2023年中考压轴题专题：与圆有关的最值问题

与圆有关的最值〔取值范围〕问题

引例1：在坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点B为y相正半轴上的一点，点C是第一象限

内一点，且AC=2.设tanZB0C=m,那么m的取值范围是_.

引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作。D,以0为圆心OA长为半径

作。0,C为半圆弧A3上的一个动点（不与A、E两点重合），射线AC交于点E,

BC=。，AC=b»求4的最大值.

引例3：如图，NRAO60。,半径长为1的圆。与/RAC的两边相切，P为圆。上一动点，

以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,那么线段

DE长度的最大值为（）.

A.3B.6C.—D.3G

2

一、题目母析：

此题到一个圆中哈动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的根底知识、根本

技能和根琳思维我注重了初、高中知识的衔接

1.弘殂#麴:隐藏港〔高中轨迹的定义）,寻找动点C与两个定点0、A构成夹角的

变化规律？转化为特殊位置&相切〕进行线段、角度有关计算，同时对二角函数值的变化〔增

减性）进4了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；

2.引例2：通过圆的根本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，

结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式〃的直接运用：

3.引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质

运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点I）、E与一个定点A

构成三角形的不变条件（ZDAE=60°）,构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦

DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；

综合比较、回忆这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的

套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置.来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.

二、解题策略

1.直观感觉，画出图形；

2.特殊位置，比较纭果；

3.理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量1常量）

之间的关系，建立等式，进行转化.

三、中考展望与题型训练

例一、斜率运用

1.如图，A点的坐标为（・2,1）,以A为圆心的OA切x轴于点B,P（m,n）为OA上

的一个动点，请探索n+m的最大值.

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1.如图，在RtZXABC中，NACB=90°,AC=4,BO3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,

M为Bl）的中点，在1）点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.

2.如图，0（）的直径为4,C为。0上一个定点，ZABC=30°,动点P从A点出发沿半米孤A8

向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动袅中,

过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.

M

（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；

A0B

(2)在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为.

例三、正弦定理

1.如图，4ABC中，NBAC=60°,NABC=45°,AB=2&,D是线段BC上的一个动点，以

AD为直径作。0分别交AE,AC于E,F两点，连接EF,那么线段EF长度的最小值为.

2.如图，定长弦CD在以AB为直径的。0上滑动(点C、D与点A、B不重合)，此是侬的中

点，过点C作CP_LAB于点P,假设CD=3,AB=8,那么小长度的最大值是.一/、

例四、柯西不等式、配方法

1.如图，半径为2的。0与直线1相切于点A,点P是克径AB左侧半圆卫的自伏，过点P)

作直线1的垂线，垂足为c,PC与。o交于点D,连接PA、PB,设PC喔为俺7带

那么当x=时，PD・CD的值最大，且最大值是为.B

2.如图，线段AB=4,C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边

。。外接于ACDE,那么。0半径的最小值为().

「3人

A.4B片V.------D.2E

2

3.在平面直角坐标系中，以坐标原点。为圆心，2为半径画。0,PW就点A且P

在第一象限内，过点P作30的切线与1轴相交于点A,与)，轴相交于下

最小值足.

例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)］二

1.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,D为AB边上一梦冠於笠CD的垂线

交直线BC于点E,那么线段CE长度的最小值是./

2.如图，RtZXABC中，ZC=90°,NA=30°,AB=4,以AC上的4点UC圆心血为锵曲

00,假设。。与边BC始终有交点(包括B、C两点)，那么线段A8的取施范围速

3.如图，OO的半径为2,点O到直线1的距离为3,点P是直线门:点，PQ切

。0于点Q,那么PQ的最小值为()A.V13B.V5C.3D.2---------6。,

例五、其他知识的综合运用(。、丫

1.(2023•济南)抛物线产ax?+bx+4(aHO)过点A(I,-1),B(6,-1)-与交于

点、C.\ckJ/\

(1)求抛物线的函数表达式；----/B

(2)如图1,连接CB,以CB为边作口CBPQ,假设点P在直线BC上方的抛物线上，Q为

坐标平面内的一点，且。CBPQ的面积为30,求点P的坐标；

(3)如图2,OOi过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点(不与点A,E

重合)，NMBN为直角，边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.

2.(2023秋•相城区校级期末)如图，A、B是。O与x轴的两个交点，。0的半径为1,P

是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段

CD的中点.

(1)判断直线PE与OO的位置关系并说明理由；

(2)求线段CD长的最小值;

(3)假设E点的纵坐标为m,那么m的范围为.

【题型训练】

1.如图，直线1与00相离，O,A_L1于点A,0A=5,0A与。。相交于点P,AB与。0相切于

点B,BP的延长线交直线1于点C,假设在。。上存在点Q,使AQAC是以AC为底边的等腰

三角形，那么。0的半径r的取值范围为.

2.：如图，RtAABC中，/B=900,ZA=30°,BC=6cm,点()从A点出发，沿AB以每秒旧cm

的速度向B点方向运动，当点0运动了t秒(t>0)时，以。点为圆心的圆与边AC相切于点

D,与边AB相交于E、F两点,过E作EG_LDE交射线BC于G.

(1)假设点G在线段BC上，那么t的取值范围是；

(2)假设点G在线段BC的延长线上，那么t的取值范围是.

3.如图，OM,0N的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10cm.P为。M上的任意一点,Q

为。N上的任意一点，直线PQ与连心线/所夹的锐角度数为当P、Q在两圆上任意运动

时，tan/a的最大值为().(A)"；(B)-；(C)正；(D)-

12334

4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,0为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作。D,

P为0D上的一个动点，连接AP、0P,那么AAOP面积的最大值为().

(A)4(B)—(O—(D)—

584

5.如图，在Rl/V'BC中，NC=90。，AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切.的动圆与QLCB

分别相交于点P、Q,那么线段PQ长度的最小值是().

1924

A.—B.—C.5D.4x/r2-

45

6.如图，在等腰RtZXABC中，NC=90。,AC=BC=4,D是AB的中点，点E在AB边上运动(点

E不与点A重合)，过A、D、E三点作。0,。。交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，

线段EF长度的最小值为・

半赢1，

7.如图，A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2*0C的圆心的坐标为(T,0),

假设D是0c上的一个动点，线段DA与y轴交于外/,那么△ABE面积的最小值是(B).

A

A.2B.12-D.二

DCx

8.如图，A、B两点的坐标分别为(y,0)、(0,圆心坐标为(0,-1)M-

D是。C上的一个动点，射线AD上步轴交于，点E,|才汝谷嘴魅珀缪大值是(

B.争.4

A.3

9.如图，等腰RlZ\ABC中，NACB=90°,AC=BC=4,0c的半径为1,点P在斜边AB上，PQ

切。0于点Q,那么切线长PQ长度的最小值为().

B.2>/2C.3D.4

10.如图/BAC=60°,半径长1的。0与NBAC的两边两切，P为。0上一动点，以P为圆

心，PA长为半径的(DP交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,那么线段DE长度的范围为.

11.在直角坐标系中，点A的坐标为(3,0),点P(加〃)是第一象限内一点，且AB=2,

那么〃?-〃的范围为.

12.在坐标系中，点A的坐标为(3,0),点P是y轴右侧一点，且AP=2,点B上直线尸x+1

上一动点，且PB_LAP于点P,那么tanNABP=m,那么m的取值范围是.

13.在平面直角坐标系中，M[3,4),P是以M为圆心，2为半径的[上一动点，A：-1,

0)、B(1,0),连接PA、PB,那么P/f+PB?最大值是.

蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点

与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能

找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持

不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的根本方

法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值,

再给出证明.

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角

度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的根本方法有：

1.特殊位置与极端位置法；2.几何定理(公理)法；3.数形结合法等.

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点.这是由于这类问题

具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.

参考答案：

引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切(即到C点)

时，/BOC最小，AC=2,0A=3,由勾股定理得：OC=立，VZBOA=ZACO=90°,

.\ZBOC+ZAOC=90°,ZCAO+ZAOC=90°,AZBOC=ZOAC,tanZBOC=tanZ

OAC=0(=加,

AC2

随着C的移动，NBOC越来越大，YC在第一象限，・・・C不到x轴点，即NBOCV90",

JtanNBOO亚，故答案为：m2近.

引例2.a+bwC；

原题：(2023•武汉模拟)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作。D,以0

为圆心OA长为半径作圆0,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交。。于

点E,BC=a,AC=b.

(1)求证：AE=b+J^a；

(2)求a+b的最大值；

(3)假设m是关于x的方程：x，j&x=b2+jab的一个根，求m的取值范围.

【考点】圆的综合题.

【分析】(1)首先连接BE,由△OAB为等边三角形，可得NAOB=60。，又由圆周角定理，

可求得NE的度数，又由AB为。D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+d&；

(2)首先过点C作CH_LAB于H,在太△ABC中，BC=a,AC=b,AB=1,可得(a+b)2=

a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH*AB=1+2CH<1+2AD=1+AB=2,即可求得答案；

13)由x2+J5ax=b2+J4b,可得(x-b)(x+b+仁)=0,那么可求得x的值，继而可求

得m的取值范围.

【解答】解：(1)连接BE,OAB为等边三角形，JNAOB=60。，NAEB=3()。，

•••AB为直径,...ZACB=ZBCE=90°,BC=a,/.BE=2a,CE=V3a»,•*AC=b,AE=b4V5a：

(2)过点C作CH_LAB于H,在RQABC中，BC=a,AC=b,AB=1,/.a2+b2=l,

,1•SAABC=-AC«BC=1AB«CH,/.AC・BC=AB・CH,

22

/.(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH<1+2AD=1+AB=2,/.a+b<V2»

故a+b的最大值为加，

(3)x2+V3ax=b2+V33b»x2-b2+V3ax-(x+b)(x-b)(x-b)

=0,

(x-b)(x+b+J^a)=0,x=b或x=-(b+d5a),

当m=b时，m=b=AC<AB=l,0<m<1»

当m=-(b+V3a)时，由(1)知AE=-m,X/AB<AE<2AO=2,/.I<-m<2,

-2<m<-1,/.m的取值范围为0Vm<1或-2<m<-I.

【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方

程的解法.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.

引例3.解：连接EP,DP,过P点作PM垂直DE于点M,过O做OF_LAC与F,连接

AO,如图，/ZBAC=60\/.ZDPE=I2O0./PE=PD,PM±DE,/.ZEPM=60°,

ED=2EM=2EP«sin6O°=V3EP=V3PA.当P与A、O共线时，且在O点右侧时，OP直径

最大.

•「OO与NBAC两边均相切，且/BAC=6与，NOAF=30°,OF=1,

AO=.1。=2,AP=2+1=3,/.DE=JEPA=3d5.故答案为：D。

sin30

【点评】此题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关

系，再解决切线的性质来解决问题.此题属「中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之

间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、0、P三点共线时DE最大.

引洌3图

例一、斜率运用

【考点】切线的性质；坐标与图形性质.【专题】探究型.

【分析】设min=k,那么点P(m,n)在直线xty=k上，易得直线y=-xik与y轴的交点

坐标为(0,k),于是可判断当直线y=・x+k与。A在上方相切时，k的值最大；直线y=-

x+k与x轴交于点C,切OA于P,作PDJLx轴于D,AEJ_PD于E,连接AB,如图，那

么C(k,0),利用直线产-x+k的性质易得NPCD=45*,那么△PCD为等腰直角三角形，

接着根据切线长定理和切线的性质得AB_LOB,AP_LPC,AP=AB=1,CP=CB=k+2,所以

四边形ABDE为矩形，/APE=45。,那么DE=AB=1,PE=2^AP=2Z1，所以PD=PE+DE=立+1,

222

然后在RtZiPCD中，利用PO&PD得至lj2+k=加(立+1),解得k=&-1,从而得到n+m

2

的最大值为1.

【解答】解：设m+n-k,那么点P(m,n)在直线x+y-k上，当x-0时，y-k,即直线y-

・x+k与y轴的交点坐标为(0,k),所以当直线y=・x+k与。A在上方相切时，k的值最

大，

直线产-x+k与x轴交于点C,切OA于P,作PD_Lx轴于D,AE_LPD于E,连接AB,

如图，

当y=0时，-x+k=O,解得x=k,那么C(k,0),二•直线y=-x+k为直线y二-x向上平移k

个单位得到，・•.NPCD=45。，.・.△PCD为等腰直角三角形，,「CP和OB为OA的切线，

AAB±OB,AP±PC,AP=AB=LCP=CB=k+2,.,.四边形ABDE为矩形,zAPE=45°,

DE=AB=L

△APE为等腰直角三角形，PE二逛AP二火，PD;PE+DE=运+1,在RsPCD中，

222

/PC=V2PD,/.2+k=V2(及+1)，解得1<=加-1,/.n+m的最大值为1.

2

【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行

计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.解

决此题的关键是确定直线y=・x+k与OA相切时n+m的最大值.

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1.解：作AB的中点E,连接EM、CE.在直角△ABC中，AB=VAC^+BC2=74^+S2=5J

・•・E是直角△ABC斜边AB上的中点，「.CE二」AB二E.「M是BD的中点，E是AB的中

22

点，ME=1AD=1..,.在^CEM中，&-14CMW至+1,即&CM41.故答案是：及CM4工

2222222

2.(1)2百<。。工4收⑵2+2>/13；

变式题：(2023•邯郸一模］如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，0O的直径AB=5,

AB的不同侧有定点C和动点P,tan/CAB=1其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过

3

点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.

(1)当PC二时，CQ与。0相切；此时CQ二.

(2)当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；

(3)当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长.

【考点】切线的性质；圆周角定理：解直角三角形.

【专题】计算题.

【分析】11)当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂

直于直径CP,得到CQ为切线，即可得到CP的长；山同弧所对的圆周角相等得到一对角

相等，由角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的民；

(2)当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CPJ_AB于D,由AB为圆

O的直径，得到NACB为直角，在直角三角形ACB中，由tan/CAB与AB的长，利用锐

角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求,

也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的

圆周角相等得到一对角相等，由角的正切值，得到tan/CPB的值，由CP的长即可求出CQ；

(3)当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE_LPC于点E,由P是弧AB

的中点，得到/PCB=45。，得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与

BE的长，在直角三角形EBP中，由NCPB=NCAB,得到tanNCPB=tanNCAB,利用三角

函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长.

【解答】解：(1)当CP过圆心O,即CP为圆O的直径时，CQ与。O相切，理由为：

•「PCJLCQ,PC为圆O的直径，」.CQ为圆O的切线，此时PC=5；/ZCAB=ZCPQ.

tan/CAB=ianNCPQ=，,lanNCPQ4^攵=3,那么CQ=4；故答案为：5；4：

3CP5333

(2)当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP_LAB于D,

Q

乂•••AB为。O的直径，NACB=90°,JAB=5,tanZCAB=-^,/.BCM,AC=3,

3

X/SAABC=-AC«BC=1AB«CD,AC«BC=AB«CD,即3x4=5CD,「.CD』,

225

PC=2CD=&,

5

在RtAPCQ中，ZPCQ=90°,ZCPQ=ZCAB,CQ=PCtanZCPQ=^PC,CQ=9"逐;

3355

[3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BEJ_PC于点E,

•••P是弧AB的中点，ZPCB=45°,CE=BE=2&,又4CPB=ZCAB,

/.tanZCPB=（anZCAB&，，/.PE=——叫_=JBE=&但

PE3tanZCPB42

/.PC=CE+PE=2V^+^^=^^，

22

由（2）得，CQ=£PC=2^

33

【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直

角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解此题的关键.

再变式：如图3时，CQ最长。

例三、正弦定理

1.解:由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，_

如图,连接OE,OF,过0点作OH±EF,垂足为H,,/在RtAADB中，NABC=45%AB=2亚

AD=BD=2,即此时圆的半径为1,由圆周角定理可知NEOH=」NEOF=ZBAC=60°,/.在

2

RtAEOH中，EH=OE*sinZEOH=1X1=Y1,由垂径定理可知EF=2EH=加，故答案为：加.

22

2.【考点】垂径定理；三角形中位线定理.

【分析】当CDIIAB时，PM长最大，连接OM,OC,得出矩形CPOM,推出PM=OC,求

出OC长即可.

【解答】解：法①：如图：当CDIIAB时，PM长最大，连接OM,0C,

/CDIIAB,CP±CD,/.CP±AB,/M为CD中点，OM过O,OM_LCD,

/.ZOMC=ZPCD=ZCPO=90°,四边形CPOM是矩形，「.PM=OC,

。0直径AB=8,.•.半径004,即PM=4,故答案为：4.

法②：连接CO,MO,根据NCPO=NCM0=90。，所以3M,O,P,四点共圆，且CO为

直径.连接PM,那么PM为OE的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=C0=4时

PM最大.即PMmax=4

【点评】此题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，美键是找出符合

条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度.

例四、柯西不等式、配方法

1.过0作OE_LPD,垂足为E,「PD是OO的弦，OE_LPD,PE;ED,

又,.,NCEO=NECA=NOAC=9()°,...四边形OACE为矩形，.•.CE=OA=2,又PC=x,

PE=ED=PC-CE=x-2,/.PD=2(x-2),/.CD=PC-PD=x-2(x-2)=x-2x+4=4-x,

PD*CD=2(x-2)•(4-x)=-2X2+12X-16=-2(x-3)2+2,<2<x<4,/.当x=3时，

•••△ACD和^BCE都是等边三角形，・•・AP与BP为CD、CE垂直平分线.

又,••圆心O在CD、CE垂直平分线上，那么交点P与恨心O重合，即圆心0是一个定点.

连接0C.假设半径OC最短，那么OC_LAB.又・•,NOAC=NOBC=30°,AB=4,/.OA=OB,

AC=BC=2,.•.在直角△AOC中，OC=AC*tanZOAC=2xtan30°=^Z^.应选：B.

3

3.解：(1)线段AB长度的最小值为4,理由如下：连接0P,

「AB切OO于P,OPJ_AB,取AB的中点C,..AB=2OC：当OC=OP时，0C最短，

即AB最短，此时AB=4.故答案为：4.

（3题答图）

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）

L求CE最小值，就是求半径OD的最小值。

2.yf3<OA<-43；

3

3.【考点】切线的性质.【专题】压轴题.

【分析】因为PQ为切线，所以aOPQ是Rt/i.又0Q为定值，所以当0P最小时，PQ最

小.根据垂线段最短，知0P=3时PQ最小.根据勾股定理得出结论即可.

【解答】解：PQ切。0于点Q,/.ZOQP=90。，/.PQ2=OP2-0Q2,而OQ=2,PQ2=OP2

-4,即PQ=Jop2_4,当OP最小时，PQ最小，;点O到直线1的距离为3,「.OP的最

小值为3,「.PQ的最小俏为行彳加.应选B.

【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位

置是解题的关键，难度中等偏上.

例五、其他几何知识的运用

（a+b+4=—1A=1

1.解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：,解得：.

25a+5b+4=-1b=-6

「•抛物线得解析式为y=x2-6x+4.

(2)如下列图:

设点P的坐标为P(m,n】2・6m+4),二•平行四边形的面积为30,

SACBP=15,KP：SACBP=S梯形CEDP-SACEB-SAPBD.

/.in(5+m2-6m+4+l)-A<5x5--(m-5)(m2-6m+5)=15.

222

化简得：n?-5m-6=0,解得：m=6,或m=-1.丁m>0,.,.点P的坐标为(6,4).

(3)连接AB、EB.vAE是圆的直径，」.ZABE=90°.ZABE=ZMBN.

又「NEABM/EMB,△EABs△NMB.TA[1,-1),B(5,-1),...点Oi的横坐标

为3,

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4,.•.点C的坐标为(0,4).设点Oi的坐标为[3,m),

OIC=OIA»32+~m—4)~二J22+~(nr!*])~解得：m=2,点Oi的坐标为(3,

22

OIA=-J3+(2-4)=713»在RtZiABE中，由勾股定理得：

BE=7AE2-AB2=7(2V13)2-42=6*・二点E的坐标为(5,5)./.AB=4,BE=6.

•「AEABsANMB,.•.姻「.NB=AR

EBNE

,当MB为直径时，MB最大，此时NB最大.・・.MB=AE=2yqW，・•・NB=-1X25=3、后.

2.【考点】圆的综合题.【专题】综合题.

【分析】(1)连接OP,设CD与x轴交于点F.要证PE与OO相切，只需证NOPE=90。，

只需证/OPB+ZEPD=90・，由OP=OB可得/OPB=ZOBP=ZFBD,只需证/EPD=ZEDP,

只需证EP=ED,只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题.

(2)连接0E,由于PE=』CD,要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在RtAOPE

2

中，OP,只需求出OE的最小值就可.

(3)设OO与y轴的正半轴的交点为Q,由图可,知：点P从点Q向点B运动的过程中，点

E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1,由此就可得到m的范围.

【解答】解：(1)直线PE与OO相切.

证明：连接OP,设CD与x轴交于点F.=AB是。0的直径，NAPB=/CPD=90。.

,/E为CD的中点，.JPE=CE=DE=iD,/.ZEPD=ZEDP.「OP=OB,

2

ZOPB=ZOBP=ZDBF.

/ZDBF+ZEDB=90°,ZOPB+ZEPD=ZOPE=90Q,EPJLOP.「OP为。0的半径，

PE是OO的切线.

(2)连接OE,/ZOPE=90°,OP=1,/.PE2=OE2-OP2=OE2-1.•.当OE±CD时,OE=OF=2,

此时OE最短，」.PE?最小值为3,即PE最小值为第，•.线段CD长的最小

2

值为2代

(3)设。0与y轴的正半轴的交点为Q,

由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，当点P在点Q时，

由PE_LOP可得点E的纵坐标为1.•••点P是圆上第一象限内的一个动点，.'m的范围为m

<1.

【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、

勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求0E的最小值是解决第(2)小题

的关键.

【题型训练】

1.解:连接0B.如图1,IAB切OO于B,OA±AC,AZOBA=ZOAC=90%

・・・NOBP+NABP=90。，ZACP+ZAPC=90°,VOP=OB,，NOBP=NOPB,

VZOPB=ZAPC,AZACP=ZABC,AAB=AC,作出线段AC的垂直平分线MN,作OE

±MN,如图2,/.0E=J：AC=lAB=X/in2_^2,又，・,圆0与直线MN有交点，，

22”Ur

2

0E=-i^1Q2_r2^r,・他02一俨21,即：100-r<4r,/.r^20,A^275-VOA=10,

直线1与。O相离，

Ar<10,A2V5^r<IO.故答案为：2小艮rVlO.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾

股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能

力.此题综合性比较强，有一定的难度.

2.原题：(2004•无锡)：如图，RtAABCZB=90°,ZA=30°,BC=6cm.点O从A点出

发，沿AB以每秒心m的速度向B点方向运动，当点0运动了t秒(t>0)时，以O点为

圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点.过E作EG_LDE交射线BC于

G.

(1)假设E与B不重合，问t为何值时，4BEG与ADEG相似？

(2〕问：当I在什么范围内时，点G在线段BC上？当I在什么范围内时，点G在线段BC

的延长线上？

(3)当点G在线段BC上(不包括端点B、C)时，求四边形CDEG的面积S(cm2)关于

时间t(秒)的函数关系式，并问点0运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？

【考点】切线的性质；二次函数综合题：相似三角形的判定.

【专题】综合题：压轴题；分类讨论.

【分析】［1)连接OD,DF.那么OD_LAC,那么NAOD=60。，ZAED=30°.由于NDEG=90。，

因此NBEG=60。，因此此题可分两种情况进行讨论：

①当NEDG=60。，NDGE=30。时，ZBGD=ZBGE+ZEGD=60°.这样NBGD和NACB相等，

那么G和C重合.

②当NDGE=60。时，可在直角aAOD中，根据NA的度数和AO的长表示出AD的长，也就

能表示出CD的长，由于/A=NAED=30。，那么AD=DE,可在直角ADEG中，用AD的长

表示出DG,进而根据DG〃AB得出的关于CD,AD,DG,AB的比例关系式即可求出此

时t的值.

(2)此题可先求出BG的表达式，然后令BG>BC,即可得出G在BC延长线上时I的取

值范围.

(3)由于四边形CGED不是规那么的四边形，因此其面积可用AABC的面积-AADE的面

积・ABEG的面积来求得,在前两问中已经求得AD,AE,BE,BG的表达式，那么就不难

得出这三个三角形的面积.据此可求出S,t的函数关系式.根据函数的性质和自变量的取

值范围即可求出S的最大值及对应的I的值.

【解答】解：(1)连接OD,DF.「AC切。O于点D,・・・OD_LAC.在RSOAD中，NA=30。,

OA=V3t»AOD=OF=2/lt,AD=OA・cosA=空.又：/FOD=9()°-30°=6()°,AZAED=300,

22

・・・AD=ED=£.VDE±EG,/.ZBEG=60%z\BEG与ADEG相似.VZB=ZGED=90%

①当NEGD=30。，CE=2BE=2(6^3-—t)那么NBGD=6(T=NACB,此时G与C重合，

2

DE=^1=AD,CD=12-也BE=6乃-虫t,VABEG^ADEC,二里理

222CDDE

•--------------------------=-----------------t=%

.•12-^t—逡‘?’

22

②当/EGD=6(T.・"・DG_LBC,DG77AB.在R【Z\DEG中，ZDEG=90\DE=^,

2

在RSABC中，ZA=30°,BC=6,AAC=12,AB=6V3-ACD=12-MVDG/7AB,

2

J理旦解得1=21答：当i为国或义时，zkBEG与AEGD相似；

ABAC737

(2);AC切。O于点D,，OD_LAC.在RsOAD中,ZA=30%OA=V3t*AZAED=3()\

，DE_LEG,AZBEG=6G°.在RsABC中，ZB=90°,ZA=300,BC=6,.\AB=6V3-

BE=6V5-RSBEG中，ZBEG=60°,工BG二BE・tan600=18-当038-246,

222

即其t"时，点G在线段BC上；当18-2>6,即OVtV2时，点G在线段BC的延长线

323

上；

(3)过点D作DM_LAB于M.在RIAADM中，ZA=30°,，DM=1AD=

24

AS=SAABC-S^AED-SABEG=36A/3--^^t2-27^31=-(t-—)?+至巴

1616773

4).

所以当t=与时，s取得最大值，最大值为1茅.

【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的

求法以及二次函数的综合应用等知识点.

3.D；4.解：当P点移动到平行于0A且与0D相切时，AAOP面积的最大，如图，

是0D的切线，・・・DP垂直与切线，延长PD交AC于M,那么DM_LAC,

;在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,AAC=.*.OA=g

2

VZAMD=ZADC=90%ZDAM=ZCAD,/.AADM^AACD,VAD=4,CD=3,

CDAC

AC=5,.二DM=卫，/.PM=PD+DM=1+12=11,•・•△AOP的最大面积

555

二」OA・PM」x&"U

【点评】此题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三

角形相似的判定和性质，此题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；

5.解：如图，设QP的中点为F,圆F与AB的切点为D,连接FD、CF、CD,那么FD_L

AB.

VZACB=90°,AC=8,BC=6,/.AB=10,FC+FD=PQ,/.FC+FD>CD,:当点F在直角

三角形ARC的斜边AR的高CD上时，PQ=CD有最小值，ACD=BC*AC-?-AB=4.8.应选：

B.

6.2加；

7.解：假设△ABE的面积最小，那么AD与OC相切，连接CD,那么CD_LAD：

RtAACD+，CD=1,AC=OC+OA=3：由勾股定理，得：AD=2&；

Saa0E22

SAACD=-AD«CD=V2：易证得AAOEiADC,-(0A)=(一=)=1,

2SAADCAD砧2

即SAAOE=-^SAADC=^^;SAABE:SAAOB-SAAOE=-^<2X2-近2-退

22222

另解.：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！应选：C.

8.解：当射线AD与0c相切时,△ABE面积的最大.连接AC,

ZAOC=ZADC=90°,AC=AC,OC=CD,/.RtAAOC^RtAADC,/.AD=AO=2,

连接CD,i^EF=x,/.DE2=EF*OE,/CF=1,「.DE』(x+2)，・・△CDE~△AOE,

2X(41+2)

.•黑即1.x+1BEXACL3U.应选:

:,解得X=—,SAABE二

22+Jx(x+2)3223

B.

【点评】此题是一个动点问题，考杳了切线的性质和一:角形面积的计算，解题的关键是确定

当射线AD与OC相切时，△ABE血积的最大.________________

22

9.解：当PC_LAB时，PQ的长最短.在直角△ABC中，AB=^AC+BQ2=74+4

PC='AB=2亚.「PQ是0c的切线，・••CQJLPQ,即NC