2024届高考仿真卷数学试卷含解析 (一)

2024届遂溪县第一中学高考仿真卷数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合从={0,1},B={0,1,2|,则满足AUC=B的集合C的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

2.已知数列{/}满足q=2,且4,田,田成等比数列•若伍〃}的前〃项和为S”，则S”的最小值为（）

A.-10D.-20

Q=2,W=1,则CD—()

3...ABC中,点。在边A8上，平分ZAC8,若CB=a，CA=b»

2JC.，山D.又，

A.

33335555

4.设集合A={x]-2vxv。},B={0,2,4},若集合A3中有且仅有2个元素，则实数。的取值范围为

A.(0,2)B.(2,4]

C.[4,-K»)D.y,o)

5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍理，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，

无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高

2丈，问：它的体积是多少?”已知I丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔

体的体积为（）

A.10000立方尺B.11000立方尺

C.1200()立方尺D.13000立方尺

6.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根据直方图，这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

频率

组距

0.16

o

o•10

一08

o

-04

O002

・

17.52022.52527.5自习时间/小时

A.56B.60C.140D.120

7.已知集合4={幻/-2/-15>0},B={x|0<x<7},则（，4）U8等于（）

A.[-5,7）B.[-3,7）C.（-3,7）D.（-5,7）

8.在一个数列中，如果都有。/”+必0+2=攵（火为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的

公积.己知数列{%}是等积数列，且％=1,0=2,公积为8,则1I%I…I%020=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

9.已知曲线），=6万+1（。>0且。工1）过定点（攵,〃），若〃?+〃=〃且机则a的最小值为（）.

mn

95

A.-B.9C.5D.-

22

10.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构

成，则该几何体的体积为（）

△ZK

9

A.8+里B.8+也c.4+也D.4+空

3333

11.若（l-2i）z=5i（i是虚数单位），则忖的值为（）

A.3B.5C.J3D.J5

12.已知向量。=(1,2),〃=(44-1),且1_L'，贝"=()

11

A.-B.-C.1D.2

24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若（——2x-3）〃的展开式中所有项的系数之和为256,贝！）〃=,含/项的系数是_____（用数字作答）.

14.已知直线工一），+〃=0与圆心为。的圆/+）,2+2工一4），-4=0相交于4区两点，且4C_LAC,则实数。的值

为.

15.若必二。0+41（彳・2）+。2（42）2+...+“5（六2）5,贝|JG产，a1+。2+...+。5=

16.曲线y=e'（f+2）在点（0,2）处的切线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆C:三+六经过点（J5』），离心率为手.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点/W（4,0）的直线交椭圆于A、6两点，若AM=^MB，在线段A6上取点。，^AD=-ADB»求证：

点。在定直线上.

18.（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出

的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:摄氏度C）

有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为500瓶；如果最高气温低

于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数414362763

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为〃（单位：瓶）时，》的

数学期望的取值范围？

19.（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线/的参数方程

J何

2

为「（/为参数），曲线。的极坐标方程为夕=4cosd；

v=­t

（1）求直线/的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)若直线/与曲线C交点分别为A,B,点P(LO),求高+高的值.

20.(12分)如图所示,三棱柱从8。一44。1中，平面ABC,点。，£分别在线段AR,CG上，且AO=gA41

DE//AC,/是线段4B的中点.

(I)求证：EF〃平面BCQ；

(II)若A8_LAC,AB=ACt=3AB,求直线BC与平面与。£：所成角的正弦值.

21.(12分)已知函数/(x)=xlnx.

(1)若函数g(x)=4-~L求以刈的极值；

XX

(2)证明：f(x)+\<ex-x1,

(参考数据：In2。0.69ln3«1.10，之4.48/、7.39)

22.(10分)已知函数/(工)=/一人尤+〃lnM〃>0，beR).

(1)设》=a+2,若/(x)存在两个极值点引，/，且|西一引>1，求证：|/(X)一/(工2)»3-41112；

(2)设g(%)=4(x),g(x)在［l,e］不单调，且恒成立，求。的取值范围,(e为自然对数的底数).

a

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由A=C=8可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.

【详解】

由ADC♦/可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4种情况，所以选

A项.

【点睛】

考查集合并集运算，属于简单题.

2、D

【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得S.，再利用二次函数的性质，可得当〃=4或5时，S”取到最小值.

【详解】

根据题意，可知{〃“}为等差数列，公差4=2,

由q,〃3M4成等比数列，可得4；

，(。1+4)2=。］(。1+6),解得％=—8.

A=-8n+//(//-1)x2=n2-9n=(n--)2--.

“224

根据单调性，可知当〃=4或5时，S“取到最小值，最小值为-20.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前〃项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考

查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当〃=4或5时同时取到最值.

3、B

【解析】

由。。平分NAC4,根据三角形内角平分线定理可得空=笑，再根据平面向量的加减法运算即得答案.

DACA

【详解】

,C。平分NAC3,根据三角形内角平分线定理可得当=笑，

DACA

又CB=ci>CA=b,a=2,忖=1,

RD

——="BD=2DA.

DA

:.CD=CB+BD=CB+-BA=a+-(b-a}=-a+-b.

33V733

故选：B.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

4、B

【解析】

由题意知{0,2}qA且4£A,结合数轴即可求得。的取值范围.

【详解】

由题意知，A08={0,2},则{0,2}土A,故a>2,

又4任A,则4K4,所以2<。工4,

所以本题答案为B.

【点睛】

本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定4B中的元素是解题的关键，属于基础

题.

5、A

【解析】

由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：

沿上棱两端向底面作垂面，旦使垂面与上棱垂直，

则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，

则三棱柱的体距,二：xEx二x1二6,

四棱锥的体积二：二二

由三视图可知两个四棱锥大小相等，六二=二•二二=,门立方丈=；加0：立方尺.

故选A.

【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键.

6、C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)X2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C

考点；频率分布直方图及其应用.

7、B

【解析】

解不等式确定集合A,然后由补集、并集定义求解.

【详解】

由题意4=-2x-15>0}={x|x<-3^x>5},

/.^A={x|-3<x<5),

@A)UB={X|-3«X<7}.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型.

8、B

【解析】

计算出出的值，推导出4+3=凡(〃£“)，再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列{4}的前2020项

和.

【详解】

8

由题意可知%。向%+2=8,则对任意的〃ENZ%工0，则。|生%=8,••虎=-----=4,

a\a2

由4A+4+2=8，得。”+陷”+2/+3=8，.♦.凡凡+4+2=­，•.•4+3=%，

,.•2020=3x673+1,因此，q+%+…+4020=673(“+%+/)+4=673x7+1=4712.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

9、A

【解析】

41

根据指数型函数所过的定点，确定k=l,b=2,再根据条件相+〃=2,利用基本不等式求一+一的最小值.

mn

【详解】

定点为(1,2),

k=l,b=2,

m+〃=2

41141、1m4”、9

—+-=+—)(zm+〃)=二(5+—+—)...-

tnn2mn2ntn2

tn4〃

当且仅当一二一时等号成立，

nm

429

即〃?=一,〃=一时取得最小值一.

332

故选：A

【点睛】

本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.

10、A

【解析】

由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为2G底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一

个底面半径为2的半个圆锥，体积为v且x42x2j5+Lx」;rx4x2j5=8+^g

34233

故答案为A.

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，

其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几

何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面

的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

11、D

【解析】

直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.

【详解】

(l-2i”=5i(i是虚数单位)

可得胭=|5i|

解得忖二石

本题正确选项：。

【点睛】

本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.

12、A

【解析】

根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得义的值.

【详解】

由于向量a=(l,2),b=(42,-1)>且G_1_〃，所以lx44+2x(-1)=0解得4=

故选：A

【点睛】

本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4108

【解析】

(F一2m一3)”的展开式中所有项的系数之和为256,.•.4"=256,.,.〃二4，

-2/-3)"=(V-2x-3)4=(x-3)4(戈+1),,f项的系数是C：(-3)2+C：x(-3)4+(-3)3xC：=108,

故答案为(1)4,(2)108.

14、0或6

【解析】

计算得到圆心半径〃=3,根据4C_L8c得到d=孚，利用圆心到直线的距离公式解得答案.

【详解】

x2+y2+2^-4y-4=0,即(x+l『+(y—2)2=9,圆心C(T,2),半径/*=3.

AC1BC,故圆心到直线的距离为4=辿，即］=蚱三=辿，故。=6或。=().

2及2

故答案为：。或6.

【点睛】

本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

15、80211

【解析】

由炉=[2+"-2)]5,利用二项式定埋即可得。分别令x=3、x=2后，作差即可得/+%+-+%.

【详解】

由题意9=[2+(1-2)1，则q=C"=80,

令x=3,得％+4+4+…+%=35=243,

令x=2,得旬=2'=32,

故4+/+…+4=243-32=211.

故答案为：80,211.

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.

16、y=2x+2

【解析】

对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.

【详解】

令/(.r)=e，(x2+2),r(x)=e%f+2x+2),所以八0)=2,又/(0)=2,.•.所求切线方程为y-2=2x,即

y=2x+2.

故答案为：y=2x+2.

【点睛】

本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基

础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)—+21=i；(2)见解析.

62

【解析】

(D根据题意得出关于。、b、。的方程组，解出/、〃的值，进而可得出椭圆C的标准方程；

(2)设点A(%，x)、*与,%)、。(%，为)，设直线A3的方程为x="z)，+4,将该直线的方程与椭圆。的方程联

立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点力的坐标表达式，并代入韦达定理，消去4,可得出点。的横坐标，

进而可得出结论.

【详解】

a3

31।解得々2=6,b2=2•

—+-?=!

a~h~

c2=a2-b2

所以椭圆。的方程是土十二二1；

62

⑵设直线A5的方程为工=加＞+4,A(%，x)、B(x2M、力(小，%)，

x=tny+4

由《22,得尸加），+

xv（m2+3））+810=0.

—+—=1

62

A=（8/n）2-40（/n2+3）>0=>m2>5,则有y+%=：：；，

x.-

%=：「

\-A

由得一X=4%，由40=—/1。8,可得

一办

v_X2

>0-1-2

910

1丁N小—〃%+4-4〃2)，2+4)2〃3”_2吵)，2”「*祐+3।”3

°1一％1-/1।,AM+Y-2'

y2nr十3

10

J一"_2y_2y$二=/+3-5

0]一义1,A必+,一8-2m'

y2m~+3

3

综上，点。在定直线工二不上.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

18、(1)见解析；(2)[600,800)

【解析】

(1)X的可能取值为300,500,600,结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；

(2)由题意得300工〃(600,分〃w[500,600],Rne[300,500),分别得到y与n的函数关系式，得到对应的分

布列，分析即得解.

【详解】

(1)由题意：X的可能取值为300,500,600

4+141

P(X=3()())=-----=-

905

P(X=500)=—=-

905

故：六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列为

X300500600

222

P

555

(2)由题意得300600.

1。.当〃4500,600]时，

7H-5??=2/?,t>25℃.

利润y=\500x7+2(/?-5(X))-5n=250()-3/?,te[20,25)

300x7+2x(〃—300)—5〃=1500—3〃，/G[10,20)

此时利润的分布列为

y2n2500—3〃1500-3/?

222

P

55

221

=>£y=2/ix-+(2500-3n)x-+(1500-3/?)x-=1300-n

55

=>E(y)e[700,800].

2.〃£[3(X),500)时,

,_[7〃-5〃=2几/>2()

利润)’=17、300+2、(〃-300)-5〃=1500-3〃，t<20

此时利润的分布列为

y2n1500-3/7

4J

p

5

41

n硝，=2〃x-+(l500-3〃)x-=300+〃

55

[600,800b

综上的数学期望的取值范围是［6(X),8(X)).

【点睛】

本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

19、(I)/"+)」1=0,曲线。：/+、2_4工=0(II)半

【解析】

试题分析：(1)消去参数/可得直线/的直角坐标系方程,由/+),2=22,丫二夕85。可得曲线。的直角坐标方程；

x=』

2,L11_11

(2)将，凡。为参数)代入曲线。的方程得:「万一3=0,网+网飞+/而,利用

韦达定理求解即可.

试题解析:

(1)/:x+y-l=0,曲线。：/+),2-4元=0,

x=\一旦

2

(2)将(/为参数)代入曲线。的方程得:/+"-3=0・

>=旦

>2

所以4+、——\/2,?jZ-)——

1I_11_|r,-t\_7(A+G)2-4r,r_V14

所以22

囱+网=同+旷向=3=亍

20、(I)证明见详解；(II)叵.

5

【解析】

(I)取用。中点为G,根据几何关系，求证四边形尸GC|七为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；

(II)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.

【详解】

(I)取隹。的中点G,连接GG,"G.如下图所示:

因为产，G分别是线段A8和4。的中点，

所以bG是梯形AOB避的中位线，所以FG//AD.

又AD//CC，所以FG//CC1,

因为AD〃CG,DE//AC,

所以四边形AOEC为平行四边形，所以AO=CE.

所以C1£=2CG，FG=AD+BB'=-CC.=C.E.

323

所以四边形/GGE为平行四边形，所以EF//C。.

又所.平面4G。，。。(=平面36。，

所以£/〃平面片CQ.

(H)因为A8_LAC,且平面A8C,

故可以A为原点，A8的方向为i轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

如下图所示：

所以C(0,0,l),5(1,0,0),四(1,3,0),0(010),£(0,1,1).

所以BC=(T，0，l)，4/=(-1,-2,0),D£=(0,0J).

设平面B.DE的法向量为〃=(x,y,z),

n-B.D=0^,x+2y=0,

则1所以i

n-DE-0z=().

可取〃=(2,-1,0).

设直线BC与平面4OE所成的角为0,

则sin。二空印二巫.

V5xV25

故可得直线BC与平面片DE所成的角的正弦值为半.

【点睛】

本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.

21、(1)见解析；(1)见证明

【解析】

(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

(1)问题转化为证e'-x—xlnx-l〉。，根据xlnxWx(x-1),问题转化为只需证明当x>0时，e'・bd+x-1>0恒

成立，令k(x)=ex-lx*+x-l,(x>0),根据函数的单调性证明即可.

【详解】

X~XXx

当X«3,+8),g")<0,「.g(x)在(0")上递增，在(/,+oo)上递减，在x=/取得极大值，极大值

为I,无极大值.

e~

(1)要证f(x)+l<ex-x1.

即证ex-x1-xlnx-1>0,

先证明lnx£t-l,取h(x)=lnx-x+h贝Uh，(x)

X

易知h(x)在(0,1)递增，在(1,+oo)递减，

故h(x)<h(1)=0,即lnxWx-L当且仅当x=l时取"=%

故xlnx<x(x-1),ex-x1-xlnx>ex-lx'+x-1,

故只需证明当x>0时，e"・lx〔+x・l>0恒成立，

令k(x)=ex-lx1+x-1,(x>0),则k*(x)=ex-4x+l,

令F(x)=kr(x),则F，(x)=ex-4,令F，(x)=0,解得：x=llnl,

•・,口(x)递增，故(0,llnl］时，F1(x)<0,F(x)递减，即k(x)递减，

xe(Uni,+oc)时，P(x)>0,F(x)递增，即k(x)递增，

且k'(llnl)=5-81nl<0,k'(0)=l>0,k'(1)=e,-8+l>0,

由零点存在定理，可知(0,llnl),3xiG(llnl,1),使得k，(xi)=kf(xi)=0,

故OVxVxi或x>xi时，kf(x)>0,k(x)递增，当xiVxVxi时，kf(x)<0,k(x)递减，故k(x)的最小值

是k(0)=0或k(xi),由k，(xi)=0,得「2=4xi・L

x2

k(xi)=e2-lx2+xi-l=