(x)=rg(x),g'(x)=a——二，当XE(-工，工)时，g'(x)<0,g(x)单

cos~x22

JT7T

调递减，，(一丁,0)时，g(x)>g(O)=O,f(x)=xg(x)<()且r(x)=xg'(x)+g(x)>。,；・/3)在(一一,0)上

2f2

单调递增，xw(O,£)时，g(x)<g(O)=O,/(x)=xj?(x)<0,且，(x)=xg'(x)+g(x)vo,在(0,£)上单调

22

递减，・・・X=0是函数的极大值点，二。《1满足题意；当4>1时，存在/€(0弓)使得C0S/=9,即g'(/)=(),

1TT

又g，(x)=〃一一二在(0,7)上单调递减，・・・x£(()")时，g'(r)=O,g(x)>g(0)=0,所以/")=x-g(x)>/(0)=0,

cos-x2

这与x=0是函数/(x)的极大值点矛盾.综上，a<\.

方法二：依据极值的定义，要使x=0是函数/(x)的极大值点，由/〔0)=0知须在x=0的左侧附近，/(x)<0,即

6u-tariA>0；在x=0的右侧附近，f(X)<0,即av-tanxvO.易知，a=l时，)'=依与丁=tanx相切于原点，

所以根据)'=依与)=tanx的图象关系，可得。<1.

2冗

15.—

3

【解析】

由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1,母线长为2；体积为

匕=m，=2几；两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为£=3»3=丝；则所求几何体的体积为

33

嗅彳-%=竿・

考点：旋转体的组合体.

16.±4、份

【解析】

先求出抛物线y'=2px的准线方程，然后根据点A(4,相)到准线的距离为6,列出4+§=6,直接求出结果.

【详解】

抛物线/=2px的准线方程为x=—g

由题意得4+^=6,解得〃=4.

V点4(4,ni)在抛物线y2=2p%±,

**•trT=2x4x4>***m=±4^2，

故答案为：±45/^・

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)乃；(2)见解析

【解析】

(1)将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期

(2)根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值

【详解】

(I)由题意得

原式二sin2x+sinx—cosx+—sirw

I22J

3.,石.

=—sin-x+——siiircosx

22

——(l-cos2x)+^-sin2x

4V)4

工必一走

cos2x+—

224

x/3sin714

~T3J4

・••/（x）的最小正周期为万.

八冗

(II)x<=0,—,

2

2AL竺

333

‘当"枭='即"=。时，〃）一°；

业O万江日n5万、26+3

当2工一二二不，即时，f（x]=-----

322\Jmax4

综上，得工=0时，/（X）取得最小值为0；

1时，/（戈）取得最大值为当口

当尸

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算

正确，属于基础题

13

18.(1)--J.(2)—

22

【解析】

（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.

（2）由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得H2的最大值，可得A8边上的高力的最大值.

【详解】

3sinx+coH」=正sinx+1+COSX1.71

解：（1）・・•函数＞3）=sinXH--，

2222226J

n7，，不二.71]_

当4]时，x+—e—,sinxH—E

666JI6；2

=.71\71

(2)△/13c中,C=y/3,f(O1=smC+—C=­

I6)3

由余弦定埋可得=3=〃2+/?2一2必.80。=。2+从一他.."，当且仅当。=〃时，取等号,

即。〃的最大值为3.

II7

再根据山…3八人丁小哼故当"取得最大值3时，住得最大值为5.

【点睛】

本题考查降基公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰

当的公式是解题关键，本题属于中档题.

19.(1)a=-2；(2)(-00,-]

2

【解析】

试题分析：(1)求得g(x-3)2—3的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解。的值;

-/、

।k-2i|+l，设〃。)=IA-2|+1

(2)①当x=0时，|x-2|之aW-l恒成立，②当xwO时，转化为aW।I，求得函数4(x)

IA1IA1

的最小值，即可求解〃的取值范围.

试题解析:

(1)由g(x-3)之一3,得a|x-3|之一2,

2

因为不等式8卜一3)之一3的解集为[2,4],所以a<0,故不等式可化为|x—3|W—1

a

3+2=2

22

解得3+—WxW3—,所以，；,解得a=—2.

aa

3——=4

a

(2)①当x=0时，,一2|2a|x|一l恒成立，所以a$R.

3

--+l,x<0

x

x—2+1/、/、3

②当XHO时，|x_2,a|x|7可化为aJ”,设h(x)—TH一(XHO),则h(x)二.一一l,0<x<2,所

lxlx

--+l,x>2

x

以当x=2时，h(x).=^-,所以

\/min)o

综上，。的取值范围是.

20.(1)=4x；(2)见解析

【解析】

(1)根据抛物线的焦点在直线x+y-1=0上，可求得〃的值，从而求得抛物线的方程;

(2)法一：设直线4，4的方程分别为和)，=〃且。工0,4少，)b,可得A,B,D,石的坐标，进而

可得直线A8的方程，根据歹在直线行3上，可得=再分别求得人”，叫,即可得证；法二：设A(再,)[),

则P[T，然』，根据直线A8的斜率不为0,设出直线A8的方程为工-1=%，，联立直线A8和抛

I乙)

物线C的方程，结合韦达定理，分别求出女”，kEF,化简4”-勺/,即可得证.

【详解】

/1

(1)抛物线C的焦点/坐标为§,0,且该点在直线1+>-1=()上，

IZ/

所以5一1二0,解得〃=2,故所求抛物线。的方程为)2=4x

(2)法一：由点尸在线段A3上，可设直线4,的方程分别为丁=。和丁=〃且。/0,岳4),a'b,则A

(h2\

B—，^,D(-l,a),E(-l,b).

I-

b-aCT

x

・•・直线AB的方程为)'一"=P-74,，即4x-(a+Z?)y+〃b=0.

T-T

又点尸(1,0)在线段A8上，・・・c活=7.

(〃+6、

•・•尸是QE的中点，:.PT，f-

a+b4

a------a+—c4

・k=2___a__2

b2..

••柳一/,N+d

—4-1-------“—丁如

42

由于4P,Eb不重合，所以AP//EF

法二：设A&QJ,Ww，%)，则尸T，>：力

I2

当直线48的斜率为0时，不符合题意，故可设直线A3的方程为工-1=〃7y

[x-1=my.

联立直线AB和抛物线C的方程，得），2一4〃少-4=0

又力，力为该方程两根，所以X+K=4〃Z,凹力=-4,,_）「28+,鹏=三,

AP

~x1+l_2（x+l）-2

,、-4y

k_x-■+%（7+i）_y+%x=）”）'2w_二一丁_0,kEF=kAP

APEL2（斗+1）-（"］）—（%+］）-（芯+］）一

由于A尸，族不重合，所以AP//EF

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

21.（1）—+^-=1；（2）存在，且方程为）,=区5工+2或），=延X+2.

555

【解析】

（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到

（3+5犷*+206+5=0,要使以为直径的圆过椭圆C的左顶点。卜石,0）,则方.诙=0,结合韦达定理

可得到参数值.

【详解】

XV

（1）直线一+:=1的一般方程为法十少一帅=。.

ab

2ab=2屈

ab>/30卜=逐x2V2

依题意予=,解得'「，故椭圆。的方程式为L+L=l.

22

>Ja+b4［/?=V353

a2=Z?24-c2

（2）假若存在这样的直线/,

当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点,

所以可设直线/的斜率为〃，则直线/的方程为》="+2.

由I:一"J?,得（3+5F）f+2o6+5=0.

3/-5）P=15、）

由△二400公一20（3+5攵2）＞0,得Ze-ao,--u—,-H»

55

记A,B的坐标分别为(x2,y2),

20女5

则玉+七=

3+5攵2西工23+5?

而X%=（心+2）（辰2+2）=攵―内+2A（X]+X2）+4.

要使以|4邳为直径的圆过椭圆C