2023年湖南省双峰高考数学二模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知斜率为2的直线，过抛物线C：），'=2pH〃>0）的焦点F,且与抛物线交于A,B两点，若线段AB的中点

M的纵坐标为1,贝ljp=（）

A.1B.V2C.2D.4

2.已知函数/二、—，则函数y=的图象大致为（）

ln（x+l）-x

3.已知四棱锥P—ABC。中，抬1,平面43。。，底面43co是边长为2的正方形，PA=6E为PC的中点,

则异面直线BE与尸。所成角的余弦值为（）

A屈R而「厉n厉

A.-------C.----D.---

393955

4.已知直线l:x+m2y=0与直线n:x+y+m=0则“〃/〃”是“m=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知双曲线C:£-1=l（a＞0力＞0）的一条渐近线的倾斜角为6,且cos。=且，则该双曲线的离心率为（）

b-5

A.石B.文C.2D.4

2

6.已知工与）'之间的一组数据：

Xi234

yin3.24.87.5

若关于x的线性回归方程为y=2.Lr—0.25,则〃?的值为（）

A.1.5B.2.5C.3.5D.4.5

7.已知抛物线C：y=的焦点为产，准线为/,。是/上一点，直线与抛物线交于A,8两点，若西=2/，

4

则|人即为（）

40-16

A.—B.40C.16D.—

93

8.过双曲线,-营=1（4＞0/〉0）的左焦点作倾斜角为30°的直线/,若/与y轴的交点坐标为（0功），则该双曲

线的标准方程可能为（）

9.设而，行均为非零的平面向量，则“存在负数4,使得沅=之””是“沅・万＜0”的

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

10.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S”，若%=1,且公比为2,则S“与%的关系正确的是（）

A.S“=4a”-1B.Slt=2an+1

C.S“=2〃「lD.S〃=4q「3

2

11.已知y=/（幻是定义在R上的奇函数，且当五＞0时，/（X）=X4---3.若XWO,则/（x）W0的解集是（）

A.[-2,-1]B.(-o)-2]u[-l,0]

C.y,-2]3T,0)D.y,-2)5—l,0]

2〃+1

12.已知数列｛〃〃｝的通项公式是q=/sin式,则4+生+。3+・一+42)

~2~

A.0B.55C.66D.78

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.执行右边的程序框图，输出的丁的值为.

14.已知关于x的不等式（or-42-4）（x-4）>0的解集为A,且4中共含有〃个整数，则当〃最小时实数〃的值

为.

15.己知函数/"）=ae'+/-8x的图象在（0,7（0））处的切线斜率为-4,则。=.

16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c.若cos6+百sin8—2=0;且〃=1,则△ABC周长的

范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在三棱柱ABC-AAG中，AC=8C=1,A8=8,60=1，4。_1平面45c

B

（1）证明：平面AACG，平面BCC£

（2）求二面角4一片4-。的余弦值.

22万

18.（12分）已知椭圆C:=+与=1（。>力>0）的离心率为注，且过点（1,

crb~2

（I）求椭圆。的方程;

（II）设。是椭圆C上且不在工轴上的一个动点，。为坐标原点，过右焦点尸作的平行线交椭圆于M、N两个

|MN|

不同的点，求的值.

19.（12分）在平面直角坐标系X。），中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线。的极坐

g

x=-2+

2

标方程为夕siMe=2。cos0（a>0）,过点。（一2,-4）的直线/的参数方程为,「（为参数），直线/与曲

y=-44

2

线C交于M、N两点。

（1）写出直线，的普通方程和曲线C的直角坐标方程:

（2）若『加|,|加％|,|2'|成等比数列，求。的值。

,2

20.（12分）已知椭圆。：1+工=15>〃>0）的离心率为;是椭圆C的一个焦点，点例（0,2）,直线板的斜

a2b2

率为1・

（1）求椭圆C的方程;

（1）若过点M的直线/与椭圆。交于A3两点，线段A8的中点为N,是否存在直线/使得|AB|二2|MN|?若存

在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

21.（12分）已知/（力=.心底与），=〃有两个不同的交点A,B,其横坐标分别为％W（玉<々）.

（1）求实数。的取值范围;

..、十、Ti3Q+2+c3

⑵求证：ae+}<x2-X1<--------------

22.（10分）已知函数/（x）=（x+D（，—l）.

（I）求/⑸在点（一1,/（一1））处的切线方程;

（II）已知/（©之奴在R上恒成立，求。的值.

eb

（DI）若方程/"）=〃有两个实数根.9，且内<%，证明：x-x,<b+\+

2e—\

参考答案

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

设直线/的方程为x=J」+§，与抛物线联立利用韦达定理可得P.

【详解】

由已知得尸(与，0),设直线/的方程为+并与y2=2px联立得)，2・p)，・p2=o,

设A(X1,J1),B(X2,J2),A3的中点C(xo,yo),

••yi+yi=pf

又线段AB的中点M的纵坐标为1,则(JI+JZ)=§=1,所以p=2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题.

2.A

【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.

【详解】

o(1)-2coc

设g(x)=f(x—l)=i-2由于[,]>0,排除“选项：由于以。)二£3，8(。2)二三上，所

lnx-x+17ln-+-2-e'/3-e"

22

以g(e)>g(e2),排除C选项；由于当时，g(x)>0,排除。选项.故A选项正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了函数图像的性质，属于中档题.

3.B

【解析】

BEPD

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos{8E,PD/二MM即可得解.

【详解】

•••%J_平面48c。，底面A3CD是边长为2的正方形,

如图建立空间直角坐标系，由题意:

A((),(),0),3(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,V5),0(0,2,0),

•・•七为PC的中点，，E1,1,

/.BE=-hhy,加二(0,2,一旦

__2__V13

…田呀帮一4一F'

---J

2

异面直线BE与PD所成角的余弦值为|cos(^E,而，即为平.

【点睛】

本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.

4.B

【解析】

利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.

【详解】

若///〃，则lxl=〃/xl，故〃7=1或〃7=-1,

当"7=1时，直线/：x+），=0,直线〃：x+y+l=O,此时两条直线平行；

当〃2=-1时，直线/：x+y=O,直线3x+y-l=o,此时两条直线平行.

所以当〃/〃时,推不出〃?=1,故“〃/〃”是“加=1”的不充分条件,

当机=1时，可以推出〃/〃，故“〃/〃”是“〃2=1”的必要条件，

故选：B.

【点睛】

本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推

出关系，本题属于中档题.

5.A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的关系，求出双曲线的离心率.

【详解】

解:设双曲线的半个焦距为c,由题意ero,乃）

又cosO=t，则sin6=竽，tan9=2,1=2,所以离心率-=£=J1+（2j=逐,

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

6.D

【解析】

利用表格中的数据，可求解得到输=2.5,代入回归方程，可得］=5,再结合表格数据，即得解.

【详解】

利用表格中数据，可得7=2.5,

又y=2.lx-0.25,.*.y=5t

m+3.2+4.8+7.5=20.

解得m=4.5

故选：D

【点睛】

本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

7.D

【解析】

如图所示，过A3分别作AC_L/于C,BDJJ于D,利用AAPC〜ABPD和"尸例〜,联立方程组计算得

到答案.

【详解】

如图所示：过A3分别作AC_L/于C,BDJJ于D.

24

西=2前,则|HC|=Q|FM|=Q,

J—J

4

ADAr

aAP

根据AAPC〜ABPQ得到：一=—，即一4-=焉

BPBDAP+-+BD

3

4

AP+-

AFFM，即一―一Fo

根据AFPM〜MPQ得到：一=——

BPBDAP+-+BDBD

3

Q

3。=4,故忸曰=|4。|+忸。|二g.

解得4。二二,

3

本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8.A

【解析】

直线/的方程为y=X3(x+c),令x=0,得y=X3c,得到a,力的关系，结合选项求解即可

.3I,“3

【详解】

222222

直线/的方程为y=B（x+c），令x=0,得）,=gc.因为事c=〃，^&.a=c-b=3b-b=2bt只有选

项A满足条件.

故选：A

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.

9.B

【解析】

根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.

【详解】

因为所，”均为非零的平面向量，存在负数2，使得沅=4为，

所以向量历，方共线且方向相反，

所以玩FcO,即充分性成立；

反之，当向量比，历的夹角为钝角时，满足沆书＜0,但此时所，万不共线且反向，所以必要性不成立.

所以“存在负数2,使得讥=”是“市，“v0”的充分不必要条件.

故选B.

【点睛】

判断P是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件P能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件P，定义法

是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.

10.C

【解析】

在等比数列中，由等="二4,q即可表示之间的关系.

i-q

【详解】

a—a•ci1—2cl

由题可知，等比数列｛%｝中4=1,且公比为2,故S〃=」"J-T=

\一qI7—2

故选：C

【点睛】

本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.

11.B

【解析】

利用函数奇偶性可求得了（X）在x<0时的解析式和/（（））,进而构造出不等式求得结果.

【详解】

•••/（X）为定义在R上的奇函数，

2

当x<0时，-x>0,「./(—x)=—x-----3,

X

/2

v/(x)为奇函数，/'(X)=-/(-x)=x+-+3(x<0),

x<0

由《2八得：xW—2或一lWx<0；

XH---F3W0

X

综上所述：若xK（）,则/（同《0的解集为

故选：B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在x=0处有意义

时，/（0）=。的情况.

12.D

【解析】

2n+\}

先分〃为奇数和偶数两种情况计算出sin--------兀的值，可进一步得到数列｛4｝的通项公式，然后代入

2)

4+%+…+生转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

2〃+17171.34

解：由题意得,当〃为奇数时，sin--------冗=sin=sin4+—=sin——=

22)2)2

2/7+1兀

当〃为偶数时,sin-------71=sinn7T-\——=sin—=I

22)2

所以当〃为奇数时，；当〃为偶数时，

an=-n-

所以+。2+。3+…+412

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(24-l)(2-l)+(4+3)(4-3)+---4-(12+11)(12-11)

=l+2+3+4+…+11+12

12x(1+12)

~2~

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.U

6

【解析】

初始条件〃=1,7=1,〃<3成立方；

运行第一次：7=1+［必=1+《==<3成立；

i22

运行第二次：T==+==3,〃<3不成立；

2236

输出7’的值：?.结束

6

所以答案应填：

6

考点：1、程序框图；2、定积分.

14.-1

【解析】

44I7~ZX

讨论。<0,。=0M>0三种情况，时,根据均值不等式得到。十一=一(-Q--)<-1(-67)--=-4,计算

aay\aJ

等号成立的条件得到答案.

【详解】

已知关于x的不等式(ax-a1-4)(x-4)>0,

44

①〃V0时，［x-(a+—)］(x-4)<0,其中a+-VO,

4

故解集为(〃+一,4),

a

4

当且仅当一。二一一，即。=・1时取等号，

a

44

・・・。+—的最大值为-4,当且仅当。+—=-4时，A中共含有最少个整数，此时实数。的值为-1；

aa

②〃=0时，-4(x-4)>0,解集为(・00,4),整数解有无穷多，故。=0不符合条件；

44

③。>0时，[x-(a+—)](x-4)>0,其中。+—24,

aa

4

，故解集为(-知4)U(a+—,+oc),整数解有无穷多，故。>0不符合条件：

a

综上所述，a=-1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

15.4

【解析】

先对函数f(x)求导，再根据图象在(0,f(0))处切线的斜率为-4,得F(0)=-4,由此可求a的值.

【详解】

由函数/(x)=a"+x'-8x得尸+2x-8,。・•函数f(x)的图象在(0,f(0))处切线的斜率为-4,

.,./,(0)=«-8=-4,.\a=4.

故答案为4

【点睛】

本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题.

16.(2,3]

【解析】

先求8角，再用余弦定理找到边。、C的关系，再用基本不等式求。十C■的范围即可.

【详解】

解：cosB+>/3sinB-2=0

2sin^4-^=2,sin^+^=1,^=y

b2=a1c2-2accos—

3

I2=a2^-c2-2accos—

3

(a+c)2-i=3讹03.("；。)

1<6/+C<2

所以三角形周长a+c+力w(2,3]

故答案为:(2,3]

【点睛】

考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)立

3

【解析】

(1)证明4C_L平面BCGq即平面AACG，平面BCC#得证；(2)分别以C4,Cd8c所在直线为X轴，J,轴.

轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz,再利用向量方法求二面角A-8姿一。的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为与。1平面A5G所以4CJ_AC

因为AC=8C=1,A8=友.所以AC?+BC?=A3?.即AC1BC

又8C门局。=C.所以ACJ_平面BCC^T

因为4Cu平面AACC-所以平面44cq，平面8CCM

G

(2)解：由题可得4C,CAC8两两垂直，所以分别以所在直线为X轴，y轴.轴，建立如图所示的空间

直角坐标系Gx”，则41,0,0),Q0,0,0),8(0,1,0),男(0,0,1),所以8旦=(0,-1,1),A3=(—1,1,0)

设平面ABq的一个法向量为m=)，,z),

一y+z=0

由6Bq=0,〃zAB=0.得

-x+y=0

令x=l,~(1,1,1)

又C4_L平面CBB1,所以平面CRB1的一个法向量为CX=(1,0,0).

8s而丽=9=亭

所以二面角A-B.B-C的余弦值为由.

3

【点睛】

本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18.(I)—+^-=1(II)1

42

【解析】

—,-4+A=i＞解方程组，即可得到本题答案;

(I)由题，得u

2a~2b2

x=my

(II)设直线。。：工二冲，则直线MN:x=m)，+&,联立，x2y2।，得

—+—=1

42

,由此即可得到本题答案.

2

（I）由题可得0=叵,即。2=1/,b=-a

222

13I3

将点1,代入方程得r+3T=1，即3+二=1,解得/=4,

a~2b~a~a~

r22

所以椭圆。的方程为：—+^v-=1；

42

（口）由（I）知，F（＞/2,0）

设直线0。/二冲，则直线MV:x=my+五，

x=my

4"4

联立《x2y2「整理得城

---F--=1m~+2m~+2

42

所以黑+号=*

x=tny+>/2

,整理得+2卜2+2血〃7丁一2二0,

联立1U=1

42

设时（内方）”（七,％），则,+为=-^^，,月=一^^，

m~+2m+2

、28W+4

所以|MN|-J]+切2,（7+%）2-Jyg-J1+〃/）"+——-=—i—―

in~+2m~+2

4in2+4

所以3=五豆

所以|OQ|2W+41

m2+2

【点睛】

本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.

19.（1），的普通方程y=x-2；C的直角坐标方程），=2or；（2）a=\.

【解析】

(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数/即可得到直线

/的直角坐标方程；

(2)将直线/的参数方程，代入曲线。的方程，利用参数的几何意义即可得出|PM|・|PN|,从而建立关于。的方程,

求解即可.

【详解】

V2

x=-2o+^t

(1)由直线，的参数方程消去参数f得，

/应，

y=-4+—t

),=-4+x+2,即y=x-2为/的普通方程

2

由psin^=2acos91两边乘以P得p?sin?。=2apeos。

2or为c的直角坐标方程.

x=-2+—t

(2)将・代入抛物线)，2=2ox得/一2五(〃+4)z+32+8〃=0

产-4+也，

[2

△=(20(“+4))2-4(32+8”)〉0

f,+r2=2V2(«+4)>0

，也=32+8。>0

">0,f2>0

由己知IPM1,1MN|,|尸N|成等比数列，

即，一/=闻•12I，&+幻2-4牡=格，&=5格，

(2右(〃+4))2=5(32+8a)整理得+3a-4=0

a=-4(舍去)或a=1.

【点睛】

熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线/的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键.

20.(1)—+^-=1(1)不存在，理由见解析

43

【解析】

(1)利用离心率和过点M(0.2),列出等式，即得解

(1)设1的方程为)'="+2,与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示|AB|二2|MV|,利用

韦达关系代入，得到关于人的等式，即可得解.

【详解】

:2解得]〃=2,

(1)由题意，可得J

[c=l,

-=2,

c

贝1」/二。2一。2=3,

22

故椭圆C的方程为三+上=1.

43

(1)当直线/的斜率不存在时,

|AB\=2A/3,|MN|=2,|AB罔MN\,不符合题意.

当/的斜率存在时,

设/的方程为y二右十2,

5+3=1'得(3+4公)/+16丘+4=0,

联立，

y=kx+2,

设A(x，y)B(x2,y2)t

16k4

则玉+工=

23+4/'"「"3+4/

△=(16k)2-16(3+4k2)=192k2-48>0,即公，

4

x+x_3k

设'(/，%)，则毛二]2

23+软

•••|AB|二2|MN|,

+4归-X,|=211+k1—0|>

典J十工2广—4%工2=2,0卜

|16%I442/一3

即Hn|w|="i7^，

3

整理得严=--，此方程无解，故/的方程不存在.

4

综上所述，不存在直线/使得|A3|=2|MN|.

【点睛】

本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难

题.

21.(1)(一g°)；(2)见解析

【解析】

(D利用导数研究/(%)=.dar的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；

(2)构造函数g(x)=-x-xlnx,〃(外=」一(x-D-xlnx可证得：一一匚(»

(x-1)>x\nx\XG-,1

e-le-1\\e/)

分析直线=y=」一(x_l)与y=a

e-\

从左到右交点的横坐标，f(x)在x=-3,工=1处的切线即得解.

【详解】

(1)设函数/(x)=xlnx,

/,(x)=l+lnx,

ee

故/(戈)在(0,f单调递减，在百转)单调递增，

丁x.(T时f(x)—>0;/⑴=0;K—>+00时f(x)f+00

11)

（2）①过点（0,0）,一,—的直线为y=-x,

ee

则令gCr)=r-xlnx,xe|0,-|,

g\x)=-2-\nx

=>g(X)max=g(/)，g*)min>min<0,g-

(1

=>-x>x\nxxe0,-

ke

的直线为y='a-1),

②过点(1,0),7

e—\

xe1,1

则/2(x)=---(x-l)-xlnx

e-\ye

h\x)=—-在一J上单调递增

。一1I。）

(1

=>h^x)>h-=°n力（1）＞

③设直线y=