2024届一轮复习人教A版 数列专题 作业（六）

人教版2024届高二下学期一轮良习数列专题（六）^<1卜］9|2|

f+l\357

学校:姓名：班级：号生

A.260B.369C,400D.420

一、隼选趣

在数外［％中)

-X7*X>I.XG|O.I)8.|4=1.«..■=a.+"+!«<»..=<

已知定义域为的函数〃刈谪足，（心=。〃）当*（）时.（）

I.AX+2,c|X2/x=tt/u)aA.36B.15C.55D.66

【24-2》。|的制大值为且｛。」的前〃顼和为Z・若，（女对仔总的正法敏”均成立.

二多透短

取丸范区为

9.已知物致列｛4｝；«足，当R为奇数时•，，.・2e“，当R为H数时•。.=口，则下列绪论正面的为（）

A.你TB.将TC.12”）D.[IT

A.2021粘2023均为6（例（q.J（”eN.）中的网

2.在正项等比数列中•若《二1・外二a,+2.S.为其能《顶的和,期（）

B.tt»1!-：..,｝（«€

A.6B.9

C.仅才岑阳个第0A”用a“＞0”成立

C.12D.15

D.记数处]。」的前"项和为S..则S.v?-I恒成立

3.普数列｛3｝及足4=/<».=>-—(/i22」SwN.),则%严()

Z***-1

10.也公It不为1的替比数歹|｛“.）中.K«M.M-nWKsjfitAi＜＞

A--1»JC.1D.25

A.5B.6C.8D,9

4.已知等比数外｛4｝中,台期而是正效,flO..力＞＞或笔始数列,我列〔4）的的”项和为友,则

II.d知表列｛a.｝,a,--,且螭足A4-a.-%,i»wN3M<)

《Sm，-s,》=（）

八19

A・34;百B.，的最大值为1

A.1+72B.1-8C.3+272D.3-2J2

C・D.了+0》向j・7yf^>tG

s.仃这伴一道修目：“JB氏善曙，0屋功信.初日JB五两.今三十日屠龙・向共屠几何？■其意用为：“有一个n+l

姓H的人普于辨肉，秘大肥完的肉是前一天的2倍，第一大年了5两肉•共展了30大，国一共期了多少商12.在效q｛。.｝中,若a.-外,=3•.则好SJW和的比数列”•校2为数列｛q｝的前”项和,则下

肉？•在这个何密中，谈“夫前5天所肥肉的总芮数为（＞

列对“和等比改列”的判新中正确的“《)

A.35B.75C.155D.315

R3吟

A・喂,二一--B・喂产---

6.己知政外SJ为警处数列,II满足多则数则：@J的的"项和为（＞

3皿一|

c5加——D.S尔•—

A.40B.45C.30D.55

7,杈国古代的《洛书》中记裳着世界上最古老的一个幻方:toW.格L23,9填入3x3的方俗内•快三疗.

三、填空用

三刊和甬条财角线上的三个数字之和郴等于15.••殷地.将连罐的正整数L2.3.…・/填入"〃个方格中,依

13.已知数升｛aj的莉”项和为S*.ft0^-0,.,=a..,-a,,a,=2.«,=8.MJS,=_.

制。行,每列和两条对角税上的数字之和而相等，这个正方形叫林。阶幻力记州，23）附幻力的对角税上的数

14.已知也｝是各项均为正处数的数以H4-3.a,-X,对任SUeK.。,“-4讨与%,=；%“”11仅布

字Z和为M・加图三阶豹方的M,I5・班么M的他为（＞

一个成立.划4+Q+…+%的为_______(1)求数列(ajflq通项公式：

15.arttt/(-0/<«41)2/(^"｛€N-)H/(l)=2.»J/(10)=.

Bw<2)记点MIS,).B(4.S.),C(5,S,).求SBC的曲机

16的和为UIJi51a.=22PtelttSHaJm.a.>0.41.=3.SB列｛aj的曲”项的蜜«?为S..01=后

(I)未数舛｛4｝的通项公式；

B.解答18(2)谀瓦二亍g,数列步.｝的的"JR和为人求证।71e(«-l.n).

17.有人玩舞硬币;t跌根的游Xt已知蜕币出废正反而为等可能性事件.横叁上机行袋0站，第I站.第2

站......品IOO第.一枚机f开始在弟。站，机手梅梅一次硬布.机子向前跳动一次，若捣出正面.横向的

第•站(从AJU+I),若施出反面.横向前跣两站(从£列£+2).直到横『跳到箫99拈(肚利大本背)或

跳到第100站(失收集中昔》M.他游戏结束.设帙f次划;BaMH(率为4.

(”求6.P,.「的他:

(2)求证：巴-匕，=-弓(2「心),其中i»cN.20h99(

<3>未％及匕.的值.

18.已知8；的1%)备占项超小于1,q=?.«；.1-X.>-<-«.<»»^N').

^,«!.(«■N>>|

⑵收敛列卬的前，项和为5.•求证：:

(3)id^=7--7,求证，&92V5.

4.14

19.设S“为等刀数”间的前it项和.其中q=L且1％,(MCN)

(1)求出8M的伍.并t；出｛4｝的通项公式1

<2>设。为效91的防"项和，K：对任售的"WN，.超“|p7；-2|£l,尖头数。的取值能W.

30.等差数列｛4｝内0项和为a,HS.=32.S„=22l.

<1>求“，.｝的通H公式%i

<2>数列同访足％,一d”.麻")必=3.求出

的而“顼和Z.

：1"：'："：，>曲前”改和为K.公差dwO..>V16.。,.。：,生成》匕般班

参考答案：

1.B

【分析】根据函数的解析式，求得当xe[0,2）时，/&）的最大值为。，再根据/（x+2）=J/（x）,

44

利用归纳法，得到当入02〃-2,2〃）时，”r）的最大值为〃=3x（，]“’,由等比数列的前n

"414）

项和公式，求得$“，根据S“<上,即可求解，

【详解】由题意，可得当xwOl）时，1«/（幻。；xgl,2）时，/（x）<l,

42

•・・当*00,2）时，/*）的最大值为:；

又由/*+2）=!，"）,・•・当xc[2,4）时，f（x）的最大值为[xg；

444

当xw[4,6）时，/（%）的最大值为:x（i）-,…，

44

所以当xe[2,?—2,2〃）时，/*）的最大值为a”=（x（；）,

*[1-（'）”]”

由等比数列的前项和公式，得

nS“=4__^_=5_5XHY<5

I-33\4/3

4

若工<女对任意的正整数〃成立，则k'g,故选B.

【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用

归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键,

试题有•定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析句题和解答问题的能力.

2.B

【分析】先由4=1，/=%+2求出公比小再利用前八项的和公式求出结果.

【详解】解：设正项等比数列｛“〃｝的公比为c/,则4/>0,

V（11=43=42+2,

q?=q+2=>q=2.

・4=F7=l+/=9，

S31-q

故选：B.

【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题.

3.D

【分析】根据数列递推式求出数列的周期，进而求解数列的项.

|,1,1,1

［详解］由4=q，4=1------，得。2=1--=T,%=1--=2,

2-4%

所以数列｛%｝的周期为3,

所&）13=6*671=6=2

故选：D.

4.C

【分析】根据等差中项列出等式，然后全部替换成为和L消去生,解出9；而所求

-SQ:⑸一S,,）可以转化为^依+%）：（%+%）=d让行求解.

【详解】因为“,；出，2a2成等差数列，

所以有2x（gaJ=q+24,即卬7=4+2卬/,消去外，得「一24-1=0,

解得q=I+&或g=1-&（舍）

所以（So-Ss）：⑸-56）=（40+。9）：（约+%）=/（%+%）：（4+%）=。2

所以q2=（l+同=3+2应

故选：C

5.C

【分析】构造等比数列模型，利用等比数列的前〃项和公式计算可得结果.

【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为％,公比为9,前〃项和为S0,

所以4=5,4=2,

因此前5天所屠肉的总两数为"小一"2）=j55

1-6/1-2

故选：C.

【点睛】本题考查了等比数列模型，考杳了等比数列的前〃项和公式，属户基础题.

6.D

【分析】根据等差数列下标和性质，以及前〃项和性质，即可求解.

【详解】因为数列伍」为等差数列,故生+6+如=】5

等价于6+，+%=3%=15,故可得他=5.

又根据等差数列前〃项和性质S”=14=55.

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列通项公式的性质，以及前〃项和的性质，属基础题.

7.A

【解析】根据幻方对角线上的数成等差数列，利用等差数列的性质和求和公式求解.

【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，

由等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于1+〃2,

由等差数列求和公式得N,-〃"+D

2

所以乂=巡资=260

故选：A

【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列求和，还考杳了逻辑推理和运算求解的能

力，属于基础题.

8.C

【分析】利用递推公式，代入4。=（4。-%）+（%-%）++（%一4）+4计算即可.

【详解】由题意得%•「牝=〃+】，

、/、（1+10）x10

贝=（4（）—出）+（%一绿）+…+（/一q）+%=10+9+4-2+1=---------=55.

故选：C.

9.BD

【分析】分别令4=2021、%=2023,解出〃的值，可判断A选项；利用等差数列的定义

可判断B选项：解不等式〃可判断C选项；利用等比数列的求和公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，分析可知当〃为奇数时，〃“=2〃+1为奇数，

当〃为偶数时，为偶数,

令%=2〃+1=2021可得〃=1010,不合乎题意,

令%=2〃+1=2023可得〃=1011,合乎题意,

所以，2021不是数列｛?”/(〃6⑼)中的项，2023是数列｛"_J(〃eN')中的项，A错；

对于B选项，因为％向一⑸_1=[2(2〃+1)+1]-[2(2〃-1)+1]=4,

所以，数列是公差为4的等差数列，B对；

对于C选项，若々为偶数，由须可得4公>9公，矛盾，

若k为奇数，由须可得4/>64+1,即软2_62-1>0,解得&>之匚叵，

4

所有满足条件上>玉巫的奇数女都合乎题意，

4

所以，有无限个整数k使得，人成立，C错；

对于D选项，...2"为偶数，则1=(2")2=4"，•.・阻=*=4且々=4,

ar4

所以，数列忆.｝是以4为首项，以4为公比的等比数列.

所以，=D对.

“1-433

故选：BD.

10.ACD

【分析】根据等比数列的性质,可得加+〃=6且皿〃eN,分别代入血〃的不同取值,即可

得答案.

【详解】由等比数列的性质可知根+〃=1+5=6,且

月f以利，〃的可自自值为/〃=1,〃=5或，〃=2,〃=4或，〃=3,〃=3或〃，=4,〃=2或〃/=5,

n=\,

则mn=5,或〃〃?=8,或〃?〃=9,所以的值不可能为6.

故选：ACD.

【点睛】本题考查等比数列性质的应用，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.

II.BCD

【分析】根据递推关系式可求得4,4,知A错误；由。用二告7,采用作商法可证得数列

q+1

｛q｝为正项递减数列，由此知B正确：由递推关系式可求得」-一'=，“，采用累加法，结

a“+lan

合6+%+…可推导得C正确；结合c中，采用放缩法得疯>2（而7一册），裂

项相消可求得D正确.

【详解】对于A,当“=1时，〃2维=〃「%，即解得：4=1：

112

当〃=2时，=a2~ai•即-。3，解得：“3=不；

当〃=3时,（〃；=43-。4，即去。4='1一。4，解得：。4=北；

10,19、…、口

：.a4-a1=--1=--,A错误；

对于B，由=a„-a,源得：q+1=djy，

n

又q=l,a；+l>l,.•.4>0,0<^—<1,=e（0,l）,

+1dnQn+1

••・数列｛《｝为正项递减数列，.•.（《）皿=%=1,B正确：

11

对于C,由凡+1=21,1得：---=----=。”+—，,,

4+14向44%q

11111111

q+a,H---Fan=--------1--------H---1-------=-------,

4向勺44Ta264

数列｛《｝为正项递减数列，q=l,，4+a2+…+可口4=〃（当且仅当〃=1时取等号）,

-----=—1工〃，3p—</I+1,67>—!—,C正确；

%44e4“〃+1

对于D,由C知：a>—

nnr

••疯4=嘉>不上；=2（内一〃），

+J%++…+J〃35>I+5/3—5/2+5/4—、行+…+<36->/35）

=2（>/36-l）=2x5=10,D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列递推关系式研究数列的有关性质、数列求和与数列

放缩的知识；本题判断CD选项的关键是能够对于数列的通项进行准确的放缩，从而根据不

等关系，结合数列求和方法来得到结论.

12.AC

【分析】由已知等式得出%+2-然后用累加法求得的)20,判断AB,由并面求和法

$2021=4+(%+)+卜”4+%)+，+(。2020+“2021)求得,^2021判断CD.

【详解】因为凡+“向=3”,所以。e+例.2=3用，两式用减得4+2=2x3”，所以

32020_[

“2020=(“2020—“2018)+(42瞋一“2016)++(4-%)+“2=2*(3-+34++3~"*)+2=-----，故

A正确，B错误.

S/=4+3+/)+(%+4)+•+(42020+。2021)=1+(32+3'++32('2'')=——,故C正

O

确.D错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和.数列求和的常用方法：

设数列｛〃”｝是等差数列，也J是等比数列，

(1)公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

(2)错位相减法：数列口色｝的前〃项和应用错位相减法；

(3)裂项相消法；数列｛」一｝(々为常数，4了。)的前〃项和用裂项相消法；

(4)分组(并项)求和法：数列｛〃4+，/2｝用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间

等特征时可能用并项求和法，如果/中带有(T)”或者出现数列相邻项的和时，可以进行并

项求和；

(5)倒序相加法：满足《”+/_”,=A(A为常数)的数列，需用倒序相加法求和.

13.26

【分析】根据条件可知数列｛《｝为等差数列,先求数列的公差,进而利用求和公式求和即可.

【详解】因为。“+2-所以数列｛%｝为等差数列，设公差为d，则〃=等=3,

4x3

所以$4=4乂2+▼乂3=26.

故答案为26.

【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题.

14.20

【分析】由递推关系分析《“=234,5,6)的取值，求％+生+…+%的最小值.

【详解】由已知qwN.(i=2,3,4,5,6),所以q2l(i=2,3,4,5,6),

若4=10=2,3,4,5,6),,因为%工0,所以4一47工1,故qq=2q=2,

所以4+4“之3,

⑴若％=1，则%=2,

当。4=1时，%=2,若%=1，则％=2,与条件相矛盾，

当4=1时，%=2,若4=2,则%=4,与条件相矛盾，

当04=1时，%=2,若4=3,则%可以取8,此时4+生+…+%=20,

当久=2时，％=4,又％之1,则。|+。2+…+%221,

当。4之3时,a5+a6^3,则―+电+…+%N20,

⑵若生=2,则4=4,则《+%+。6之4，则4+“2+…+为之21,

(3)若%=3,贝1」4=6,贝1]4+4+4之4,则4+%+…+%之24,

(4)若生之4,则%+q+%+。6之6,则q+生+…+为221,

所以q+%+…+%的最小值为20.

故答案为:20

【详解】“力满足/(〃+1)=也岁=/(〃)+荆〃3),.j5+i)-f(〃)W，

12,9

.*./(2)-/(1)=-,/(3)-/(2)=-,...,/(10)-〃9)=于各式相加可得，

川。)-〃1)=吟&泉川。)=2+券号49

，故答案为

4

16.-71-1

3

【分析】根据4与*关系直接求解即可.

211

【详解】当〃=1时，a}=S1=---=-

当〃22且〃wN•时，a“=5"-S“_\=|n2-1n-|（7i-l）2+1（/7-l）=^i-i；

|4

经检验：满足4〃=??-1;

JJ

4z八

综上所述：a“=§〃-l（〃cN）

4

故答案为：—-1.

I32「（1V00"!1「（|

17.（I）T=l.「=5斤：.（2）见解析；⑶匕=§1-1-1,%0=§1+1-1.

【分析】（1）分析投掷硬币的情况，再分别计算即可.

（2）根据棋子跳到第〃站情况有且仅有①棋子先到第〃-2站，乂掷出反面，②棋子先到第n-1

站，又掷出正面，两种情况，再求出递推公式再化简证明即可.

⑶根据⑵可知数列｛匕-4"是首项为［-4=-；，公比为-；的等比数列得到

匕-Bi=（-,再累加求和求出匕即可求解取及4叱

【详解】（1）棋子开始在第。站为必然事件，，?=1.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为g,・・・4=g.

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为:；

4

②第一次掷硬币出现反面，其概率为g.

.p113

2424

（2）证明：棋子跳到第月（2蒯？99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：

①棋子先到第〃-2站，又掷出反面，其概率为一2；

②棋子先到第n-l站，又掷出正面，其概率为:2T.

・・・巴一47=一「匕”）.

（3）由（2）知，当掇W9时，数列优-%｝是首项为尸-4=-；，公比为的等比数列.

以上各式相加，得匕-l=（-gJ

+

2;

2

+（醐99）.

23

、啊

14-

-32J

【点睛】本题主要考查了实际运用中的数列递推公式、等比数列的证明以求解以及对立事件

的概率公式等，需要根据题意确定递推公式，进而得出通项公式.属于难题.

18.（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）证明见解析.

【分析】Q）证明。“＞0,再利用1=个-%，化简证明/川〈/；

（2）求解前〃项和为邑=匕「2%+9,利用（1）的结论放缩可得证明；

（3）根据数歹为单调递减数列，求解勿的单调性，即可证明女《4.

【详解】（1）先证：%＞。，4包=产」＞°,《…勺同号，4=!＞0,所以q＞（）,

an，-q+12

Cl.\1一41—（）

又n才=不‘二7=|‘所以［”

（2）-2%+i=a；-an=a；-2an+an,an=（《二一2an^-（a；t-2q）,

S“=（a：+i-2a.+J-（a；-2q）+（a；-2q）一（a*［一2。,-）++@-2aJ-（a；-2aJ

3

=43_2a〃+］—（a；-2a,）=a^-2an¥l+-,

配-4<。，放，"+i<g4，所以为«!，

，c33331

5c“=%、12%+|-=2;-a+->-a+-=-

+atnn2"

)333

s“=«,ti-2a”+1+7=a；_"，，+W<W.

综上所述：>M<s"<:

(3)由a；—2a2=4；—4=得％=2弋,从而a=2\/5,

/、/1122

自一M)'故不+/=

,1221

即bn=-------=------------,

%+141—42—

卜证｛"｝为单调递减数列

我们先证｛q-用｝为单调递减数列，

4用一「[("":---7<।「二、=凡一4+1,

1一(凡+廿&+2)1-(4*+凡)

所以八2m―?<°>他｝为单调递减数列，b„<b^2y[3.

(I一%(2-勺+2)(2-〃向)

【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意

的事项：

(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很

容易被忽视的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限

制条件的转化.

19.(1)2=1,%=〃；(2)[-6T].

【分析】(1)由$=%%+：可求得生,%,根据等差数列定义可求得公差d,结合％可求得4

和见;

(2)由等比数列求和公式可求得，，进而得到Z,的范围，解绝对值不等式可求得结果.

【详解】(1)由4=1及工•=74+1(〃£⑹)得：—=Aa2=1,4+%=2a3,

Gna\"2

解得：%=｝，%=1+1，

又｛可｝为等差数列一.•也｝的公差d=%-%=1,

.•.〃2-4=；一1=1,解得；丸=；；/.a”=q+(〃-1)4=〃.

A2

2

:.-\<pTt-2<\f解得：l«pTnW3,

<—,即——,/?<0,

424

/.1<-^<--^<3,解得：-6<p<-4,即实数〃的取值范围为[-6,T].

20.（1）&=2〃+3（2）1=〈（白—47一-^）

2（2n+\n+2J

【分析】（1）根据等差数列乩｝中邑=32,SQ=221,列出关于首项可、公差d的方程组，

解方程组可得4与d的值.从而可得数列｛%｝的通项公式；（2）利用（I）,由“累加法”可得

-一1），利用裂项相消法求和即可得结果.

"21〃n+2J

【详解】（1）等差数列｛4｝的公差设为d,前〃项和为臬，且£=32,i=221.

可得4q+6d=32,13q+7&/=221,

解得4=5,d=2,

可得a.=5+2(〃-l)=2〃+3；

（2）由=2〃一3,

可得2=4+(>)+(4a)+…+》-肥)

=3+5+7+…+2〃+1=—八(2〃+4)=〃(〃+2),

2

n,

b“21〃n+2)

e—.1111111111、

则刖〃项和1=彳]一£+彳-1+彳_£+…+_777+----77

2132435n-\〃+1nn+2J

1(31])

-——--------

2\2〃+1n+2)'

【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂

项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的

I1(11、1

方法是根