人教A版高二下学期数学（选择性必修3）《7.5正态分布》同步练习题（带答案）

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页人教A版高二下学期数学（选择性必修3）《7.5正态分布》同步练习题（带答案）【学习目标】1.能通过误差模型认识服从正态分布的随机变量，能用自己的语言说明正态分布、正态密度函数、正态密度曲线的概念、意义及性质.2.能通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，给出正态分布的特征；能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.3.能利用正态分布的均值、方差以及3σ原则解决简单的实际问题.【例题精练】【例1】设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（

）A．B．C．对任意正数D．对任意正数【例2】某新能源汽车公司生产的电池容量（单位：千瓦时），且．若质检部门随机抽检块电池，则恰好有块电池的容量在千瓦时以上的概率为（

）A． B． C． D．【例3】已知，且，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45【例4】某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下：续航里程区间频率(1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）；(2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）求；（ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率．参考数据：，若，则．【例5】某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100．(1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法；(2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数）(3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数）（参考数据：）【A组基础达标】一、单选题1．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（

）

A．B．C． D．2．已知随机变量，且，则（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．23．在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（

）参考数据：若，则．A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.977254．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（

）附：若，则，.A．130 B．228 C．260 D．15875．2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（

）A． B． C． D．6．正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（

）A．1262 B．1300 C．1366 D．1400．二、多选题7．若，则下列说法正确的有（）A．B．C．D．8．坐位体前屈是一种体育锻炼项目，通常使用电动测试仪进行测试．已知某地区进行的体育达标测试中，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且．现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间内的人数为，则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题9．已知随机变量，且，则___________10．已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则________．四、解答题11．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61.（ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量；（ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性．参考数据：若，则．12．某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.(2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n的最小值为多少？附：若随机变量服从正态分布，则.【B组能力提升】1．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（

）参考数据：若，则．A．4 B．5 C．6 D．72．随机变量，若，那么实数A的值为（

）A．119 B．120 C．121 D．1223．（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（

）（若随机变量Z服从正态分布）A． B．C． D．4．随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是______.5．近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，统计结果如下面的频数分布表所示.组别频数101520301510已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）.(2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数）参考数据:，若，则.6．在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：满意度评分频数101520301510(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．参考数据：若随机变量，则.参考答案与解析【例题精练】【例1】设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（

）A．B．C．对任意正数D．对任意正数【答案】C【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可.【详解】由正态密度曲线的性质可知的密度曲线分别关于对称因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”所以，所以对任意正数.【例2】某新能源汽车公司生产的电池容量（单位：千瓦时），且．若质检部门随机抽检块电池，则恰好有块电池的容量在千瓦时以上的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正态密度曲线的对称性可求得，若质检部门随机抽检块电池，其中容量在千瓦时以上的电池块数服从二项分布，由此可得结果.【详解】因为，所以由正态密度曲线的对称性可知若质检部门随机抽检块电池，其中容量在千瓦时以上的电池块数为，则由二项分布的概率公式可得.故选：C.【例3】已知，且，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45【答案】C【分析】应用正态分布的对称性求解即可.【详解】由正态分布的对称性可知，已知所以，因为且，所以，又因为所以，代入可得，故，所以.故选：C.【例4】某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下：续航里程区间频率(1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）；(2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）求；（ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率．参考数据：，若，则．【答案】(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）结合已知条件，利用平均数和方差的计算公式求解；（2）（i）利用（1）的数据结合正态分布的性质求解；（ii）利用正态分布的对称性计算求解．【详解】（1）．（2）由（1）可知结合参考数据得（i），区间长度为根据正态分布的对称性，概率近似等于已知；（ii）利用正态分布对称性：其续航里程不低于的概率约为．【例5】某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100．(1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法；(2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数）(3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数）（参考数据：）【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10，分布记为：.(2)655（人）(3)115【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解；（2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可；（3）由题意可得，即满足题意.【详解】（1）由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10分布记为：.（2）所以成绩在区间内的学生的概率故成绩在区间内的学生的人数为(人).（3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此根据参考数据：，满足要求而，因此.【A组基础达标】一、单选题1．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决．【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确.故选：A.2．已知随机变量，且，则（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】根据正态分布曲线的特点，利用函数曲线的对称性，即可求出答案。【详解】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称又，且，所以.故选：B3．在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（

）参考数据：若，则．A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725【答案】B【分析】利用正态分布的性质及区间概率值，即可求得指定区间概率.【详解】由，得则.故选：B.4．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（

）附：若，则.A．130 B．228 C．260 D．1587【答案】B【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解.【详解】由可知故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为.故选：B.5．2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正态曲线的对称性结合题意求出每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，再利用对立事件的概率公式可求得答案【详解】根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率．故选：D．6．正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（

）A．1262 B．1300 C．1366 D．1400．【答案】B【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题．【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50所以，所以即，即求．由，得所以那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为故选：B．二、多选题7．若，则下列说法正确的有（）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据题意，得到期望为，方差为，结合正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得期望为，方差为对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；对于B中，因为，即，所以B不正确；对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；对于D中，由正态分布曲线的性质，可得且可得，所以D正确.故选：ACD.8．坐位体前屈是一种体育锻炼项目，通常使用电动测试仪进行测试．已知某地区进行的体育达标测试中，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且．现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间内的人数为，则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差以及期望、方差的性质计算判断BC；利用对立事件的概率公式计算判断D.【详解】对于A，由，得，则，A正确．对于B，由A知，在区间内的概率为0.8，所以，因此，B正确．对于C，由B知，因此，C错误．对于D，故D错误．故选：AB．三、填空题9．已知随机变量，且，则___________【答案】3【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称所以，解得.10．已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则________．【答案】/【分析】先由二项分布的均值公式求出，从而得，进而由概率之和为1和正态分布的对称性即可求解.【详解】因为随机变量X服从二项分布所以，故又随机变量Y服从正态分布，所以所以.故答案为：.四、解答题11．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61.（ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量；（ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性．参考数据：若，则．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可；（2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量；（ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可．【详解】（1）由题意可知，．（2）（ⅰ）由题意则则，即．则这批产品质量指标值在的数量约为．（ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理．12．某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.(2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n的最小值为多少？附：若随机变量服从正态分布，则.【答案】(1)(2)①②【分析】（1）直接使用古典概型和排列组合工具求解；（2）①直接使用正态分布数据计算出的概率，然后用概率估计实际的比例；②用正态分布数据求出的均值，再解出的最小值.【详解】（1）由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.（2）①直接计算可得.所以.故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为.②由于，故.当时，有，得.所以的最小值是.【B组能力提升】1．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（

）参考数据：若，则．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据题意求得，再结合求出，即可得出答案.【详解】解：因为体温X服从正态分布所以因为X的值在内的概率约为0.9973根据参考数据知即所以所以，所以所以，解得.故选：B.2．随机变量若，那么实数A的值为（

）A．119 B．120 C．121 D．122【答案】A【分析】利用正态分布原则来研究概率，即可判断各选项.【详解】当时，由于所以，故A正确当时，此时，故无法判断是否相等，故BCD都不正确故选：A．3．（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（

）（若随机变量Z服从正态分布）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，所以故，C正确，D错误；因为，所以因为，所以而，B正确，A错误故选：BC．4．随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是______.【答案】88【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再求出时的即可.【详解】随机变量，又，则因此，则所以随机变量的第80百分位数是88.故答案为：885．近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:统计结果如下面的频数分布表所示.组别频数101520301510已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）.(2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数）参考数据:，若，则.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案；（2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案.【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为则样本平均