2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练专题16 全等模型之角平分线模型（解析版）

专题16全等模型之角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1,。。为NAO8的角平分线、C4_L。月于点A时，过点。作C4_LQ8.

结论：CA=CB、\OAC^\OBC.

图1图2

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2,在AA5C中，ZC=90°,AD为NC48的角平分线，过点。作

结论：DC=DE、ADAC^AZME.（当AABC是等腰直角三角形时，还有A3=AC+CQ.）

图3

常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3,0。是NCOB的角平分线，AC=BC,过点。作CO_LOA、CE1OB.

结论：①ZB3+Z46=180°；②AD=BE；@OA=OB+2AD.

例1.（2023•广西玉林•八年级统考期中）如图，是448C的平分线，于EAB=36cm.8C=24cm,

且三角形ABC的面积Sy也.=144cn?,则线段DE的长是cm.

【答案】4.8

【分析】过点。作_LACI•点F,根据角平分线的性质可得D产=小，进而根据三角形的面积公式即可

求解.

（详解】如图,过点。作_LBC于点F,

8。平分/ABC,于点£,:.DF=DE,

团Sjc=S八初+$86=/4B'DE+yBC-£>/=g（AB+AC）x。匹=144,

01（36+24）xp£=144,解得：DE=4.8（cm）故答案为：4.8.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

例2.（2023•广东中山•八年级校联考期中）如图，ABC中，ZABC.NH4c的角平分线8尸、人尸交于点

尸，延长B4、8C,PM1BE,则①CP平分NACF；②乙48C+2N4PC=180°；③/AC6=2/A?8；

④S"AC=SW+S.”.上述结论中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】过点。作加JLAC于根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明

RtPAMgRtPA£>(HL),RtPCD^RtPGV(HL),得出NA/加=,/CPD=/CPN、进而得到

/MPN=2ZAPC,再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即

可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论.

【详解】解：①如图，过点P作尸。_LAC于。，

平分NA8C,PM上BE,PN工BF,:.PM=PN,

AP平分NE4C,PMtBE,PDA.AC,:.PM=PD,:.PN=PD,

FNLBF,PDA.AC,「.C尸平分NAb,①结论正确；

②PM1.BE,PD1AC,PN1BF,:./PMA=/PDA=4PNB=yr,

PM=PD/、

在RtAW和乙△%。中，，Rt.PAA/^Rt_PAD(HLi,

PA=PA

:.ZAPM=ZAPD,同理可得，Rt.PCD^RtPGV(HL),."CPDMCPN,

/MPN=ZAPM+ZAPD+Z.CPD+ZCP/V=2(/APO+NCPD)=2ZAPC,

/ARC4./PNR:/MPN»/PMA=360°,/ARC+/MPN=3600-7PNR-/PMA=1R0°,

.•.Z4BC+2z^PC=180°,②结论正确；

③AP平分/E4C，/.ZCAE=2ZMAP,

.Z.CAE=ZABC+ZACB,ZMAP=ZABP+ZAPB,48c+ZAC8=2(AABP+^APB),

8P平分/A8C,:.ZABC=2ZABP,

2^ABP+ZACB=2ZABP+l^APfi,;.ZACB=2ZAPB,③结论正施；

④由②可知，.'.RtPAMIRIPAD,RtPCFJ^RlPCN,：.SPAM=SPADt8PCn=S,

SPAC=SPAD+SPCD,SpAC=Sw+SpCN+S“/W=Sgpc,(4)结论正确，

・•・正确的结论是①②③④，故选：D

【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和,

三角形的外角性质，熟练掌握角平分线.上的点到角两边的距离相等是解题关键.

例3.(2023春•安徽宿州•八年级统考阶段练习)已知A8〃C。，BQ和CP分别平分/ABC和NBC力，点E,

产分别在AB和CD上.⑴如图1,防过点P,且与4B垂直，求证：PE=PF；

⑵如图2,E尸为过点P的任意一条线段，试猜想夕£="还成立吗？请说明理由.

【答案】（1）证明见详解（2）庄=尸产成立，理由见详解

【分析】（1）过点。作于点M,由角平分线的性质定理即可得出结论：

（2）过点P作G”_LA8于点G,交CD于点H,证明△PGE妾即可得出结论.

【详解】（1）证明：如图，过点P作?于点M,

图1

^AB//CD.EF±AB.:.EF±CD.BP和CP分别是NA8C和N8O的平分线,

且尸M18C,EFA.AB,EFJ.CD,:.PE=PM,PM=PF.:.PE=PF.

（2）PE=PF成立.理由如下：如图，过点P作GHJ.AB于点G,交C。于点儿

图2

AB//CD,:.PGLABtPH1CD,ZPGE=ZP/7F=90°,

由（1）得PG=PH,在，PGE和中,

4PGE=NPHF

PG=PH:MGEg△尸ASA),,-,PE=PF.

NEPG=FPH

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分

线的性质，证明三角形全等是解题的关键.

例4.（2022・河北・九年级专题练三）已知OP平分（MOB,团。CE的顶点C在射线OP上，射线CO交射线

OA于点F,射线C石交射线OB于点G.

（1）如图1,若CO3Q4,CE0O8,请直接写出线段CT与CG的数量关系；

（2）如图2,若财08=120。，WCE^AOC,试判断线段C尸与CG的数量关系，并说明理由.

【分析】（1）结论b=CG,由角平分线性质定理即可判断.（2：结论：CF=CG,作CM0OA于M,CN^OB

于N,证明（30W阻3CWG,利用全等三角形的性质即可解决问题.

【详解】解：（1）结论：CF=CG；

证明：120P平分财08,CK20A,CG^OB,0CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

过点C作C网OB,团OP平分财08,CM^OA,CN^OB,财08=120。,

团CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

配1AOC=（3BOC=60°（角平分线的性质），

团团OC£=(MOC,团财0C=^50C=团乃C£=60°,

团国MCO=90°-60°=30°,(3NCO=90°-60°=30%

回回MCN=30°+30°=60°,mMCN=WCE,

^MCF^MCN-^DCN,^NCG^DCE-^DCN,幽MC臼3NCG,

NCMF=ACNG

在RMC/和07VCG'|>,CM=CN00MCM33/VCG(ASA),

NMCF=NNCG

0CF=CG（全等三角形对应边相等）.

【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分

线的性质的应用，熟练证明三角形全等.

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1,OC为NAOB的角平分线，ABA.OC,

结论：△AOC也△BOC,AOAB是等腰三角形、OC是三线合一等。

条件：如图2,4七为NA3C的角平分线，BE上EC,延长84,CE交于点E

结论：4BEC叁4BEF,MFC.是等腰三角形、8E是三线合一等。

例1.（2022秋•湖北黄冈•八年级校考期中）如图，.ABC中，4。是N8AC的角平分线,

CDLAD,AC-AB^5；若S△血的最大值为30,则BC长为一.

B

D

【答案】24

【分析】延长8和AB相交于点E,构造出"OC包AOE(ASA),从而求出座的值；根据当BE_L8C时,

S“E有最大值求解即可；

【详解】解：延长。。和4B相交于点E,如佟I：

(SAD是N8AC的角平分线团NC4O=NE4O

回CD_LA£)0ZCDA=ZEDA=90°

AD=AD：..ADC^.ADE(ASA)AC=AE,DC=DE

：.BE=AE-AB=AC-AB-5，SBCE=2SBl)c

当8£_L3C时，SBCE有最大值；此时S&c£=2S血=2x30=60,即：

-BC>BE=60：.BC=^^=—=24

2BE5

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题关键.

例2.(2022•绵阳市•九年级期中)在aABC中，AB=AC,鲂AC=90,平分0/WC交AC于点/).

(1)如图1，点尸为3c上一点，连接交4。于点E.若AB=BF,求证：3。垂直平分AF.

(2)如图2,CE^BD,垂足E在3。的延长线上.试判断线段CE和8。的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,点尸为8c上一点，回团43C,CE^EF,垂足为七，EF与AC交于点、M.直接写出线段

CE与线段FM的数量关系.

【答案】(1)见解析；(2)BD=2CE,理由见解析；(3)FM=2CE.

【分析】(1)由8D平分M8C,可得t3ABE=0FBE,可证△ABEE0FBE(SAS),可得AE=FE,团AEB=0FEB=；xl80°=90°

即可；(2)延长CE,交BA的延长线于G,由C£0BD,回ABEWFBE,可得GE=2CE=2GE,可证ABAD胴CAG(ASA),

可得BD=CG=2CE；(3)作FM的中垂线NH交CF于N,交FM于H,由FN=MN,MH=FH=；FM,可得由NMH=(3NBH,

由叵£//C=ga48C=22.5°,nJ^0ABC=(3ACB=0MNC=45°,可得NM=CM=FN,由夕卜角

回EMC=0MFC+团MCF=22.5°+45°=67.5°,可求同ECM=90°也EMC=22.5°,可证AFNH团团CME(AAS),可得FH=CE即

可.

【详解】证明(1)团8£)平分M8C,圆3ABEWFBE,

0BA=BF,BE=BE,0ZXABE00FBE(SAS),

0AE=FE,l3AEB=0FEB=^x180°=90°,08。垂直平分AF.

⑵BD=2CE,理由如下：延长CE,交BA的延长线于G,

0C£I3BD,aABE=0FBE,SGE=2CE=2GE.

00CED=9O°=0BAD,@ADB=0EDC,03ABD=0GCA,

又AB=AC,0BAD=0CAG,,回回BAD目而CAG(ASA),0BD=CG=2CE,

(3)FM=2CE,理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N,交FM于H,

0FN=MN,MH=FH=^FM,E0NMH=[3NBH,

团团〃4c=22.5°,团I3MNC=2团NFH=2x；a44C=(M/eC,

[MB=AC,团ZMC=90,酿ABCWACB=E1MNC=45°,团NM=CM=FN,

0[?1EMC=[?]MFC+0MCF=22.5O+45O=67.5\酿ECM=90°唱EMC=22.5°,亚NFHWMCE,

又困FHN=0E=9O°,0AFNH00CME-AAS）,0FH=CE,0FM=2FH=2CE.

【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三

角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是

解题关键.

例3.（2022秋•河南信阳•八年级统考期末）情景观察:如图1,例BC中，AB=AC,0BAC=45",CDEAB,AE0BC,

垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.

①写出图1中所有的全等三角形;②线段AF与线段CE的数量关系是,并写出证明过程.

问题探究：如图2,0ABC+,0BAC=45°,AB=BC,AD平分（3BAC,AD3CD,垂足为D,AD与BC交于点E.

求证:AE=2CD.

【答案】①团ABEE0ACE,0ADF00CDB：②AF=2CE,详见解析.

【分析】情景观察：①由AB=AC.AE13BC,AE是公共边，根据“HL〃即可判断0ABE00ACE：根据等腰三角形“三

线合一”和0A=45。，可求得（3DAF=22.5。，利用等边对等角和三角形内角和定理求得团B=67.5。，在Rtl3BDC

中即可求得团DCB=22.5°,在RtQADC中由回DAC=45°可得AD=CD,由"ASA”即可得出团ADF画CDB；②由①中

团ADFOtaCDB得出AF=BC,再由“三线合一"得出BC=2CE,等量代换即可得出结论；问题探究：延长AB、CD

交于点G,由ASA证明团ADCQmADG,得出对应边相等CD=GD,即CG=2CD,证出用BAE=EIBCG,由ASA证

明EABE回回CBG,得出AE=CG=2CD即可.

【详解】解：①图1中所有的全等三角形为△皿£瓯4CE,AAD侬CD&

故答案为△48E00ACE,0AQ7词EICO8：

②线段A尸与线段CE的数量关系是：AF=2CE；故答案为

证明：005CD013MD,0A尸=8C,（M8=AC,AE^BC,国BC=2CE,0AF=2CE；

问题探究：证明：延长A&C。交于点G,如图2所示:

04。平分团“AC,^CAD=^GAD,0AD0CZ?,01MDC=[MDG=COO,

ZADC=/ADG

在&AQC和△AQG中，\^D=AD,^ADC^ADG(ASA),0CD=GD,即CG=2CQ,

NCAD=/GAD

胴8AC=45°,AB=BC,(30/WC=9O°,00CBG=9O°,(313G+团BCG=90°,

00G+0A?AE=9O°,E0BAE=O3CG,

NABE=/CBG=9()

在AA8E和^CBG中，＜AB=CB,0MBE00CBG(ASA),^AE=CG=2CD.

ZBAE=/BCG

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质,

证明三角形全等是解决问题的关键.

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）

【模型解读与图示】

条件：如图，。。为NAO8的角平分线,A为任意一点，在OB上截取03=04,连结C8.

结论：△OACgAOBC,CB=CA.

条件：如图，分别为N4BC和N3CE的角平分线，A8//C。，在8C上截取8b=AB,连结

结论：ABAE^ABFE,\CDE\CFE,AB+CD=BC°

例1.(2023•广西八年级课时练习)在么BC中，BE,CD为MBC的角平分线，BE,CD交于点F.

(1)求证：ZBFC=90°+^Z/\；(2)已知NA=60。.①如图3若比)=4,BC=6.5,求CE的长;

②如图2,若BF=AC,求NA砂的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)2.5；(3)1000.

【分析】(1)由三角形内角和定理和角平分线得出/即。+48=90。-344的度数，再由三角形内角和定理

可求出的度数，

(2)在BC上取一点G使BG=BD,构造ZXMGmBFD(SAS),再证明、FEC耳FGC(4S4),即可得BC=BD+CE,

由此求出答案；

(3)延长BA到P,使AP二FC,构造△加C邕C4P(SAS),得PC=BC,NP=NBCF=上NACB,再由三角形

2

内角和可求Z/WC=40。，Z4C£?=80°,进而可得ZAE8=180。-(乙48E+ZA)=100。.

【详解】解：(1)BE、C。分别是/A5c与NAC8的伟平分线，

/.ZFSC+ZFCfi=-(180o-ZA)=90°--Z4,

22

/.ZRFC=18O0-(ZF/?C+NFCR)=180°-(90。--Z4),/./RFC=90。;4N4,

22

(2)如解(2)图，在BC上取一点G使BG=BD,由(1)得/8/。=90。+1乙4,

2

A

N/MC=60°,/,ZBFC=120°,EZI3FD=ZEFC=180°-ZBFC=60°,

BF=BF

在LBFG与ABFD中,NFBG=NFBD,9△BFGvBFD(SAS)⑦/BFD=NBFG,

\BD=BG

Q"BFD=ZBFG=6O。，自NCfG=120。-N8FG=60。,0ZCFG=ZCFE=60°

NCFE=NCFG

在&FEC与AFGC中,\CF=CF,:..FEC=tFGC(ASA),.-.CE=CG,

4ECF=/GCF

BC=BG+CG,;.BC=BD+CE；0BD=4,BC=6.5,0CE=2.5

(3)如解(3)图，延长BA到P,使AP=FC,

Z/MC=60°,0ZE4C=180°-ZR4C=120°,

BF=AC

在△8FC与・.6夕中，NBFC=/C4P=120°,0ABFC=u.C4P(SAS)

CF=PA

回NP=/8b,BC=PC,0ZP=ZABC,

支NP=NBCF=；AACB,0Z4CB=2ZABC,

又RZAC8+ZA8C+ZA=180。，03ZABC+6O°=180°,3ZABC=40°,ZACB=80°,

团NABE=-ZABC=20°,NAEB=180°-(ZABE+ZA)=I8O°-(2O°+60°)=100°

2

【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三

角形是解答此题的关键.

例2.(2023•江苏•八年级假期作业)如图，在财中，AB=AC,财〃。=40。，8。是的平分线，延长

BD至E,使。上=月。，求证：团上CA=4(T.

【答案】见解析

［分析］在BC上截取BF=AB,连DF,根据SAS可证明蜘800团尸8D,得出。/=D4=OE,证明即。理团。。凡

故历ECA=G10C8=40°.

【详解】证明：在8c上截取连。R

团BO是的平分线，豳480=团尸80,

AB=FB

在M3。和团尸3。中，＜/ABD=/FBD、

BD=BD

^ABDf^FBD(SAS),^DF=DA=DE,

又(i(MC4=(MBC=40°,0DFC=18O°-a4=80°,^FDC=6Q°,

^EDC=^ADB=13Q0-财4。-0A=180°-20°-100°=60°,

DF=DE

在&QCE和团。CQ中，,NFDC=NEDC,^DCEXDCFCSAS),^ECA=WCB=4Q°.

DC=DC

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

例3.(2022•北京九年级专题练习)在四边形A8DE中，C是边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分N84E,ZACE=90°,则线段A£、AB、OE的长度满足的数量关系为；

（直接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分N/ME,EC平分ZAED,若NACE=I2O。，则线段A3、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

【答案】（1）AE=AB+DE；（2）AE=AB+DE+BD,证明见解析.

【分析】（1）在AE上取一点F,使AF=AB,由三角形全等的判定可证得ZJXCBgAACF,根据全等三角形的

性质可得BC=FC,ZACB=ZACF,根据三角形全等的判定证得ACEF0aCED,得到EF=ED,再由线段的和

差可以得出结论：（2）在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG,根据

全等三角形的判定证得△ACB/AACFfllAECD^AECG,由全等三角形的性质证得CF=CG,进而证得dCFG

是等边三角形，就有FG=CG=^BD,从而可证得结论.

【详解】解：（1）如图（1）,在AE上取一点F,使AF=AB.〈AC平分NBAE,AZBAC=ZFAC.

图⑴图⑵

AB=AF

在Z1ACB和^ACF中，^ZBAC=ZMC.-.AACB^AACF(SAS).；.BC=FC,ZACB=ZACF.

AC=AC

TC是BD边的中点，ABC=CD./.CF=CD.

VZACE=90°,.\ZACB4-ZDCE=90o,ZACF+ZECF=90°.AZECF=ZECD.

CF=CD

在ACEF和aCED中，ZECF=ZECDACEF^ACED(SAS)..\EF=ED.

CE=CE

VAE=AF+EF,・・.AE=AB+DE.故答案为：AE=AB+DE：

（2）AE=AB+DE4-^BD.

证明:如图（2）,在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.

TC是BD边的中点，・・・CB=CD=gBD.〈AC平分NBAE,AZBAC=ZFAC.

AB=AF

在AACB和^ACF中，ZBAC=ZFAC：.△ACB^△ACF（SAS）.ACF=CB,ZBCA=ZFCA.

AC=AC

同理可证：△ECDg^ECG，CD=CG,ZDCE=ZGCE.VCB=CD,ACG=CF.

VZACE=120°,.•・NBCA+/DCE=180°-12（T=60°.AZFCA+ZGCE=60°.AZFCG=60°.

•••△FGC是等边三角形..\FG=FC=-jBD.VAE=AF+EG+FG,AE=AB+DE+BD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问

题的关键.

例4.（2023•浙江•九年级期中）⑴如图1,在ELABC中，财C8=2昉，0C=9O°,AO为团84c的平分线交

BC于D,求证：A8=AC+CO.（提示：在AB上截取4E=AC,连接。E）

（2）如图2,当团090°时，其他条件不变，线段AB、AC.CO又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需

要证明.（3）如图3,当［MCBW900,（MC8=213B,A。为的外角（3CA/的平分线，交8c的延长线于点

D,则线段AB,AC.C。乂有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明.

【答案】（1）见解析；（2）AB=AC+CD；（3）AB=CD-AC

【分析】（1）在AB上截取AE=AC,连接DE,根据角平分线的定义得到团1=团2.推出AACD盟AED（SAS）.根

据全等三角形的性质得到0AED=0C=9O,CD=ED,根据已知条件得到用B=45。.求得团EDBWB=45。.得到DE=BE,

等量代换得到CD=BE.即可得到结论;（2）在AC取一点E使AB=AE,连接DE,易证4ABD豳AED,所以团B=（3AED,

BD=DE,又因为朋=2耻，所以团AED=2回C,因为团AED是AEDC的外角，所以团EDCWC,所以ED=EC,BD=EC,

进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E,使得AE=AC,连接DE.证明AACDHSAED,

根据全等三角形的性质得到DE=BE,BE=CD,即可得出结论.

【详解】（1）证明：在A8上取一点E,使A£=AC

0A£>'hWAC的平分线配1B4OWC4D

AE=AC

在“CO和中(/HAD=/CAD函4cLOME。(SAS).瓯4E£TC=90°,CD=ED,

AD=AD

又总财CB=2回B,0C=9O%豳B=45°.03£7%=姐=45°.⑦DE=BE,^CD=BE.

^AB=AE+BE,财氏AC+CO.

(2)证明：在AB取一点E使AC二AE,

AC=AE

在AACD和^AED中，ZBAD=ZEAD,00ACD00AED,E0C=EAED.CD=DE,

AD=AD

XQ0C=20B,00AED=20B,

如AED是aEDC的外角，00EDB=0B,0ED=EB,0CD=EB,0AB=AC+CD；

(3)猜想：AB=CD-AC证明：在84的延长线上取一点E,使得AE=AC,连接DE,

AC=AE

在AAC。和△AEO中（NC4O=NE4。，^CIJ^AED（SAS）,

AD=AD

00ACD=（3AED,CD=DE,侬CB司FED,

又E0ACB=2回4WFED=2^,

X（?0FED=afi+0ED£?,题£。5=团4,^DE=BE,⑦BE=CD,

BAB=BE-AE^AB=CD-AC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关了线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.

课后专项训练

1.：2022•江苏常州•一模）如图，已知四边形A5CZ）的对角互补，且N84C=NDAC,AB=\5,AD=12.过

AF

顶点C作CE_LA8于E,则▼的值为（）

BE

A.V73B.9C.6D.7.2

【答案】B

A尸

【分析】要求▼值，主要求出和8E的长即可，注意到AC是角平分线，于是作。凡初。交AO的延长

线于点F,可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和8£的长，从而解决问题.

【详解】解：作。曲。交AO的延长线于点P,贝।血CPQ=90。，

0C£0AB,00CEB=9O°,00CFD=0CEB=9O0,

WAC=^DAC,西。平分团ZMD,0CE=CF,

团四边形ABCD对角互补，西A3C+a4QC=180°,

又R团CQP+(L4OC=18(r,^CBE=^CDF,

在区CBE和团CO/中，

”CEB?CFD

\'1CBE?CDF,^CBE^CDFCAAS),勖氏DF,

\CE=CF

在酎石C和a4尸C中，

i?AEC?AFC

UEAC?FAC,00AECm4FC(AAS),(MEMF,

\AC=AC

设BE=a,MDF=a,^AB=1S,AD=12,012+2t/=15,得〃=L5,

Ap\35

ME=12+a=l3.5,BE=a=1.5.0--=-^—=9,故选B.

BE1.5

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进

而得出等量关系.

2.(2021•四川成都•二模)已知，如图，BC=DC,0B+0D=18O°.连接AC,在AB,AC,AD上分别取点E,P,

F,连接PE,PF.若AE=4,AF=6,MPE的面积为4,则回APF的面积是()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

［分析】作PG_LA8于点G,丹_LAO于点J,延长A。，取。”=AB,连接，先证明二ABC=.HDC(SAS),

由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到NB4C=N/7,AC=a7,结合等边对等角得到NH4C=NC4。，

再由角平分线的性质证得PG=PJ,最后根据三角形面积公式解题即可.

【详解】解：如图，作PG_LA8于点G,H_LAO于点J,延长A。，取£>H=A8，连接

Z.B+ZADC=180°,ZADC+ZCDH=180°NB=NCDH

BC=CD

NB=4CDH:.2.ABC=,.HDC(SAS):.NBAC=NH,AC=CH

AB=BH

...ACAD=NHABAC=Z.CAD:.PG=PJ

・•5=gAE•PG=4,\PG=2:.PJ=2

••・5”F=JAF/V=；X6X2=6故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一

般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.

3.12023春•辽宁丹东•八年级统考期末）如图，AC平分//MB,CEJ.AB,BC=DC,A8=17,AO=9,

则A£的长为（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】A

（分析］过点C作b_LAO,交AO的延长线于点F,由HL可证明RtDFC^RtBEC和RtAFC^RtAEC,

从而得到比：二O/和4尸=AE,利用AB+AD=AE+BE+AF-DF=2AE即可得到答案.

【详解】解：过点。作bJ_A。，交人力的延长线于点产，

人。平分ND44,CEJ.AB于点E,C/14。于点尸，

:.CF=CE,NDFC=NBEC=W,

CE=CF

在RtZXOFC和■△BEC中，n,/RtDFC^RtBEC(HL),:.BE=DF,

CE=CF

在RS4/。和RdAEC中，,:.RtAFC^Rt4EC(HL),,\AF=AE.

A。=AC

48=17,AD=9,：.AB+AD=AE+BE+AF-DF=2AE=17+9=26»AE=\3.故选：A.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答.

4.(2023春・广东深圳•八年级校考期中)如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且NMPN与

//10B互补，若NMQV在绕点P旋转的过程中，其两边分别与。4、04相交于M、N两点，则以下结论:

①PM=/W恒成立；②0M+0N的值不变；③四边形PM0N的面积不变；其中正确的个数为()

A

B

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】作庄_LO4「笈，PFLOBJ根据0尸平分NAO8可知庄：=尸尸，结合OP=OP即可证明

4PoEMPOF.根据图中各角的数炭关系可得=NPEM=NPFN,进而还可证明

.PEM&PFN；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误.根据全等三角形的性

质得到SpEM=SPNF，据此可得S曾边形PM(M=%边形PE。/=定值,还可判断③的正误;

【详解】解：如图，作尸E_L04于E,PF1OB于F.

©NPEO=NPFO=90。,田NEP"NAOB=180°,

团/M/W+NAO8=180。，©NEPF=NMPN,MEPM=NFPN,

团OP平分NAOB,PE工OA于E-PhOB于F,田PE=PF.

在-QOE和-DO厂中庄=P尸，OP=OP,住RtPOE^RtPOF（HL）,殖OE=OF.

在和PFN中”MPE—RNPF,PE—PF,NPEM—RPFN,

团,.PEM-P/W（ASA）,©EM=NF,PM=PN,SP^=SPN,,故①正确.

团S四边形「Mo#=S四边形PE。/=定值,故③lk确.

回aVZ+ON=OE+ME+O"—N产=2OE=定值，故②正确.故选：A.

【点睛】本题侧重考查角平分线的题目，需要掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添

加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

5.（2022秋•辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，在A8C中，-48C和/AC8的平分线相交于点O,过。点

作直线EF交人〃于点E,交AC于点尸，过点。作OO_LAC于。，有下列四个结论：①N8OC=2NA；

②//3。。=90。+；乙4；③点。到..ABC各边的距离相等；④设OD=/〃，AE+AF=n,则5.=]?〃，

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得/80。=90。+：乙4,可判断①和②；过点。作

ON工BC于点、N,过点。作八8于点M,连接04,根据角平分线的性质可知OM=QV=O。，可判

断③；将△△所的面积转化成AAOE的面积与二49尸的面积之和，可判断④.

【详解】解：在/8C中，，团NA+N4BC+NAC8=180°,0Z4BC+ZAC^=180°-ZA,

团/ABC和NAC3的平分线相交7点。，^^OBC=-ZABC,NOCB=1/ACB,

22

^ZOBC+ZOCB=-ZA8C+-ZACB=-（ZABC+ZACB）=90°--ZA,

2222

0^BOC=180°-（ZOBC+ZOCB）=180°-^90°-^^=90°+,团结论①不正确，结论②正确；

过点。作ON_LBC于点N,过点。作OM_LA8于点M,连接。4,

图。8平分/A8C,。。。。平分/4。8,^OM=ON,

又ROZ）JLAC,^OD=ON,00M=ON=OD,团结论③正确，

^S^=^AEOM,S^.=^AFOD^S^EF=S^OE+S^.=^AEOM+^AFOD=^OD（AE+AF）f

设0£>=〃?，AE+AF=n,AEr=^mn,团结论④正确，团正确的结论有：②③④，故选：C.

【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握用平分线的性质并且灵活运用是解题关键.

6.（2023秋•广东广州•八年级统考期末）如图，在四边形A8CO中，ZA=90°,AD=3,BC=5,对角线4。

平分/ABC,则△BCD的面积为（）.

A.7.5B.12C.8D.6

【答案】A

【分析】过点。作。EJ_AC,交.BC卜点E,利用角平分线的性质，得到八4=OE,利用5砂=；8cgE,

进行计算即可.

【详解】解：过点。作OE_L8C.交BC于点E,

团ZA=900,BDA1AB,（380平分/ABC,^DA=DE=3,

团Sam=[BC・OE=!x5x3=7.5：故选A.

（“fJ

【点睛】本题考查角平分线的性质.熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键.

7.（2023秋•浙江台州•八年级统考期末）如图，射线OC为NA08的平分线，点M,N分别是边04,08上

的两个定点，且OM<ON,点P在OC上，满足PM=PN的点P的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【答案】B

【分析】过点P作尸。_LO4,PELOB,根据角平分线的性质及全等三角形的判定即可得出结果.

【详解】解：过点尸作叨_LO4,PELOB,如图所示：

团射线OC为NAO8的平分线，团PE=PD,

当DM=EN时，一PDMWPEN（HL）此时PM=PN

回满足条件的点P只有1个，故选：B.

【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质是解题关键.

8.（2023秋•山东潍坊•八年级校考期末）如图，点E是BC的中点，AB1BC,DCA.BC,AE平分NBAD,

下列结论中不成立的是（）

A.ZAED=90°B.ZADE=Z.CDEC.AD=AB+CDD.DE=BE

【答案】D

【分析】过E作瓦'JLAOFR证明Rt.AEr丝RtAEB,得到ABsARZAEF二ZAEB,判断D；证得

RlEFD^RIBECD,判断B；进而判断C；根据全等三角形的性质得到2(NAE尸+NFE£>)=180。，求出

Z4ED=90°,即可判断A.

【详解】过£作铲工人。于尸，如图，

^ABIBC,AE平分/R4O,由EF=BE,ZAFE=^B=90P,

：.Rt^AEF^RtAEB,AI3=AF,ZAEF=ZAEB；

回点£是8c的中点，⑦EC=EF=BE,故D错误；

0ZDFE=ZC=90°,/.RtEFD^RtECD,

:.DC=DF,/FDE=/CDE,故B正确；^AD=AF+FD=AB+CD,故C正确；

0RtAEB,©ZAEB=ZAEF，0RtEFD^RtECD,⑦NFED=/CED,

回ZAEB+ZAEF+Z.FED+ZCED=180°,22(ZAEF+/FED)=180°,

(?1x64EF+ZFE£>=90°,即NA瓦)=90。，故A正确；故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形全等的判

定与性质.

9.（2023・福建•福州立志中学一模）如图,0ABC中,团48c=45。，CZM4B于点£>,BE平分财BC,且8E3AC

于点8,交CD于点F,"是8c边的中点，连接。“交8E于点G,现给出以下结论:①②AE=CE：

③回。G广为等腰三角形；@S^ADGE=S^GHCE.其中正确的有（写出所有正确结论序号》.

D,

E

【答案】①②③

【分析】证明(MCQSia尸BD(AAS),由全等三角形的性质得出4C=BR则①正确