2024届中考适应性考试数学试题含解析

2024届北京师范大学附属中学中考适应性考试数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选投题（每小题只有一个正确答窠，每小题3分，满分30分）

1.如图，AB是。O的弦，半径OC_LAB于点D,若。O的半径为5,AB=8,则CD的长是（）

A.2B.3C.4D.5

2.下列事件中，属于不确定事件的是（）

A.科学实验，前100次实验都失败了，第101次实验会成功

B.投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点

C.太阳从西边升起来了

D.用长度分别是3cm,4cm,5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形

3.下面运算正确的是（）

A.（-）~1=——B.（2a）2=2a2C.x2+x2=x4D.|a|=|-a|

4.一组数据L2,3,3,4,1.若添加一个数据3,则下列统计量中，发生变化的是（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A,等边三角形B.菱形C.平行四边形D.正五边形

6.下列运算结果正确的是（）

A.（X5-x2+x）4-x=x2-xB.（-a2）*aJ=a6C.（-2x2）3=-8x6D.4a2-（2a）2=2a2

7.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角NABO为山则

树OA的高度为（)

30s加a米C.30S〃a米D.30cosa米

tanor

8.如图，△ABC中，AD1BC，AB=AC,ZBAD=30°,且AD=AE则NEDC等于()

A.10°B.12.5°C.15°D.20

9.一;的相反数是（）

11

A.-B.--C.3D.-3

JJ

10.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学记数法表示为（）

A.5.6x10'1B.5.6x102C.5.6x103D.0.56x101

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.甲、乙两人分别从A,B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速

度是_km/h.

12.计算：3〃-Ca~2b）=.

13.二次函数y=、2_2x+l的对称轴方程是x=.

14.无锡大剧院演出歌剧时，信号经电波转送，收音机前的北京观众经过0.005秒以听到，这个数据用科学记数法可

以表示为秒.

15.某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根

据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为元.

IOTU

25元

18元

16.如图，R/_ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=2f将二ABC绕点C逆时针旋转至VA'B'C,使得点A

恰好落在AB上，AZT与BC交于点O,则△A'CD的面积为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，NBAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,交BC于点F,NABC的平分线交AD于点E.

（2）若NBAC=90。，BD=4,求△ABC外接圆的半径；

（3）若BD=6,DF=4,求AD的长

19.（5分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保

持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DEMMm,EF=0.2m,测得边DF离地面的高度

AC=1.5m»CD=8ni»求树高.

20.（8分）在乙ABC中，AB=ACRBC,点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC,ZBAC=a,NDBC邛，且a+p=110°,

连接AD,求/ADB的度数.（不必解答）

小聪先从特殊问题开始研究，当a=90。，0=30。时，利用轴对称知识,

以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD，，连接CD，（如图1）,然后利用a=90。，0=30°以及等边三角形等相

关知识便可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△ABC的形状是三角形；NADB的度数

为.在原问题中，当NDBCV/ABC（如图1）时，请计算NADB的度数；在原问题中，过点A作直线AE±BD,

交直线BD于E,其他条件不变若BC=7,AD=1.请直接写出线段BE的长为.

21.（10分）抛一枚质地均匀六面分别刻有1、2、3、4、5、6点的正方体骰子两次，若记第一次出现的点数为a,第

ax+by=3

二次出现的点数为b,则以方程组i--的解为坐标的点在第四象限的概率为

x+2y=2---

22.（10分）某学校为弘扬中国传统诗词文化，在九年级随机抽查了若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个

等级；A、B、C、D,对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，并将统计结果绘制成两幅如图所示的统计图.请结

合图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽查测试的学生人数为,图①中的a的值为

（2）求统计所抽查测试学生成绩数据的平均数、众数和中位数.

23.（12分）如图，已知抛物线y=9-4与x轴交于点48（点A位于点B的左侧），。为顶点，直线经过

点4,与），轴交于点O.求线段4。的长；平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为。.若新抛物线经

过点。，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CO平行于直线AO,求新抛物线对应的函数表达式.

1、

24.（14分）如图，抛物线），=一一+bx+c经过点A（・2,0）,点8（0,4）.

2

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）产是抛物线对称轴上的点，联结A"、PBf如果求点尸的坐标；

（3）将抛物线沿y轴向下平移机个单位，所得新抛物线与j轴交于点。，过点。作O£〃x轴交新抛物线于点£,射

线EO交新抛物线于点F,如果£0=2。凡求m的值.

参考答案

一、选拦题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

试题分析：已知AB是。O的弦，半径OC_LAB于点D,由垂径定理可得AD=BD=4,在RtAADO中，由勾股定理

可得OD=3,所以CD=OCOD=5-3=2.故选A.

考点：垂径定理；勾股定理.

2、A

【解析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【详解】

解：A、是随机事件，故A符合题意；

B、是不可能事件，故B不符合题意；

C、是不可能事件，故C不符合题意；

D、是必然事件，故D不符合题意；

故选A.

【点睛】

本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的

概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不

发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3、D

【解析】

分别利用整数指数塞的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、绝对值的性质分别化简求出答案.

【详解】

解:A,(；尸=2,故此选项错误；

B.(2a>=4/.故此选项错误；

C,f+/=2/,故此选项错误；

D,同=|一4，故此选项正确.

所以D选项是正确的.

【点睛】

灵活运用整数指数塞的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、绝对值的性质可以求出答案.

4、D

【解析】

A.V原平均数是：(1+2+3+3+4+1)+6=3;

添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3)4-7=3;

・・・平均数不发生变化.

B.,・•原众数是：3:

添加一个数据3后的众数是：3:

・・・众数不发生变化；

C二原中位数是:3;

添加一个数据3后的中位数是：3;

・・・中位数不发生变化；

,原方差是：（3-1『+（3-2）2+（3-3）2x2+（3-4）2+（3-5）26

63

添加-个数据3后的方差是：（3-户（3-2『+（3-3八3十（3-盯十（3-5）、&

77

・•・方差发生了变化.

故选D.

点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.

5、B

【解析】

在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内一

个图形绕某个点旋转180。，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别判断各选项即可

解答.

【详解】

解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键.

6、C

【解析】

根据多项式除以单项式法则、同底数嘉的乘法、积的乘方与籍的乘方及合并同类项法则计算可得.

【详解】

A、（x3-x2+x）vx=x2-x+b此选项计算错误；

B、（-a2）-a^-a5,此选项计算错误；

C、（-2x03=8x6,此选项计算正确；

D、4a2-（2a）2=4a2-4a2=0,此选项计算错误.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式法则、同底数幕的乘法、积的乘方与箱的乘方及合并

同类项法则.

7、C

【解析】

试题解析：在RSABO中，

•・・BO=30米，NABO为a,

AO=BOtana=30tan«（米）.

故选C.

考点：解直角三角形的应用.仰角俯角问题.

8、C

【解析】

试题分析：根据三角形的三线合一可求得NDAC及NADE的度数，根据NEDC=90O-NADE即可得到答案.

二•△ABC中，AD±BC>AB=AC,ZBAD=30°,

AZDAC=ZBAD=30°,

VAD=AE（已知），

:.ZADE>75°

:.ZEDC=90°-Z/\DE=15°.

故选C.

考点：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理

点评：解答本题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

9、B

【解析】

先求一：的绝对值，再求其相反数：

根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点-g到原点的距离是:，所以一：的绝对

值是—；

相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是1.因

此:的相反数是一:.故选B.

33

10、B

【解析】

0.056用科学记数法表示为：0.056=5.6x10-2,故选B.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、3.6

【解析】

分析：根据题意，甲的速度为6km/h,乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题.

详解：由题意，甲速度为6km/h.当甲开始运动时相距36km,两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇.

设乙的速度为xkm/li

4.5x6+2.5x=36

解得x=3.6

故答案为3.6

点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义.解答这类问题时，也可以通过

构造方程解决问题.

12、2a+2b

【解析】

根据平面向量的加法法则计算即可.

【详解】

3。・(a-2Z?)

=3。-。+2。

=2a+2b,

故答案为：2a+2b,

【点睛】

本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法法则是解题的关键.

13、1

【解析】

利用公式法可求二次函数y=xL2x+l的对称轴.也可用配方法.

【详解】

b-2

,:.—=--=1>

2a2

:.x=l.

故答案为：1

【点睛】

本题考查二次函数基本性质中的对称粕公式；也可用配方法解决.

14、5乂10-3

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl(T,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数零，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

0.005=5*10

故答案为：5x10」.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO,其中iga|V10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定.

15、17

【解析】

根据饼状图求出25元所占比重为20%,再根据加权平均数求法即可解题.

【详解】

解：1-30%-50%=20%,

・・・25x20%+10x30%+18x50%=17.

【点睛】

本题考查了加权平均数的计算方法，属于简单题，计算25元所占权比是解题关键.

16G

2

【解析】

首先证明ACAA，是等边三角形，再证明△A，DC是直角三角形，在RSA，DC中利用含30度的直角三角形三边的关

系求出CD、即可解决问题.

【详解】

在RSACB中，ZACB=90SNB=30',

:.NA=60°,

V△ABC绕点C逆时针旋转至△A4VC,使得点A，恰好落在AB上，

・・・CA=CA'=2，NCA'B'=NA=60。，

:.Z\CAA，为等边三角形，

・•・NACA，=60。，

:.ZBCAr=ZACB-NACA'=900-60°=30°，

:.ZArDC=180°-ZCArBr-ZBCAr=90o»

在RSA'DC中，VZArCD=30°>

，A，D=；CA，=1,CD=X/JA，D=5

・・・S△…gc=gx6xl考

故答案为：2

2

【点睛】

本题考查了含30度的直角三角形三边的关系，等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，掌握旋转的性质”对应点到

旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等”是解题的关键.

17、-4a+7b

【解析】

根据平面向量的加法法则计算即可

【详解】

-3•一

b-4（a--b）=b-4a+6b=-4a+7b,

故答案为：-4a+7/?

【点睛】

本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以

及结合律，适合去括号法则.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）见解析；（2）2灰（3）1

【解析】

（1）通过证明NBED=NDBE得至IjDB=DE;

（2）连接CD,如图，证明ADBC为等腰直角三角形得到BC=0BD=40,从而得到△ABC外接圆的半径;

（3）证明ADBFs/iADB,然后利用相似比求AD的长.

【详解】

（1）证明：TAD平分NBAC,BE平分NABD,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

/.ZBED=Z1+Z3=Z2+Z4=Z5+Z4=ZDBE,

:.DB=DE;

（2）解：连接CD,如图，

D

VZBAC=10%

ABC为直径，

AZBDC=10°,

VZ1=Z2,

ADB=BC,

AADBC为等腰直角三角形，

・•・BC=V2BD=4A/2>

AAABC外接圆的半径为2&;

（3）解：VZ5=Z2=ZbZFDB=ZBDA,

.,.△DBF^AADB,

.BD^DF即64

’‘DAF'，曲-6'

AAD=1.

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也

考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.

19、树高为5.5米

【解析】

DFEF

根据两角相等的两个二角形相似，可得△DEFS/XDCB,利用相似二角形的对边成比例，可得;=­，代入

DCCB

数据计算即得BC的长，由AB=AC+BC,即可求出树高.

【详解】

VZDEF=ZDCB=90°,ND=ND,

AADEF^ADCB

DEEF

~DC~~CB

VDE=0.4m,EF=0.2m,CD=8m>

0.40.2

8CB

ACB=4（m）,

AAB=AC+BC=1.5+4=5.5（米）

答：树高为5.5米.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.

20、（1）①△DBC是等边三角形，②NADB=30°（1）ZADB=30°;（3）7+g或7•百

【解析】

（1）①如图1中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD,ADS由△ABDgZiABD，，推出△D，BC是等边三角

形；

②借助①的结论，再判断出△AD，BgZkAD，C,得NAD，B=NAD，C,由此即可解决问题.

（1）当60。＜（/$110。时，如图3中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD。ADS证明方法类似（1）.

（3）第①种情况：当60。＜&910。时，如图3中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD,ADS证明方法类似

（1）,最后利用含30度角的直角三角形求出DE,即可得出结论；第②种情况：当0。＜（1＜60。时，如图4中，作NABD，

=ZABD,BD，=BD,连接CD，，AD*.证明方法类似（1）,最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.

【详解】

（1）①如图1中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD,ADS

BC

图2

VAB=AC»NBAC=9（『,

:.ZABC=45°,

VZDBC=30°,

AZABD=ZABC-ZDBC=15°,

AB=AB

在△ABD和△ABD冲，</ABD=NABD'

BD=BD'

.,.△ABD^AABDS

/.ZABD=ZABDr=15°,ZADB=ZADfB,

:.ZD,BC=ZABD,+ZABC=6J0°,

VBD=BDSBD=BC>

:.BDr=BC,

J.△D，BC是等边三角形，

②•••△）BC是等边三角形，

AD,B=D,C,NBD，C=60。，

AD=AD'

在AAAB和AAD，C中，。'8=O'C

AB=AC

.,.△ADrB^AADrC,

:.ZADfB=ZADrC,

1

:.ZAD'B=—NBDrC=30°,

2

:.ZADB=30°.

（1）VZDBC<ZABC,

.,.60°<a<110°,

如图3中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD，，AD，,

图3

VAB=AC，

:.ZABC=ZACB,

VZBAC=a,

1、1

:.ZAB€=-（z180°-a）=90°--a,

22

:.ZABD=ZABC-ZDBC=900--a-B,

2

同（1）①可证△ABD0Z\AB»,

1

AZABD=ZABDr=90°-----a-p,BD=BD',ZADB=ZADB

2

・・・ND'BC=NABD'+NABC=90°--a-0+90。--a=180°-（」a+0），

^2^2

Va+p=110°,

:.ZDrBC=60°,

由（1）②可知，AAD，B空△AD，C，

，NAD生NADC

:.ZADrB=-ZBDrC=30°,

2

:.ZADB=30°.

（3）第①情况：当60°〈aV110。时，如图3・1，

图3-1

由（1）知，ZADB=3（r,

作AE±BD,

在RtAADE中，NADB=30。，AD=1,

:.DEFG，

♦・・△BCD，是等边三角形，

/.BD=BC=7,

r.BD=BD=7,

:.BF>BD-DE^7-y/3;

第②情况：当o,yuV6O"时，

如图4中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD,AD。

型4

同理可得：ZABC=-（180°-a）=90°--a,

22

AZABD=ZDBC-NABC=0-（90。--u）,

同（1）①可证△ABDg^ABD、

AZABD=ZABDr=p-（90°-^a）,BD=BD,,NADB=NAD'B,

，ND'BC=NABC-NABD'=900・'a-甲-（900--a）]=180°-（a+p）,

22

・・・D'B=D'C,NBD'C=60°・

同（l）②可证△AD，Bg△AD，C,

/.ZADrB=ZADrC,

VNAD'B+NAD'C+NBD'C=360。，

AZADB=ZADrB=150°,

在RtAADE中，ZADEP30°,AD=1,

:.DE=x/3，

:.BF>BD+DEP7+G，

故答案为：7+6或7-

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质.等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

1

21、

12

【解析】

解方程组根据条件确定a、b的范围，从而确定满足该条件的结果个数，利用古典概率的概率公式求出

x+2y=2

方程组只有一个解的概率.

【详解】

（ax+hy=3

*=2，

2b-6

x=------->0

b-2a

得

3-2。

<0

b-2a

b>3

若b>2a,、3

a>—

2

即a=2,3,4,5,6b=4,5,6

符合条件的数组有（2,5）（2,6）共有2个,

b<3

若b〈2a,-3

1^2

符合条件的数组有（1,1）共有1个,

1+21

；・概率p=

1

故答案为:

12,

【点睛】

本题主要考查了古典概率及其概率计算公式的应用.

22、（1）50、2;（2）平均数是7.11;众数是1;中位数是1.

【解析】

（1）根据A等级人数及其百分比可得总人数，用C等级人数除以总人数可得。的值;

（2）根据平均数、众数、中位数的定义计算可得.

【详解】

12

（1）本次抽查测试的学生人数为14・21%=50人，«%=--xl0（）%=2%,即〃=2.

故答案为50>2;

14x9+20x8+12x7+4x6

（2）观察条形统计图，平均数为=7.11.

50

・・,在这组数据中，1出现了20次，出现的次数最多，.••这组数据的众数是1・

Q1Q

・・•将这组数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1,・••一・,•这组数据的中位数是1・

2

【点睛】

本题考查了众数、平均数和中位数的定义.用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将

一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中

位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有

数据之和再除以数据的个数.

23、(1)172-4x+l或y=xi+6x+l.

【解析】

（1）解方程求出点4的坐标，根据勾股定理计算即可；

（1）设新抛物线对应的函数表达式为：），=/+加+1,根据二次函数的性质求出点。的坐标，根据题意求出直线CO

的解析式，代入计算即可.

【详解】

解：（1）由/-4=0得，Xi=-1,Xi=l,

•・,点4位于点B的左侧，

：.A（-1,0）,

V直线y=x+m经过点A,

:.-1+m=0，

解得=1,

，点Q的坐标为（0,1）,

・・・4O=Jo^+OD2=172;

（1）设新抛物线对应的函数表达式为：），=/+总+1,

bb2

y=xl+bx+l=（x+—）'+1--,

24

则点O的坐标为（-ki・2），

24

・.・（？平行于直线4。，且经过C（O,・4）,

・・・直线CC，的解析式为：y=x・4,

£b

T2