河北衡水中学2025-2026学年高三下学期综合素质评价二数学试题

度高三年级下学期综合素质评价二数学试卷考试时间：120分钟；试卷满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的定义域求出集合；解不等式得到集合，再由交集的运算即可求出结果.【详解】因为的定义域为，所以；又解不等式得，即，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.已知等比数列满足，，则的公比为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【详解】等比数列满足，则，解得或，而，当时，，与矛盾；当时，，所以数列的公比.3.已知随机变量，且，则当时，的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由随机变量，且，得，由，得，当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为3．故选：C.4.国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（）A.18种 B.24种 C.48种 D.60种【答案】B【解析】【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出.【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种，因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种.故选：B5.已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（）A.2 B.2或 C.2或 D.2或【答案】D【解析】【分析】利用点到直线距离可求出，再根据的面积为列出相应等式，即可求解.【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即，点到直线的距离，在中，所以，则，又因，所以，化简可得，等式两边同时除以，可得，即，解得或，因，所以或.6.已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（）A.6为的一个周期 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题目所给条件分析函数对称性与奇偶性。首先由得出函数关于直线轴对称，再由为奇函数还原的对称性，可令，得函数关于点中心对称，结合同时满足轴对称和中心对称的函数为周期函数推出函数的周期，利用周期性求值【详解】因为，将代入得，所以，故关于直线对称，又因为为奇函数，所以，令，则，代入得，即，将代入得，即，所以关于点中心对称，将代入得，又，故，令，则，再将代入得，即，将代入得，又，所以，的周期为8，故A错，设，依题意为奇函数，所以又对称轴为，所以，无法推出，故B错，C对，因为，所以，同理，一直到，所以一个周期内和为，，故总和为，举反例如下，令满足题意，但，故D错.7.如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，故可求得内切球半径，故得答案【详解】如图，将两个互相垂直的圆柱放到棱长为的正方体内，则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，又因为牟合方盖上下两个顶点和侧面的四个曲面刚好与正方体的侧面相切，故正方体的内切球内切于牟合方盖，所以正方体内切球即为牟合方盖的内切球，其半径为，所以该“牟合方盖”内切球的体积为.故选：D8.已知实数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性，，继而得解.【详解】由，变形可知，利用换底公式等价变形，得，由函数在上单调递增知，，即，排除C，D；其次，因为，得，即，同样利用的单调性知，，又因为，得，即，所以.故选：B.二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)9.已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（

）A.B.的虚部为C.复数的共轭复数D.复数是方程的一个根【答案】AC【解析】【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可.【详解】由，可得，对于A，，故A正确；对于B，复数的虚部为1，故B错误；对于C，复数的共轭复数，故C正确；对于D，因，则，故复数不是方程的一个根，即D错误.故选：AC10.函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（）A.B.C.在区间恰有一个零点D.将图象向左移个单位后关于轴对称【答案】ACD【解析】【分析】根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假.【详解】因为，又，所以，故B错误；因为，由图可知，，所以，故A正确；所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确；将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确.11.已知数列满足，且，则（）A.存在唯一的实数，使得为常数列B.当时，为递减数列C.当时，的取值范围为D.当时，前项和为，则【答案】BCD【解析】【详解】对于A.由条件可知，，若，则，为常数列，若，则，为常数列，故A错误；对于B.因为，当时，，所以，由可知，对所有，都有，两边取以10为底的对数，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即，，因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确；对于C.，，因为恒成立，所以，得，故C正确；对于D.当时，，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即，，，而数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以前项和，所以，故D正确.第II卷（共92分）三、填空题(每题5分，共15分)12.的展开式的常数项是_____(用数字作答)．【答案】【解析】【分析】根据展开式通项得，再令即可解出.【详解】设展开式的通项为，令，解得，，为所求常数项．故答案为：.13.已知，则_______【答案】【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式转化求解即可.【详解】，则，有，，解得.14.已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】先根据奇偶性求得，，再结合指数函数和对数函数的大单调性，利用复合函数单调性法则分析函数的单调性，结合奇偶性分类讨论解不等式即可．【详解】为奇函数，定义域需关于原点对称，，即，的解集关于原点对称，即，为奇函数，，，则，解得，，定义域，当时，，则，当时，，则，又在和单调递增，在和单调递减，在和单调递减，即，即，或或解得或或，故不等式的解集为．故答案为：．四、解答题(共5题，满分77分)15.在中，内角，，所对的边长分别是，.（1）求角；（2）若，，，求AB边上的高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得；（2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解.【小问1详解】因为，根据正弦定理得，.因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以.【小问2详解】根据余弦定理得，，将，代入上式整理得，，又因为且，解得，，所以，所以为以AB为斜边的直角三角形，所以斜边AB上的高为.16.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.（1）求的分布列和数学期望；（2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值；【答案】（1）分布列为：234（2）【解析】【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望；（2）应用全概率公式求概率即可；【小问1详解】由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，，且的所有可能取值为2，3，4，，，，故的分布列为：234法一：所以的数学期望.法二：根据超几何分布的期望公式知.【小问2详解】记“下达动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件.由已知得，，，，因为，所以.17.已知椭圆：的一个焦点为，且过点.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出后可得椭圆方程并可求离心率.（2）设，，则可用诸参数表示，再联立直线方程和椭圆方程，并利用韦达定理化简后可得斜率的比值.【小问1详解】由题设有，故，故椭圆的方程为，故离心率为.【小问2详解】由题设可得的斜率必存在且不为零，设，，则，由可得，故，，由可得，故即，且，又，故，18.如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形．（1）若C是OQ的中点．（i）求六棱锥的体积；（ii）求二面角的余弦值；（2）设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值．【答案】（1）（i）；（ii）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）（i）先计算正六边形的面积，再根据锥的体积公式即可求解；（ii）建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用夹角公式即可求解；（2）由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α．在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系，设，由，得，又，代入即可求解.【小问1详解】（i）因为O到⊙C的距离为2，所以⊙C的半径为，所以正六边形的边长为，所以正六边形的面积为，且P到⊙C的距离为6，所以六棱锥的体积为；（ii）以C为原点，为轴，的中垂线为y轴，PQ为z轴建系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则令＝1，得，设平面的一个法向量则，令＝1，得，所以．【小问2详解】由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α．在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系，设，则，，因为，所以，即，又P，Q的坐标分别为，所以19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程.（2）问题转化为，从而求参数的取值范围.（3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小.【小问1详解】由，得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】因为在上单调递增，所以.由（1）知，因为，所以，即在上恒成立，所以，又，所以，即的取值