2024年中考数学真题分类汇编（第一期）专题19 等腰三角形与直角三角形（28题）（解析版）

专题19等腰三角形与直角三角形（28题）

一、单选题

I.（2024.广东广州.中考真题）如图，在ABC中，ZA=90°,AB=AC=6f。为边8c的中点，点E,F

分别在边A8,AC上，AE=CF,则四边形4EE厅的面积为（）

A.18B.9X/2C.9D.6上

【答案】C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接A。，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出VAOEWCDF,将四边形A皮中的

面积转化为三角形ADC的面积再进行求解.

【详解】解：连接A。，如图：

VZBAC=90°,A8=AC=6,点。是中点，AE=CF

J/BAD=NB=NC=45°,AD=BD=DC

:.YADE^/CDF,

,,S四边形八即产=S△人m+S4&DF~S&CFD+S△ADF=^^ADC=]^^ABC

XVS=6x6x1=18

乙

**,S四成形AEDF=/SA8c=9

故选：c

2.（2024.青海•中考真题）如图，在RtZXABC中，。是4c的中点，NBDC=60°,AC=6,则8C的长是

4

BC

A.3B.6C.73D.373

【答案】A

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质.根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到i8£心等边三角形，据此求解即可.

【详解】解：•・•在RtZ\ABC中，ZABC=90。，。是4C的中点,

：.BD=-AC=CD,

2

I/RDC=60"

・•・BQC等边三角形,

・•・BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故选：A.

3.（2024•四川广元・中考真题）如图，将ABC绕点A顺时针旋转90。得到VA。月，点8,C的对应点分别

为点Q,E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CO=3,RC=1,则A。的长为（）

B.MC.2D.2上

【答案】A

【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE,

NC4E=90。，/）E=BC=1,推出AACE是等腰直角三角形，CE=4,过点A作A”_LC£于点〃，得到〃/）=1,

利用勾股定理求出A。的长.

【详解】解：由旋转得△ABCgAAOE,ZC4E=90°,

/.AC=AE,ZC4E=90°,DE=BC=1,

•••△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,

过点4作A”_LCE十点从

E

盗a

BA

・•・AH=-CE=CH=HE=2,

2

，HD=HE-DE=2-1=1,

•••AD=\IAH、H>=X/22十，=75，

故选：A.

4.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在扇形AO8中，ZAOB=80。,半径04=3,C是刈上一点，连

接0C,。是0C上一点，且0。=。。，连接BD.若8OJ_OC,则AC的长为（）

7

D.兀

【答案】B

【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质：连接8C,根据0。=。。,

BD1OC,易证△Q8C是等腰三角形，再根据O8=OC,推出△O8C是等边三角形，得到N8OC=60。，

即可求出ZAOC=2（r,再根据弧长公式计算即可.

【详解】解：连接BC,

0D=DC,BDL0C,

:.0B=BC,

・•・△08。是等腰三角形,

0B=0C,

OB=OC=BC,

△08C是等边三角形，

AZBOC=60°,

乙408=80。，

ZAOC=ZAOB—NBOC=20°,

04=3,

.AC=20x37r=n

1803

故选：B.

5.（2024.黑龙江牡丹江•中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片/WCQ,/ID=12cm,C£）=10cm,他进

行了如下操作:

第一步，如图①，将矩形纸片对折，使A。与8C重合，得到折痕MV,将纸片展平.

第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AON,4y交折痕MN于点E，则线段EN

【答案】B

【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键.

根据矩形的性质和折叠的性质推出N/VW=NMW,进而得出£4=4V,设必=4V=wm,则

£M=(12-^)cm,根据勾股定理可得：AM2+ME2=AE2f列出方程求解即可.

【详解】解：•・•四边形A8CO是矩形，

/.AB=CD—10cm,

由折叠可得：AM=-AB=5cm,AD=AD'=\2cm,MN1AB,NDAN=4D'AN,

2

，四边形AMN£＞是矩形，

:.MN\AD,MN=AD=\2cm,

JZDAN=ZANM,

AZANM=NDAN,

：,EA=EN,

设E4=EN=xcm,则EM-(12-x)cm,

在RiA/WE中，根据勾股定理可得：AM2±ME2=AE1，

即52+(12-%)2=/，

解得：户警，

24

169

即EN=——cm,

24

故选：B.

6.（2024・福建•中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶"的平面图案.如图，其中。A3

与《OQC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,尸分别是底边A/L的中点，OE1.OF.下

列推断错误的是（）

B.ZBOC=ZA()B

D.ZBOC+ZAOD=\SOQ

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得乙=由等腰三角形的性质得/8O£=4NAO6,Z：DOF=^DOC,即可

22

判断；

8.43。。不一定等于/水必，即可判断；

C.由对称的性质得小O钻丝cODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GM_L。”，可得4G0D=/B0H,由对称性质得NBOH=NCOH同理可证NAOM=ZBOH,

即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.OEA.OF,

^I3OE+ZBOF=9（r,

由对称得ZAOB=/DOC,

一点、E,尸分别是底边AB,。。的中点，0AA与.OOC都是等腰三角形,

:"BOE=、NAOB,NDOF=1/DOC,

22

AZBOF+ZDOF=90°,

:.OB1OD,结论正确，故不符合题意：

B./80C不一定等于NA08,结论错误，故符合题意;

C.由对称得.0A的二OQC,

•・•点E,尸分别是底边ABCO的中点，

:.OE=OF,结论正确，故不符合题意；

过0作GM_LOH,

•./GOD+ZDOW=90°,

4BOH+/DOH=9（r,

:"GOD=4B0H,由对称得NBOH=NCOH,

:"GOD=/COH,

同理可证ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选；B.

7.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程f-10x+21=0的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得王=3,

々=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,接长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程£-10%+21=0得，X=3,X2=7,

V3+3<7,

工等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

・•・这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选；c.

8.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）如图，在,"C中，ZC=90°.Zfi=30°,以点A为圆心，适当长为

半径画弧分别交人区人。于点M和点N,再分别以点M,N为圆心，大于（MN的长为半径画弧，两弧交于

点〃，连接4,并延长交BC于点。.若“18的面积为8,则△48。的面积是（）

【答案】B

【分析】本题考查了尺规作图，含30。的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AO平

分NBAD,则可求NC4£>=ND43=30。，利用含30。的直角三角形的性质得出CO=gA。，利用等角对

等边得出4）=加，进而得出CD=g8。，然后利用面积公式即可求解.

【详解】解：*：ZC=90。,NB=30。,

/.446=60。，

由作图知：A。平分/ZMO,

・•・ZCAD=ZDAB=30°,

・・・CO=；A。，&二NBAD，

/.AD=BD,

：.CD=-BD

2f

c-CD'ACm[

S

.ACD=2_______J

•S~1~BD~2f

ABD—HpDn-AACr

2

又JC£>的面积为8,

・•・/XABD的面积是2x8=16,

故选B.

9.（2024.安徽•中考真题）如图，在RlZXABC中，AC=8C=2,点。在的延长线上，且CO=A8,则

80的长是（）

ABD

A.V10-V2B.近一五C.2>/2-2D.2x/2->/6

【答案】B

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，刈顶角的性质，勾股定理，过点。作的延长

线于点E,则NBED=90。，由ZAC5=90°,AC=BC=2,可得A8=2&，ZA=ZABC=45°,进而得

到CD=2应，NDBE=45。,即得△或陀为等腰直角三角形，得到设。七=4£=尤，由勾股定理

得（2+力2+/=（2&『，求出x即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作DE_LC4的延长线于点E,则N3M=90。，

VZACB=90°,AC=BC=2,

AB=V22+22=2V2，ZA=ZABC=45°,

，CO=2&,NDBE=45。,

・•・△%）七为等腰直角三角形，

：・DE=BE,

设OE=8E=x,则C£：=2+x,

在Rt/XCDE中，CE'DE?=CD?,

・・・（2+4+/=（2可，

解得8=6-1,工=一6-1（舍去），

ADE=BE=遥7,

・・・8O='（6-1）2+（6-1）2=a-6,

故选：B.

10.（2024.四川自贡•中考真题）如图，等边48。钢架的立柱CO_LA8于点Q,AB长12m.现将钢架立

柱缩短成OE,N4£Z>=60".则新钢架减少用钢（）

A.（24-12x/3）mB.（24—8网mC.（24-6@mD.（24-4@m

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求得OE=2G，

BE=4y[i=AE,CD=6y[3,利用新钢架减少用钢=AC+4C+8—,代入数据计算即可求

解,

【详解】解：•・•等边ABC,CQ_LA8于点D,A8长12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

Zfi£D=60°，

Z.tan60°=—=V3,

DE

，DE=2退,

JRE=ylDE2+RD2=4x/3=>4/?.

•・•ZCTD=60°,

，CD=BI>tan4CBD=廊。=6Gm，BC=AC=AB=\2m,

・•・新钢架减少用钢=40+次7+6-4石-皮?-力月

=24+6^-8^-2>/3=（24-4>/3）m,

故选：D.

11.（2024.天津•中考真题）如图,A8C中，4=30，将4ABe绕点C顺时针旋转60得到AOEC,点中漆

的对应点分别为Q，E，延长84交OE于点尸，下列结论一定正确的是（）

B

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.先根据旋转性质得N8CE=44。力=60。，结合N8=30,即可得证再根

据司旁内角互补证明两直线平行，来分析AC〃。田不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算

得出A和C选项是错误的.

【详解】解：记跖与CE相交于一点”，如图所示：

•・•ABC中，将一A8C绕点。顺时针旋转60得到.O£C,

ZBCE=ZACD=60°

,/ZB=30°

・••在中，ZBHC=180°-Z.BCE-ZB=90°

:・BF工CE

故D选项是正确的，符合题意；

设NAC”=x°

・•・Z4c3=60。*

•・•ZB=30°

・•・ZFDC=ZBAC=1800-300-（600-^）=90°+^

JZ£DC4-ZACD=90o+xo+60o=150°+y3

•・・x0不一定等于30°

・•・乙EDC十/ACD不一定等于18c尸

JAC〃。后不一定成立，

故B选项不正确，不符合题意；

VZ4C^=60o-x°,Z4CD=60°,H不一定等于0。

JZAC8=ZACQ不一定成立，

故A选项不正确，不符合题意；

•・•将ABC绕点C顺时针旋转60得到,DEC,

AD-ED-EF+FD

:・BA>EF

故C选项不正确，不符合题意:

故选：D

二、填空题

12.（2024•浙江•中考真题）如图，D,七分别是“3C边A3,AC的中点，连接电，DE.若

ZAED=NBEC,DE=2,则跖的长为

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得

DE〃BC.BC=2DE=4,得出NC=ZAED=NBEC,得出BE=BC=4

【详解】解：・・・。，E分别是./BC边AB,AC的中点，

；・DE是:ABC的中位线，

:・DE〃BC、BC=2DE=4、

:.乙AED=£C、

•・,ZAED=NBEC,

・•・NC=NBEC,

:,BE=BC=4,

故答案为：4

13.（2024・四川成都・中考真题）如图，在平面直角坐标系直刀中，已知A（3,0）,8（0,2）,过点氏作），轴的

垂浅/,〜为更线/上一动点，连系PO,PA,则PO+PA的最小值为.

【答案】5

【分析】本题考查轴对•称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直线/的对称点A,

连4'。交直线/于点C,连AC,得到AC=A'C,A'A_L/,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短,

得到当O,P,A三点共线时，P0+P4的最小值为A'。，再利用勾股定理求A'。即可.

【详解】解：取点4关于直线/的对称点A,连A0交直线/于点C,连AC,

则可知AC=A'C,

JPO+PA=PO+PA>AO,

即当。RA三点共线时，产0+%的最小值为A。，

•・•直线/垂直于y轴，

:.A'A_Lx轴,

V4(3,0),5(0,2),

/.AO=3.A4'=4,

••・在RJA/。中，

AO=J。*+M=物+4?=5，

14.(2024.天津.中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

（2）点£在水平网格线上，过点A,E,川作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与八”的

延长线相交于点8,C,ABC中，点用在边BC上，点N在边A8上，点〃在边AC上.请用无♦刻♦度♦的直

尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,。，使△MNP的周长最短，并简要说明点M,N,P的位置

是如何找到的（不要求证明）.

【答案】V2图见解析，说明见解析

【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

（I）利用勾股定理即可求解；

（2）作点M关于AB、AC的对称点“2,连接MM】、W,A/2,分别与AB、AC相交于点E、P,

△MAT的周长等于MM2的长，等腰三角形AMM?的腰长为AM,当AM的值最小时，的值最小,

此时M是切点，由此作图即可.

【详解】（1）由勾股定理可知，47="不=&，

故答案为：V2

（2）如图，根据题意，切点为"；连接ME并延长，与网格线相交于点M一取圆与网格线的交点。和格

点”，连接。，并延长，与网格线相交于点A/2；连接MM2,分别与AB,AC相交于点N,P,则点M,

15.（2024.甘肃临夏•中考真题）如图，等腰ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,将.ABC沿其底边中

线A。向下平移，使A的对应点*满足44=:人。，则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

【分析】本题考盒平移的性质，相似;角形的判定和性质，「线合一，根据平移的性质，推出..A'E〃s.A&C,

根据对应边上的中线比等于相似比，求出EF的长，三线合一求出A'D的长，利用面积公式进行求解即可.

【详解】解：•・•等腰中，AB=AC=2fZBAC=120°,

ZABC=30°,

：A£＞为中线，

/.ADIBC,BD=CD,

・•・A£)=；A8=1,BD=6AD=6

J8。=2百，

•・•将/3C沿其底边中线AO向下平移，

・•・B'C'//BC,B'C=BC=273,ArG=AD=\,

・•..A£7SA"。,

.EFA'D

B'C~~^G'

VAA^-AD,

3

222

：.DA,=-AD=-A,G=~,

333

.EF_AfD2

，，Wc~~ArG~3,

•52,,

••EF=—BC=----，

33

A

.c1以，八14x/3v24G

2“22339

故答案为：迪.

9

16.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）矩形A8CD的面积是90,对角线AG80交于点O,点E是BC边的

三等分点，连接DE,点P是OE的中点，。尸=3,连接CP,则PC+庄的值为.

【答案】13或Ji丽

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理.当时，利用三角形中位线定理

求得CE=12,再求得矩形的边长,利用勾股定理求得DE的长,再根据斜边中线的性质即可求解;当CE<BE

时，同理求解即可.

【详解】解；当时，，如图,

•・•拒形A8CQ,

，点。是8。的中点，

•・•点P是OE的中点，

:.BE=2OP=6,CP=PE=PD,

•・•点£是8c边的三等分点，

：,CE=2BE=\2,BC=3BE=\^,

•・•矩形ABC。的面积是90,

,5CxCD=90,

：.CD=5,

JDE=752+122=13»

・•・PC+PE=DE=13；

当CE<8E时，如图，

•・•矩形A8CZ),

・••点O是4。的中点，

•・•点尸是。石的中点，

:・BE=2OP=6,CP=PE=PD,

•・•点E是8c边的三等分点，

：.CE=-BE=3BC=3+6=9,

2f

•・•矩形A8CD的面积是90,

/.BCxCD=90,

/.CD=10,

•**DE=Vy+107=V109，

，PC+PE=DE=y/iw；

故答案为：13或Ji丽.

17.（2024.山东•中考真题）如图，已知/MAN,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN

相交于点8,C;分别以8,C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在/MAN内部相交于点产，

作射线4L分别以A,8为圆心，以大于的长为半径作瓠，两弧相交于点。，E,作直线OE分别

与/W,AP相交于点/，Q.若AA=4,/PQE=675。,贝UP到AN的距离为______.

/M

N

【答案】V2

DE1ABAF=BF=^-AB=2,再证明

【分析】如图，过尸作"/_LAC于”，证明N84尸=NC4尸，

2

ZM//=45°,再结合勾股定理可得答案.

【详解】解：如图，过尸作"/_LAC于”，

/M

—N

由作图可得：ZBAP=ZCAP,DE上AB,AF=BF=-AB=2,

2

••・NPQE=67.5°,

・.・4Qr=67.5°,

・•・/BAP=ZC4P=90°-67.5°=22.5°,

/.44〃=45。，

，AH=FH=—AF=42,

2

J厂到AN的距离为

故答案为：y/2

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三

角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作.

18.（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）己知矩形纸片ABC。，A8=5,BC=4,点P在边BC上,连接公，

将二沿AP所在的直线折叠，点8的对应点为9,把纸片展平，连接33'，CB',当V8C笈为直角三角

形时，线段。的长为.

【答案】；或2

【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进

行讨论：当N8CV=90。时，当N89C=90。，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：•・•四边形ABC。为矩形，

ZBCD=ZADC=ZABC=ZBAD=90°,AB=CD=5,AD=BC=4,

当N8C8'=90。时，如图所示：

・••点B'在C。匕

根据折叠可知：A8'=A8=5,BP=BP.

设CP=x,则8/=8'尸=4一工，

-DB,=yjAB,2-AD2=V52-42=3>

CF=DC-DB'=5-3=2,

在Rt.CQP中，根据勾股定理得：BP=BP?+亦,

即（47『=2、/，

解得：》=■!，

即C尸=］3；

当N88'C=90。，如图所示:

，NPBH=NP&B，

•；NPBH+NBCB'—,ZPBfB+ZPB,C=90°,

・•・NBCB'=NCB'P,

：・PC=PE,

:.PC=PB,

'：BC=BP+PC=4,

；・CP=2；

3

综上分析可知：=1或2.

故答案为：g或2,

19.(2024・四川内江•中考真题)如图，在二ABC中，ZABC=60。,BC=8,E是8C边上一点，且跳：=2,

点/是,ABC的内心，4/的延长浅交AC于点。，P是BD上一动点,连接依、PC,则PE+PC的最小

值为.

【答案】2/

【分析】在A8取点F,使BF=BE=2,连接&LCF,过点r作F”_L8c于〃，利用三角形内心的定

义可得出NABD=NCBD,利用SAS证明BF咯BEP,得出PF=PE,则依+PC=0产+PCNb,当C、

P、/三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,利用含3()。的直角三角形的性质求出4”,利用勾股定

理求出“，CF即可.

【详解】解：在48取点凡使BF=BE=2,连接尸尸，CF,过点、F作FHLBC于H,

A

,门是ABC的内心,

・・・8/平分NA8C,

/.ZABD=NCBD,

乂BP=BP,

・•・BFP^£?EP（SAS）,

:・PF=PE,

：,PE+PC=PF+PC>CF,

当C、P、尸三点共线时，PE+?C最小，最小值为CF,

•：FHIBC,ZABC=60°,

JZBF/7=30°,

，BH=-BF=l

2f

：・FH=ylBF2-BH2=5CH=BC-BH=Jt

•**CF=y/CH2+FH2=2V13，

:.PE+PC的最小值为2.

故答案为：2历.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等

知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30。的直角三角形是解题的关键.

20.（2024.四川广元.中考真题）如图，在。13c中，A3=5,tan/C=2,则AC+且8C的最大值为.

5

C

%

【答案】如

【分析】过点8作BO1.AC,垂足为£>,如图所示，利用三角函数定义得到AC+且BC=AC+OC,延

5

长。。到E,使EC=C。二x,连接跖，如图所示，从而确定AC+@BC=AC+QC=4C+CE=AE,

5

NE=45。，再由辅助圆■定弦定角模型得到点E在（O上运动，AE是。的弦，求AC+@3C的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即人上是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：过点B作3O_LAC,垂足为。，如图所示:

tanZC=2,

・•・；生Rt8c。中，设OC=x,则8力=2x,由勾股定理可得8C=6x,

DCXRnbv

...—=-j^=—，—BC=DC,

BCy/5x55

「•AC+—BC=AC+DC,

5

BDA.DE,DE=2x=BD,

.••二加乃是等腰直角三角形，则NE=45。,

@8。的

5

最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心。，即AE是直径时，弦最大，如图所

示:

AE是（。的直径,

■•一--

ZABE=90°,

ZE=45°,

••・是等腰直角三角形，

,48=5,

•.BE=AB=5,则由勾股定理可得AE="AB?+BE?=5/，即AC+当8C的最大值为5五，

故答案为：5叵.

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、

圆周角定理、动点最值问题一定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题一定弦定角模型的解法是解决问

题的关键.

三、解答题

21.（2024•陕西•中考真题）如图，已知直线/和/外一点A,请用尺规作图法，求作•个等腰直角

使得顶点B和顶点。都在直线/上.（作出符合题意的•个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作

法）

A

■

【答案】见解析

【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图.过点A作A8JJ,垂足为3,再在直线/上截取

点C,使8C=A8,连接AC,则，A8C是所求作的等腰直角三角形.

【详解】解：等腰直角乂8c如图所示：

A

22.(2024.黑龙江牡丹江•中考真题)数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在RI/XA8C中,

4cB=90。./84。=30。，点。在直线BC上，将线段AO绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,过点£作

EF//BC,交直线A8于点足

B

%/Arrc——//\

CFE一°C

图①图②图③

(I)当点。在线段8C上时，如图①，求证：BD+EF=AB；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在43上截取AM=收，

连接/W,通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题：

(2)当点。在线段BC的延长线上时，如图②：当点。在线段C8的延长线上时，如图③，请判断并直接

写出线段8。，EF,A8之间的数量关系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的条件下，若AC=6G，CD=2BD,则石尸=.

【答案】(1)见解析；⑵图②：AB=BD-EF,图③：AB=EF-BDi(3)10或18

【分析】(1)在A8边上截取AM=所，连接OM,根据题意证明出DAM^AEF(SAS),得到AF=DM,

然后证明出..8WQ是等边三角形，得到=进而求解即可；

(2)图②:在3。上取点“，使BH=43,连接AH并延长到点G使人G=人尸，连接DG,首先证明出一A4”

是等边三角形，得至ijNB4"=60。，然后求出=然后证明出一格性.GAO(SAS),得到

EF=DG,ZAFE=NG,然后证明出△O〃G是等边三角形，得到==进而求解即可；

图③：在E尸上取点〃使=同理证明出.AOB(AAS),得到8O=A〃，AB=EH,进而

求解即可；

（3）根据勾股定理和含30。角直角三角形的性质求出BC=6,AB=12,然后结合CZ）=25D,分别（1）

（2）的条件下求出8。的长度，进而求解即可.

【详解】（1）证明：在A8边上截取A"=M,连接OM.

在RtA48C中，Z^=90o-ZZ?AC=90°-30o=60°.

EFBC,

：./EF8=N3=6O°.

又./石40=60。，

:./EFB=AEAD.

又.ZBAD=^EAD-AEAF,ZAEF=/EFB-ZEAF,

:./BAD=ZAEF.

又.AD=AE,AM=EF,

.工DW空A£F（SAS）.

:.AF=DM.

/AMD=NEFA=180°-/EFB=180°-60°=120°.

:"BMD=180°—ZAMD=180°-120°=60。.

ZB=60°,

:./BMD=ZB=ZBDM.

.•…8MD是等边三角形.

:.BD=BM=DM,

AB=AM+BM,

AB=EF+BD；

（2）图②：当点。在线段BC的延长线上时，AB=BD-EF,证明如下：

如国所示，在4。上取点，，使B〃=A/L连接A”并延长到点G使AG二A/，连接OG,

*/ZABC=60°,

・•・ABH是等边三角形,

・•・ZBAH=60°,

•・•浅段4。绕点A顺时针旋转60c得到线段AE,

/.Z£V\E=60°,AE=AD,

：・NBAH=NDAE,

，ZBAH-Z.EAH=ZDAE—NEAH,即ZBAE=ZHAD，

又；AG=AFt

・•・E4E且GAO(SAS),

：,EF=DG,ZAFE=NG,

'：BD//EF,

JZABC=ZF=ZG=ar,

NOHG=NAH8=60。，

・•・△D”G是等边三角形，

DH=DG=EF,

JAB=BH=BD-DH=BD-EF；

图③：当点。在线段CB的延长线上时，AB=EF-BD,证明如下：

如务所示，在石尸上取点”使47=A尸，

•：EF//BC,

JZF=ZABC=60°,

*：AH=AF.

:./\AHF是等边三角形，

.•.ZAHF=ZZMF=60°,

AZA^Z-=120°,

・・•将线段AD绕点、A顺时针旋转60°得到线段AE,

•\AD=AE,ZZ14E=6()0,

JNDAB+ZEAH=180°-/LEAD-ZHAF=60°,

•・•ZD+ZDAB=ZABC=60°.

:・ND;NEAH,

•・•/DBA=180°-ZABC=120°=Z.EHA,

又「AD=AE,

AEAH^ADB（AAS）,

:,BD=AH,AB=EH,

VAH=FH,

:・BD=HF,

JAB=EH=EF-FH=EF-BD；

（3）如图所示，

:・AB=2BC,AB2=BC2+AC2.

/.（2BC）2=fiC2+（6x/3）2,

・•・BC=6,

：.AB=2BC=\2,

'：CD=2BD,BC=BD+CD,

ACD=-BC=2,

3

由（I）可知，BD+EF=AB,

/.EF=AB-BD=12-2=10：

如绍所示，当点。在线段8c的廷长线上时,

A

，：CD<BD,与CD=2BD矛启,

・•・不符合题意；

如省所示，当点。在线段C8的延长线上时,

'：CD=2BD=BD+BC,BC=6,

:・BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF-BD,

•・•AB=2BC=\2,

/.£F=AB+B£>=12+6=18.

综上所述，所'=10或18.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30。角直角三角

形的性质，解题的关键是掌握以上知识点.

23.（2024•江西•中考真题）追本溯源:

题（I）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.

（I）如图1,在工BC中，8。平分/ABC,交AC于点D,过点。作8c的平行线，交人8于点E,请判

断一笈/）£•的形状，并说明理由.

方法应用：

（2）如图2,在YA8C。中，的平分ZA6C,交边AD干点£,过点A作A£L6石交。C的延长线于点尸，

交BC于点、G.

①国中一定是等腰三角形的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

②已知4?=3,BC=5,求CF的长.

【答案】（1）ABDE是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②B=2.

【分析】本题考查/平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和

等腰三角形的判定是解题的关键；

（I）利川角平分线的定义得到/4BO=NC8。，利用平行线的性质得到/%>E=NC8Q,推出

ZBDE=ZABD,再等角对等边即可证明一瓦汨是等腰三角形：

（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；

②由①得D4=力产，利用平行四边形的性质即可求解.

【详解】解：（1）二及M是等腰三角形；理由如下：

*/5。平分/A3C,

JZABD=4CBD,

VDE〃BC,

工/BDE=/CBD,

:,必DE=ZABD,

:・EB=ED,

・・・_比应是等腰三角形；

（2）①•・,YA5CD中，

AAE//BC,AB//CD,

同（1）ZABE=NCBE=ZAEB,

・•・AB=AE,

,/AFLBE,

/.ZBAF=NEAF,

VAE//BC,AB//CD,

ZBGA=ZEAF,ZBAF=/F,

*/NBGA=NCGF,

•••NBGA=NBAG,ZDAF=NF,4CGF=NF,

••AB=AG,DA=DF，CG=CF,

即“BE、，ABG、△ADF、尸是等腰三角形；共有四个,

故选：B.

②・・・YA8CD中，AB=3,BC=5,

/.AB=CD=3,BC=AD=5,

由①得DA=O尸，

/.CF=DF-CD=5-3=2.

24.（2024•山东威海•中考真题）感悟

如羽1,在nA座:中，点C,。在边跳:上，AB=AE,BC=DE.求证：/BAC=/EAD.

图I

应用

（I）如图2,用直尺和圆规在直线3C上取点。，点E（点。在点E的左侧），使得=且

DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图3,用直尺和圆规在直线AC上取一点。，在直线BC上取一点E,使得NC"：=NBAC,且

DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：

证明△AB8MED,即可求得ZBAC=ZEAD；

应用（1）：以点A为圆心，以48长度为半径作弧，交直线6C于一点，该点即为点E，以点A为圆心，以

AC长度为半径作弧，交直线6C于一点，该点即为点。，连接A。，AE;

应用（2）：以点。为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点O,以点。为圆心，

以8C长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E,连接OE.

【详解】感悟：

A/3=AE,

：・^B=/E.

在.ABC和△AEO中

AB=AE

,NB=NE

BC=DE

：.A.ABC^^AED.

，ZBAC=ZEAD.

应用：

(I)：以点A为圆心，以AB长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E,以点A为圆心，以AC

长度为半径作弧，交直线8c于一点，该点即为点O,连接AO,AE,图形如图所示.

(2)：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点Q,以点C为圆心，以BC

长为半径作弧，交直线8c于一点，该点即为点E,连接。E,图形如图所示.

根据作图可得：CD=AC,CE=BC,

又ZACB=/DCE,

・•・ACB^,DCE,

，NCDE=NBAC,DE=AB.

25.(2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题)己知》8c是等腰三角形，A13=AC,AMAN=^I3AC,/MAN

在N84C的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段8M、NC、MV之间的数量关系.

(I)如图①，当/B4C=90。时，探究如下：

由ABAC=90°,AB=AC可知，将AACV绕点A顺时针旋转90°,得到A/WP,则CN=BP且/PBM=90°,

连接PM，易证△AM。gZVIMV,可得例N,在R〔Z\P8M中，BM^+BP2=乂尸，则有

BM2+NC2=MN2.

(2)当4MC=60°时，如图②：当N84C=120。时，如图③，分别写出线段8M、NC、MN之间的数量关

系，并选择图②或图③进行证明.

【答案】图②的结论是：BM、NC?+BM-NC=MN3图③的结论是：BM?+NC?-BM.NC=MN2:证

明见解析

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一

半，勾股定理等知识，选②，以点B为顶点在ABC外作ZABK=60。,在BK上截取8Q=CN,连接

Q4QM,过点。作Q〃_L3C,垂足为H,构造全等三角形，得出AN=AQ,/CAN=NQAB,再证明

△AQM9XANM、得到MN=QM；在RtAQHM中由勾股定理得。，即

/厂、//、

浮BQ2=QM"整理可得结论：选③方法同②

【详解】解：图②的结论是：BM24-NC2+BM-NC=MN2

证明：VAB=AC,ZBAC=60°,

・•・4BC是等边三角形，

JZABC=ZACB=6O0,

以点8为顶点在48C外作NABK=60。，在3K上截取8Q=CN,连接。4、QM,过点。作0〃_L3C,

垂足为“，

.•△ACN=△48Q

:.AN=AQt/CAN=NQAB

又NCW+N8W=30。

/.+ZQAB=30°

即NQAM=NMAN

又，AM=AM,

.•.△AQM94ANM,

:.MN=QM：

•・•ZABQ=60°,ZABC=60°,

JNQBH=60。,

JNBQH=30。,

BH=^BQ,QH=^-BQ

HM=BM+BH=BM+^BQ,

在RlZ\Q"M中，可得：QH2+HM~=QM2

整理得BM2+BQ2+BM-BQ=QM2

:,BM