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4/21/2026第二节一、平面图形的面积定积分在几何学上的应用

第三章表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U

对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法

(或微元分析法

)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节4/21/2026一．

直角坐标系下平面图形的面积：a0xyb1设连续曲线与直线及

x

轴所围曲则边梯形面积为A,4/21/2026bocdexyoa4/21/2026yxoab注当两条直线其中之一或两条缩为点时,仍可用公式(1).4/21/2026xyocd4/21/20265、如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：xEabABCDFGo4/21/2026

显然：由图可以知道上部分曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD构成；下部分曲线由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与

F作平行于y轴的直线，这样则把平面区域分成4个x—型区域，然后利用前面的X——型区域的公式就可以计算了。下面看几个计算的例子我们就清楚利用定积分如何计算不规则图形的面积了。4/21/20261)画出图形；2)求出曲线的交点；3)选择积分变量，确定积分区间；4)利用公式求出平面图形的面积.在求平面图形的面积时可按以下步骤进行：4/21/2026例11)画出图形；2)求出曲线的交点；4/21/2026AB4/21/2026分析1：所给的区域不是一个规范的x-域,

如图为了便于计算需将其图形进行分割,

即可化成两个x-形区域的面积问题。第一块的面积：4/21/2026二、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有例.

计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而

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