2024届开卷教育联盟高考数学二模试卷含解析

2024届开卷教育联盟高考数学二模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

2.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线。的两条渐近线与圆（x-2）2+/=1都相切，则双曲线C的离心率是（）

一或苧B.2或6C.拒或与D.竽或手

3.设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和，'轴的正半轴交于A8两点，点Q与点p关于）'轴对称，。为坐标

原点，若BP=2PA，且OQAB=I,则点P的轨迹方程是()

A.—X2+3y2=l(x>0,y>0)B.—x2-3y2=1(x>0,y>0)

2

C.3x2—1y2=1(x>0,y>0)D.3x2+-|y2=1(x>0,y>0)

4.已知数列也｝的首项4=4(4。0),且氏+]=%〃“+/,其中3teR,nwN,下列叙述正确的是()

A.若｛〃”｝是等差数列，则一定有攵=1B.若｛qj是等比数列，则一定有7=0

C.若｛q｝不是等差数列，则一定有k^\D.若｛〃“｝不是等比数列，则一定有1/0

5.设〃?、〃是两条不同的直线，a、夕是两个不同的平面，则户的一个充分条件是（）

A.aJ■乃且"?uaB.m//〃且C.a工B支＞nHaD.利_1_〃且〃///?

6.下列判断错误的是()

A.若随机变量4服从正态分布N(L(T2),P((^4)=0.78,贝"偌4-2)=0.22

B.已知直线/JL平面。，直线〃z〃平面£,贝心。//夕”是"/_L〃z”的充分不必要条件

C.若随机变量4服从二项分布：<则现。)=1

D.6〃”>加?是a>〃的充分不必要条件

7.如图，平面四边形ACB。中，AB1BC,ABA,DA.AB=AD=\,BC=6,现将△48。沿48翻折，使

点。移动至点。，且P4_L4C,则三棱锥P—A8C的外接球的表面积为()

O5

A.8江B.6兀C.4万I).——-Jr

3

8.已知集合A={<|上=，-2犬2+犬+3}，3={x|log2X>l}则全集U=R则下列结论正确的是()

A.B=AB.AuB=BC.(44)。8=0D.BQ^A

9.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据(x,y)分别为(21.5),(3,4.5),(4,5.5),(5,6.5),

由最小二乘法得到回归直线方程为》=L6x+"若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为

()

A.8年B.9年C.10年D.11年

22

10.若A8为过椭圆工+工=1中心的弦，6为椭圆的焦点，则4片人8面积的最大值为()

16925

A.20B.30C.50D.60

11.将函数f(x)=sin(2x-w)的图象向右平移:个周期后，所得图象关于)，轴对称，则夕的最小正值是()

8

•2020

⑵口=()

A.-B.J?C.1I).-

24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知三棱锥的四个顶点在球。的球面上，Q4=23=PC,.A8c是边长为2的正三角形，PAYPC,

则球。的体积为.

14.已知双曲线，-表■=的左焦点为尸(一石,0),A、/为双曲线上关于原点对称的两点，AN的中点

为H,3尸的中点为K,HK的中点为G,若|〃K|二2|OG|,且直线A8的斜率为无，贝力4回二，双

4

曲线的离心率为.

alnx-x2(x>0)

15.设实数。>0,若函数=|1/、的最大值为了(—1),则实数。的最大值为_______.

4+-+。+2(工<0)

16.曲线y=xssx在工=。处的切线的斜率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线r：y2=2px(p>0)的焦点为川，尸是抛物线「上一点，且在第一象限，满足尸P=(2,273)

(1)求抛物线r的方程：

(2)已知经过点A(3,-2)的直线交抛物线r于M,N两点，经过定点3(3,-6)和M的直线与抛物线「交于

另一点L问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由.

18.(12分)设函数/(x)=6cos2“-Jisin2x.

(1)求/(A)的值；

⑵若xe3，乃，求函数Ax)的单调递减区间.

19.(12分)语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的，，小爱同学，，智能音箱和阿里巴巴的，，天猫精灵，，智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了

了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了10。名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精

灵，，的人，具体数据如下：

“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计

男4560105

女554095

合计100100200

(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵*试估计该地区购买“小爱同学”的女性

比购买“天猫精灵”的女性多多少人？

(2)根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？

n(ad-bc)2

阳：A—,7------TT--------------TT------7

(«+b)(c+d)(a+c)伍+d)

2

P（K0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（12分）如图：在AA8C中，«=c=4,cosC=

(1)求角A;

(2)设。为A8的中点，求中线CO的长.

21.(12分)AA3C的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,其面积记为S,满足毡S=A8cA.

3

(1)求A;

(2)若Gg+c)=2a,求土+2+上的值.

beacab

22.(10分)已知数列｛凡｝的前〃项和为S。，且满足S“-2a01(〃eN*).

(I)求数列｛凡｝的通项公式；

-e14

(H)证明：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.

【详解】

由题意，该几何体如图所示：

该几何体的体积V=!*2*2*2-1、，><2又2=".

2323

故选：A.

【点睛】

本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题.

2、A

【解析】

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率.

【详解】

设双曲线C的渐近线方程为产kx,是圆的切线得:正

3

得双曲线的一条渐近线的方程为5=土・・,焦点在乂、y轴上两种情况讨论:

-3

①当焦点在X轴上时有：2=立，e=£=叵巨=迈；

a3a33

②当焦点在y轴上时有：@=立，6==2；

b3aV3

・•.求得双曲线的离心率2或2叵.

3

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想.解题

的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的

值.此题易忽视两解得出错误答案.

3、A

【解析】

设A3坐标，根据向量坐标运算表示山6尸=2A4,从而可利用X，｝,表示出由坐标运算表示山OQ・A6=1,代

入a,b整理可得所求的轨迹方程.

【详解】

设A（a,O）,其中a>0,b>0

/c/\\x=21a-x\«=—>0

•.BP=2PA.・.（尤），一。）=2（47,一），），即T/：.]2

[），一方=-2），[b-3y>0

•.P,Q关于）'轴对称二Q（-x,y）

3

/.OQ-AB=（-x,y）•（-a,b）=ax+by=\:.—x2+3y2=1（x>0,y>0）

故选：A

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平

面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.

4、C

【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.

【详解】

A：当左=01=〃时,a-a,显然符合—｝是等差数列，但是此时女=1不成立，故本说法不正确：

B：当攵=0/=。时，。,用=。，显然符合｛凡｝是等比数列，但是此时1=0不成立，故本说法不正确；

C：当〃=1时，因此有川-勺=妨〃+―/=/=常数，因此｛q｝是等差数列，因此当｛q｝不是等差数列时，一定

有kwl,故本说法正确；

D：当时，若出=0时，显然数列｛&｝是等比数列，故本说法不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.

5、B

【解析】

由"〃/〃且〃，万可得故选B.

6、D

【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四

个选项加以分析判断，进而可求解.

【详解】

对于A选项，若随机变量€服从正态分布"(I,/),。偌44)=0.78,根据正态分布曲线的对称性，有

<-2)=>4)=1-<4)=1-0.78=0.22,故4选项正确，不符合题意；

对于B选项，已知直线/_!_平面a,直线加〃平面/7,则当时一定有/_!_〃?，充分性成立，而当/_L〃?时，不

一定有a〃夕，故必要性不成立，所以“。//夕”是的充分不必要条件，故3选项正确，不符合题意；

对于。选项，若随机变量〈服从二项分布：€44,：》则E(J)=〃p=4x；=l,故。选项正确，不符合题意;

对于力选项，am>bm»仅当/〃:>0时有当"?<0时，">〃不成立，故充分性不成立；若a>b,仅当机>0

时有am>加?，当〃2<0时，不成立，故必要性不成立.

因而am>bm是a>b的既不充分也不必要条件，故D选项不正确，符合题意.

故选：D

【点睛】

本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查

理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.

7、C

【解析】

由题意可得%_1面八3。，可知P4_L3C,因为A3J.BC,则8C_L面附8,于是BC_LP3.由此推出三棱锥

P—ABC外接球球心是PC的中点，进而算出CP=2,外接球半径为1,得出结果.

【详解】

解：由D4_LA3,翻折后得到叫_LAB,又R4J.AC,

则/3_1_面八3。，可知PA_L4C.

又因为ABJL8C,则8。_1面以8,于是BCtPB,

因此三棱锥P-ABC外接球球心是PC的中点.

计算可知CP=2,则外接球半径为1,从而外接球表面积为44.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,

属于中档题.

8、D

【解析】

化简集合A,根据对数函数的性质，化简集合4,按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.

【详解】

由一2x~+x+320,(2%—3)(x+1)4(),

贝|JA=-1,-,故为4=(-8,-1)=［耳,+8

由log2X>l知，3=(2,”)，因此4c5=0,

-i~\

Au8=-1,u(2,+8),&A)c8=(2,y),

（2,+oo）q（-oo,-l）u（T，+8）,

故选:D

【点睛】

本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.

9、D

【解析】

根据样本中心点正,亍）在回归直线上，求出“，求解），>15,即可求出答案.

【详解】

依题意x=3.5J=4.5,（354.5）在回归直线上，

4.5=1.6X3.5+4,Q=T.1,.J=1.6X-1.1，

由y=l-6.x-l.I>15,x>1。白，

估计第11年维修费用超过15万元.

故选:D.

【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

10、D

【解析】

先设A点的坐标为（.*#,根据对称性可得笈（-工一），），在表示出△面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时,

此时AGAB面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.

【详解】

由题意，设A点的坐标为（x，y）,根据对称性可得8（一再-y）,

则4耳A3的面积为S=^x\OF\x|2y|=c|y|,

当卜|最大时.A3的面积最大.

由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，

22

又由二一二二］,可得椭圆的上下顶点坐标为（0,-5）,（0,5）,

16925

所以\F.AR的面积的最大值为S-cb-7169-25x5-60.

本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化

归与转化思想的应用.

11、D

【解析】

由函数y=Asin(①X+Q)的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于*的方程，对女赋

值即可求解.

【详解】

由题意知，函数/(A)=sin(2x—⑼的最小正周期为丁=斗=乃,即J=

2oo

由函数y=Asin(3v+3)的图象平移变换公式可得，

将函数/。)=sin(2x-⑺的图象向右平移:个周期后的解析式为

O

■/乃、一(兀、

g(x)=sin2X---(p=sin2x---(p,

因为函数g(1)的图象关于),轴对称，

.7C4，f口3TI..

所以----(p——Fk7i,k&z9即9=-----Fk兀〉k&z9

424

兀

所以当％=1时，夕有最小正值为二.

4

故选：D

【点睛】

本题考查函数)，=A7n(”r+Q)的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质：熟练掌握诱导公式和

正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

12、A

【解析】

•2020

利用复数的乘方和除法法则将复数一化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.

1-i

【详解】

•20201I.•11

产。=位广=1=1,上=止=白；

\/1-11-1(1-z)(l+/)22

禺叶严)byji?V2

1-/认2)⑴2

故选：A.

【点睛】

本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、瓜兀

【解析】

由题意可得三棱锥P-ABC的三条侧棱产儿乃仇夕。两两垂直，则它的外接球就是棱长为血的正方体的外接球，求

出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.

【详解】

解：因为PA=PB=PC,4AAe为正三角形，

所以ZAPB=ZAPC=NBPC,

因为PA1PC,所以三棱锥P-ABC的三条侧棱小，PB,PC两两垂直，

所以它的外接球就是棱长为夜的正方体的外接球，

因为正方体的对角线长为迷，所以其外接球的半径为亚，

2

所以球的体积为:笈x(手)=戈冗

故答案为：瓜兀

【点睛】

此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.

14、2百—

2

【解析】

设A(N),%),BQ%,一.%),根据中点坐标公式可得”,K坐标，利用O〃.OK=0可得到4点坐标所满足的方程，

结合直线斜率可求得需，力，进而求得|A@；将A点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得进而得到离心

率.

【详解】

左焦点为尸卜6,()),•••双曲线的半焦距c=

设ACw。)，Wf_兄)，・••”[?，耳，回辛、，

-\HK\=2\OG\ts.OHYOK,即加.。女二。，.・.2^一亭=0,即片+#=3,

又直线A6斜率为正，即&=正，.•..=?,y=?，

4/433

.•.|4用=14片+4),；=26,

•.•人在双曲线上，「.壬一"=1,即±-±=1,

a2b23/3b2

结合02=/+〃=3可解得：°=〃=],.♦.离心率e=£=逅.

a2

故答案为：2方；立.

2

【点睛】

本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键

是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.

15、2/

【解析】

根据/(-1)=〃，则当x>0时，alnx—YWa,即。(1以一1)«£.当0<.1时，a(lnx-l)工f显然成立:当工>1

时，由〃（Ink-l）vf,转化为^>写1，令匕（丫）=电9">1），月导数法求其最大值即可•

【详解】

因为/（T）=。，又当x>0时，ainx-r<a，即。（Inx-l）wf.

当0<戈工1时，4（lnxT）<W显然成立；

当x>l时，由4（lnx-l）<Y等价于‘2生二1，

ax~

人/、ln.r-1/,/3-2Inx

令g（x）=FL（x>l），*（'x）=—厂，

人人

（3\

当XW1,混时，g«）>0,g（x）单调递增,

\/

/3\

当XW",长©时，/（x）vO,g（x）单调递减，

\/

0111

g（x）a=g[e十参，则片至，

又。>0,得4«2*3>

因此4的最大值为2/・

故答案为：2d

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

【解析】

求出函数的导数，利用导数的几何意义令x=q,即可求出切线斜率.

【详解】

>,=/(x)=xcos.r,

.,./X(x)=cosx-xsinx,

即曲线y=XCOSX在工=2处的切线的斜率左

326

故答案为：一互

26

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/=4x；；(2)直线NL恒过定点(-3,0),理由见解析.

【解析】

(1)根据抛物线的方程，求得焦点尸(5,0),利用尸尸=(2,2后)，表示点尸的坐标，再代入抛物线方程求解.

4x+MXyny,

(2)设M(xo,jo)>N(xi,ji),L(X2»J2)>表示出MN的方程j=；和A/L的方程『=；因为

No+y%+%

A(3,-2),B(3,-6)在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得”丫2=12,然后表示直线NL的方程为：j-

4v2

J-i=---------(X-2J-),代入化简求解.

>1+)’24

【详解】

(1)由抛物线的方程可得焦点尸得，0),满足”=(2,273)的P的坐标为(2+勺2^/3),P在抛物线上，

所以(26)2=2p(2+舁即p2+4p-12=0r>0,解得尸2,所以抛物线的方程为：尸4x：

(2)设M(xo,jo)»N(xi,ji),L(X2,J2),则y/=4xi,>22=4x2>

二)if--f二4

直线MN的斜率kMN~X,-x0一短-)『-y+>'0,

—

则直线MN的方程为：J-JO=------(工-”)，

M+%4

即产铛①

同理可得直线ML的方程整理可得_>，=把土』必■②,

将A(3,-2),B(3,-6)分别代入①，②的方程

2J2+KX

+V,

可得0,消1y。可得ys=12,

-6」2+%%

y。+%

44V2

易知直线於Z=------,则直线NL的方程为：y-yi=-------(x-^-),

%+%)1+%4

4412

即旷=------x+故尸7x+---,

>1+>2>1+>2>1+)’2

4

所以y=(x+3),

)i+%

因此直线、亿恒过定点(-3,0).

【点睛】

本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的

能力，属于中档题.

18、(1)f3=3+后(2)/(*)的递减区间为和―用

【解析】

(1)化简函数/(%),代入x=C,计算即可；

12

(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合xe%K即可求出.

【详解】

(1)/(X)=6cos2x->/3sin2x=3(1+cos2x)~£sin2x

=-V3sin2x+3cos2x+3

=-2y/3sin[2x-yj+3,

从而/任3+V3.

(2)令一巳+2k〃W2工一工工工+2女不,A£Z.

232

冗57r

解得-----FkjrWxW----Fkjv,kwZ.

1212

TT、尸

即函数/㈤的所有减区间为一百+而,+而，攵eZ,

1271T4

717TS77I\TT

考虑到,取k=O,l,可得xe—,--xe——、兀

5"J1Xv12

故/(x)的递减区间为不三和工「1•

【点睛】

本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.

19、(1)多2350人；(2)有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【解析】

(D根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵〃的女性有40人，即可估计该地区购买“小

爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；

(2)根据列联表和给出的公式，求出K?，与临界值比较，即可得出结论.

【详解】

解：(1)由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，

由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵力

估计购买“小爱同学”的女性有埼4x55=7150人.

19()0()

估计购买“天猫精灵”的女性有x40=4800人.

贝1*150—4800=2350,

・♦•估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.

⑵由题可知，心200x(45x4。-60x55)一"5”’3.841，

1()5x95x1()0x100

・♦•有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【点睛】

本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.

20、(1)Ar(2)近

【解析】

(1)通过cosC求出sin。的值，利用正弦定理求出sin4即可得角A；(2)根据sin3=sin(A+C)求出sinB的值,

由正弦定理求出边b,最后在AAa)中由余弦定理即可得结果.

【详解】

(1)***cosC=sinC=-cos2C==~~

W二4

由正弦定理‘;二一―，即；iH=5万・

sinAsinC

5

得sinA=YZ,・・・cosC=—乂5<0,为钝角，A为锐角,

25

故M

(2)・・•8=〃-(A+C),

siMcosS8sAsme=正/-回+名逆=巫.

/.sinB=sin(A+C)=

252510