勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章勾股定理20.2勾股定理的逆定理及其应用请同学们翻到《主书》P2601课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录

探究

勾股定理的逆定理问题：如图是以3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25这四

组数为三边长画出的三角形，量一量这些三角形中最大的角为多少度？

测量可知，最大的角为

⁠．90°

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋

b2＝c2，那么这个三角形是

⁠三角形．几何语言：∵如图，在△ABC中，a2＋b2＝c2，∴△ABC是

⁠

三角形，∠C＝

⁠．直角直角

90°

勾股定理的逆定理

⁠例1

如图1，在△ABC中，已知a2＋b2＝c2，求证：△ABC是直角三

角形．

cAB

≌＝直角___________

判断直角三角形的方法：只要看两条较小边长的平方和是否

等于最大边长的平方．1.

如图，在△ABC中，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，求证：

△ABC是直角三角形．证明：∵AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．2.

(1)下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是(

D

)A.

1，3，4B．

5，6，7C.

1，

，

D．

7，24，25(2)下列各组数中，是勾股数的为

．(填序号)①1，2，3；

②9，12，15；③0.3，0.4，0.5；

④5，12，13.D②④

勾股数应具备的两个条件：(1)这三个数均为正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．例2

甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东40°方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B，C两岛相距100海里，求乙船航行的方向．解：由题意，得AC＝15×4＝60(海里)，AB＝20×4＝80(海里)．∵AC2＋AB2＝602＋802＝10000，BC2＝10000，∴AC2＋AB2＝BC2.∴△BAC是直角三角形，∠BAC＝90°.∴180°－40°－90°＝50°.∴乙船航行的方向是南偏东50°.3.

如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港

口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行24海里和32海

里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距40海里，如果知道甲船

沿北偏西40°方向航行，那么你知道乙船沿哪个方向航行吗？解：由题意，得AP＝24，BP＝32，AB＝40.∵242＋322＝402，即AP2＋BP2＝AB2，∴△APB是直角三角形，且∠APB＝90°.由题意知∠APN＝40°.∴∠BPN＝90°－∠APN＝90°－40°＝50°.答：乙船沿北偏东50°方向航行．

勾股定理及其逆定理的综合运用

⁠例3

如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点分别在正

方形网格的格点上，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵每个小正方形的边长都是1，∴AB2＝32＋22＝13，BC2＝62＋42＝52，AC2＝12＋82＝65.∵13＋52＝65，∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形．4.

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1.求证：∠A＝

90°.证明：∵AB2＝12＋32＝10，AC2＝12＋32＝10，BC2＝22＋42＝20，

10＋10＝20，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°.例4

如图，AB＝4，BD＝12，CD＝13，AC＝3，AB⊥AC于点A.

(1)求证：△BCD是直角三角形；证明：在△ABC中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3.∴由勾股定理，得BC2＝AB2＋AC2＝42＋32＝25.∵BD2＝122＝144，CD2＝132＝169，169＝25＋144，∴CD2＝BC2＋BD2.∴△BCD为直角三角形．(2)求四边形ABDC的面积．

5.

如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB

＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°.求这块

菜地的面积．

答：这块菜地的面积为114m2.

1．

下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是(

B

)A.

3，4，5B．

5，7，8C．

8，15，17D．

1，

，

B2．

如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点B到

AC的距离是(

A

)A.

6B．

7C．

8D．

10A3．

如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，图中

有

⁠个直角三角形．44．

如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标

准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9

dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝

90°)．通过计算说明该车是否符合安全标准．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝6，AD＝9，由勾股定理，得BD2＝AD2－AB2＝45.在△BCD中，BC＝3，CD＝6，∴BC2＋CD2＝32＋62＝45.∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，即BC和CD垂直．∴该车符合安全标准．5．

如图，有一台风中心以20km/h的速度沿东西方向由点A移动

到点B，且台风中心周围260km以内为受影响区域．已知点C为一海

港，且AC＝300km，BC＝400k