2024届宁夏大学附中数学高二年级上册期末检测试题含解析

2024届宁夏大学附中数学高二上期末检测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.不等式Y—3x+2W0的解集是()

A.{x|l<x<2}<x<2}

C.{x|x<l或x>2}D.{戈|尤<1或xN2}

2.直线y=Lt+l与曲线/(x)=alnx+〃相切于点P(l,2),贝|2a+Z?=()

A.4B.3

C.2D.l

22

3.已知双曲线C：二一六的左焦点为凡O为坐标原点，N两点分别在C的左、右两支上，若

四边形OPMN为菱形，则C的离心率为()

A.5/^+1B.百

C.V3+ID・2&

4.某种心脏手术成功率为0.9,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生

09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9,故我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术

成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：

812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()

A.0.9B.0.8

C.0.7D.0.6

5.直线y=2x+l关于直线y=x对称的直线方程为。

A.x-3)+1=0B.x-3y-\=0

C.x-2y-l=0D.x-2y+l=O

77

6.已知函数/(x)=rcos(i—x),则/(二)等于()

A.OB.2

7171

C.—D.一一

22

7.等差数列x,x+2,3x+6,…的第四项为()

A.5B.6

C.7D.8

8.已知空间向量〃，b，c，下列命题中正确的个数是()

①若〃与b共线，b与c共线，则〃与c共线；

②若a，bt0非零且共面，则它们所在的直线共面；

⑧若〃，b,C不共面，那么对任意一个空间向量P，存在唯一有序实数组(x,yz),使得〃=x〃+)协+ZC；

④若〃，人不共线，向量c=+则,，dc｝可以构成空间的一个基底.

A.OB.1

C.2D.3

9.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软

件激活码，，的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列

1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是2。，接下来的两项是2。，2',再接下来的三项

是2。，2L22,依此类推.求满足如下条件的最小整数MN>100且该数列的前N项和为2的整数第.那么该款软件的激

活码是

A.440B.330

C.220D.110

10.函数/(x)=g/+2/+3x在［-2,2］上的最小值为。

14

A.—B.4

3

,84

C.一一D.一一

33

11.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三〃人中，抽取180人进行

问卷调查.已知高二被抽取的人数为60人，那么高三被抽取的人数为()

A.72B.60

C.48D.84

12.已知尸是边长为6的等边令44c所在平面外一点，PB=4,当三棱锥产一的体枳最大时，三棱锥"一A4C

外接球的表面积为()

A.16兀B.32兀

C.64nD.256兀

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/。)=依2-何才有三个零点，则实数。的取值范围为.

14.已知点尸是抛物线丁=2*(〃>0)的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若

|4尸|=10,则的面积为.

15.记S,为等差数列｛q｝的前〃项和.若q=-2,生+4=2,则S1o=

16.已知三角形OA〃顶点0(0,0),4(2,4),8(3,-6),则过3点的中线长为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，四棱锥，一ACDE中，AB=AC=5AE//CD,2AE—CD—BC—2,AE_L平面A〃C.

(D在线段8。上是否存在一点E使得E/〃平面ABC?若存在，求出产的位置；若不存在，请说明理由;

(2)求四棱锥B—ACQE的体积.

18.(12分)己知抛物线£:)，2=2*(〃>0)的焦点为凡以尸和准线上的两点为顶点的三角形是边长为竽的等

边三角形，过。(-1,0)的直线交抛物线E于A,〃两点

(1)求抛物线E的方程；

(2)是否存在常数4,使得|人耳+忸目=川4日•忸丹如果存在，求力的值，如果不存在，请说明理由;

(3)证明：一粒厂内切圆的面积小于兀

19.(12分)已知〃：2X2-3X-2>0，q：x2-2(a-[)x+a(a-2)<0.

(1)当/时，求实数。的取值范围;

⑵若〃是F的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

20.（12分）已知等比数列｛q｝的公比^＞1,且％,生的等差中项为10，生

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设如二2,求数列也｝的前〃项和s〃.

2

21.（12分）已知命题p：直线），二区+1与双曲线三-）3=1的右支有两个不同的交点，命题中直线4：3履+），=0

4

与直线/2：x+b」l=。平行.

（1）若k=o,判断命题“（》"（r）”的真假；

（2）若命题“〃A（F）”为真命题，求实数上的取值范围.

22.（10分）等差数列｛斯｝的前〃项和记为S”，且4+%=&%-生=4.

（1）求数列｛斯｝的通项公式小

199

（2）记数列不（的前〃项和为T”，若乙＞诉,求〃的最小值.

100

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集

【题目详解】f_3工+240,即为（无一1）。一2）＜0,

故选：A

2、A

【解题分析】直线》="+1与曲线/（x）=alnx+〃相切于点。（1,2）,可得％=1力=2,求得/（力的导数，可得a=l,

即可求得答案.

【题目详解】直线¥=辰+1与曲线f（x）=alnx+〃相切于点。（1,2）

将尸(1,2)代入)，="+1可得：攵+1=2

解得:k=1

f^x)=a\nx+b

*t'f\x)--

x

由/'⑴=1,解得：〃=1・

可得,/(x)=lnx+Z?,

根据尸(1,2)在/(x)=lnx+1上

・•・/(l)=lnl+b=2,解得:人=2

故2。+b=2+2=4.

故选:A.

【题目点拨】本题考查了根据切点求参数问题，解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法，考查了分析能力和计算能

力,属于中档题.

3、C

【解题分析】由题意可得|MN|=|QN|=|O目=c且/WN//O产，从而求出点N的坐标，将其代入双曲线方程中，即

可得出离心率.

【题目详解】由题怠尸(一。《),四边形MNO/为菱形，如图，则|A//V|=|QM=Q*=C且〃。尸

,M,N分别为C的左，右支上的点，设M点在第二象限，N在第一象限.由双曲线的对称性，可得XN=],过点N

作M/lx轴交x轴于点H,贝ji|0M=c,|0"|二；|MN|=；|0N|二B，所以NM9H=60。,贝=立c，所以

2222

(同、22

222222

N^-,—c,所以£^一工7=1,flljcb-3ca-4ab»即e，-8e?+4=()，解得02-4+2百，或

(22)4cr48“

e2=4-2^，由双曲线的离心率e>l,所以取©2=4+26,则e=6+l

故选：C

4、B

【解题分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.

【题目详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心脏手术全部成功”的有:

812,832,569,683,271,989,537,925,故8个，

Q

故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为m=0.8.

故选：B.

5、C

【解题分析】先联立方程2,+1得（―1,一1）,再求得直线y=21+1的点（0,1）关于直线>=不对称点的坐标为

（1,0）,进而根据题意得所求直线过点（L0）,进而得直线方程.

y=2^+1/、/、

【题目详解】解：联立方程得（―L—1）,即直线），=21+1与直线），=%的交点为（―1,-1）

设直线y=2x+l的点（0,1）关于直线）：=X对称点的坐标为（毛,），。）,

%_%+1

2-2

所以।＞解得与=L%=。

Azl=_i

工。

所以直线y=2x+\关于直线），=x对称的直线过点（-1,-1）,（1,0）

所以所求直线方程的斜率为1,

所以所求直线的方程为y=3（x—l）,即x—2），—1=0

故选：C

6、D

【解题分析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.

7T

/'(x)=cosx-xsinx=，乃、

【题目详解】由题意，〃X）=XCOSX,Jj=-2

故选：D.

7、A

【解题分析】根据等差数列的定义求出x,求出公差，即可求出第四项.

【题目详解】由题可知，等差数列公差d=(x+2)—x=2,

故3x+6=x+2+2,故工=一1,

故第四项为-1+(4—1)X2=5.

故选：A.

8、B

【解题分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断.

【题目详解】若〃与人，b与c共线，6=()，则不能判定a=4c，

故①错误；

若非零向量共面，则向量c可以在一个与〃组成的平面平行的平面上,

故②错误；

&仇c；不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，

故③正确；

.C=入。+"b,：•C与〃，〃共面，故C7,〃,C'不能组成一个基底，

故④错误；

故选：C.

9、A

【解题分析】由题意得，数列如下：

1,

1,2,

1,2,4,

124,…,2^

•••

则该数列的前1+2++k=幺"D项和为

2

§"%(；[))=[+(]+2)+…+Q+2+…+21)=2"|_"一2,

要使7>100,有左士14,此时A十2<2川，所以A十2是第文十1组等比数列1,2,•,2”的部分和，设

左+2=1+2++2'T=2'—1，

所以k=2'一3214,则，25,此时2=25—3=29，

7Qx30

所以对应满足条件的最小整数"=+5=440,故选A.

一

点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特

征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通

项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.

II卷

10、D

【解题分析】求出导数，由导数确定函数在［-2,2］上的单调性与极值，可得最小值

【题目详解】广(幻=1+41+3=(/+1)(工+3),所以—2vxv—1时，/'(x)v。，/*)递减，—lvx<2时，f\x)>0,

递增.

14

所以工二-1是/")在［-2,2］上的唯一极值点，极小值也是最小值./(-1)=--+2-3=--

JJ

故选：D

11、C

【解题分析】利用分层抽样求出〃的值，进而可求得高三被抽取的人数.

【题目详解】由分层抽样可得旦=J®。，可得〃=］600,

20004400+n

设高三所抽取的人数为工，则二工二黑，解得x=48.

16002000

故选：C.

12、C

【解题分析】由题意分析可得，当心，平面ABC时三棱锥P-A3C的体积最大，然后作图，将三棱锥还原成正三

棱柱，按照正三棱柱外接球半径的计算方法来计算，即可计算出球半径，从而完成求解.

【题目详解】

由题意可知，当三棱锥P-A3C的体积最大时是P8_L平面A8C时，AABC为正三角形，如图所示，将三棱锥

P-ABC补成正三棱柱TPS-ABC,

该正三棱柱的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，

而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，

设.43c外接圆半径为，三棱锥ABC外接球半径为R,

2r=—

由正弦定理可得：一.兀=一4'X/3，所以「=26，

sin—

3

/？2=r2-b（—）2=12+4=16,

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为s=4兀2=647t.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（11

13、0,—

I

【解题分析】由题意可得y=与=的图象有三个不同的交点，经判断〃”）时不符合题意，当。＞（）时，

InY

Ovxvl时，两个函数图象有一个交点，可得时y=ad与y=|lnx|的图象有两个交点，等价于丁="与y==-

X

的图象有两个不同的交点，对），=等求导，数形结合即可求解.

【题目详解】令/（幻=/一|111%|=0可得加=|lnx|,

若函数函数/（幻=以2-|11】目有三个零点，则可得方程以2=|lnR有三个根,

即）,二以2与）,=MX的图象有二个不同的交点,

作出y=|lnx|的图象如图:

当〃＜0时，），=。/是以（op）为顶点开口向下的抛物线,

此时）,二af与）,=何乂的图象没有交点，不符合题意；

当4=0时，），=（）与y=|lnx|的图象只有一个交点，不符合题意；

当。＞0时，Ovxvl时，），=0?与y=|nx|的图象有一个交点，

所以x时y=ax?与y=|lnX的图象有两个交点，

Inx

即方程欠2=Inx有两个不等的实根，即方程〃二r有两个不等的实根,

x

Inx

可得y=a与y=—的图象有两个不同的交点，

尸

令心）=竽，则〃，⑺—12X-2-x\nx

x_______l-2lnx,

Th

由“（戈）＞0即l-21nx＞0可得］＜工＜/

由”（x）v。即1—21nx＜0可得丫、

人,

l（1）-

所以〃（»=不nv在1,/单调递增，在〃,+8单调递减,

X\）1

作出其图象如图:

Ine21

当工=/时，/（）皿二人e

当

时，可得与力（力二竽的图象有两个不同的交点,

即时，函数/（x）=ad_|ln乂有三个零点，

1、

所以实数。的取值范围为0,—,

故答案为：（0,，）

【题目点拨】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结

合的方法求解.

14、42

【解题分析】由焦半径公式求得参数〃，得抛物线方程，从而可求得A8两点纵坐标，再求得直线A8与4轴的交点

坐标后可得面积

【题目详解】因为|从曰=2+5=10,所以〃=16,抛物线的方程为y2=32x,把工=；代入方程，得y=-4（），=4

舍去）,

1

/I\V*+4x——

即8匕,-4｝同理4（2,8）,直线A8方程为京12,即），二81一8.所以直线A5与工轴交于点。（1,0）,

24

所以sABF=gx(8T)x|y一%|=42・

故答案为：42

15、25

【解题分析】因为｛q｝是等差数列，根据已知条件%+4=2,求出公差，根据等差数列前〃项和，即可求得答案.

【题目详解】｛〃“｝是等差数列，且q二-2,a2+a6=2

设(〃〃｝等差数列的公差4

根据等差数列通项公式：4=4+(〃-1)4

可得q+d+4+5d=2

即：-2-1/+(-2)+54=2

整理可得：6d=6

解得：d=l

根据等差数列前〃项和公式：£=〃勾+若24〃€%"

可得：S10=10(-2)+=-20+45=25

Sl0=25.

故答案：25.

【题目点拨】本题主要考查了求等差数列的前〃项和，解题关键是掌握等差数列的前〃项和公式，考查了分析能力和

计算能力，属于基础题.

16、2万

【解题分析】先求出04中点坐标，再由距离公式得出过3点的中线长.

【题目详解】由中点坐标公式可得Q4中点C(l,2),则过B点的中线长为|BC|二J(1一30+(2+60二2府.

故答案为：2J万

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)存在，/为30的中点，证明见解析；(2)2.

【解题分析】(1)取8c的中点，，BD的中点尸,连接FH,AH,EF,证明EF//AH,由线面平行的判定定理

即可求证；

(2)先证明平面46。£_1面474,过点A作_LAC于点G,即可证明4G_1面AC"上，在aA4c中，利用面

积公式求出BII即为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可求解.

【题目详解】(1)线段BO上存在点尸使得所〃平面ABC,E为8。的中点.

证明如下：如图取BC的中点”，8。的中点/，连接F”，AH,EF,

因为产，，分别为30,3C的中点，

所以FH//DC且FH=gDC.

因为AE!/CD且AE='co,

2

所以FH//AE,且FH=AE,

所以四边形AE”为平行四边形，可得EF//AH,

因为所二面ABC,AHu面ABC,所以比7/平面ABC；

(2)过点8作AG_LAC于点G,

因为AE_L平面ABC,AEu面ACOE,所以平面ACDE_1_面ACB,

因为BGJ_AC,8Gu面AC8,平面ACOEf面AC8=AC,

所以36_1_面4。。七，

因为AB=AC=6，BC=2,

所以HB=1,AH7AB』H2=xl^=2,

所以S,IK=LBCA”=L.AC3G,即1X2X2=」X后X区G,

Av

4

所以BG=1w，即为四棱锥8—ACQE的高，

所以％一4侬=:X：(AE+CQ)-ACBG=1X；(1+2)XX/^X4=2.

3LJZ\Jj

18、(1)y2=4x；

(2)存在，1；(3)证明见解析.

【解题分析】(1)根据几何关系即可求p;

I1

⑵求解府[+画为定值1’即可求

⑶先求”.ABE的面积，再由S三角形=]C三角形r(C=角形为三角周长)可求内切圆半径匚

【小问1详解】

由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此〃=迪X75=2，

,.抛物线E的方程为jv2=4.v

32

【小问2详解】

设直线的斜率为工0),直线方程为y=A(x+l),记W电,%)

'HL)''消去+得去+2(-2卜十公二。

由△=4,2-2丫一4小

>(),得Kv1且女工0,x^2=1tX|+=

1111X[+々+2_X]++2

---------1--------一十一=1,

网网Xl+1X2+1工占+再+Z+11+X)+X2+1

因此|A日+\BF\=\AF\-\BF\f即存在实数1=1满足要求

【小问3详解】

由⑵知|AF|=Xi+l,忸丹=再+1,

4(2伺\

|=,1+公J(与+工2『一4为工2=5+k?

k

,|2出|

点F到直线AB的距离d=",

2-k2}"

・・・的面积标

•,AMs==Jl+-7^-1

记.・.A3尸的内切圆半径为/*,*.•S=1(|AB|+|E4|+|FB|)r,

乙!

二+1一公

2S2k2

\AB\+\FA\+\FB\1+VTTF<1

l+Jl-Fl+Jl-F

/..4A厂内切圆的面积小于几

19、(1)(0,2)；(2)[1,2].

【解题分析】(1)将x=0代入2(Q-1)X+Q(。-2)<()即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题〃和4的解,

写出F,然后利用充分不必要的特征即可求解.

【题目详解】⑴由题意可知，()2—2(〃-1八0+〃(〃-2)<(),解得0<。<2,

故实数。的取值范围为32)；

(2)由2d—3工一220,解得不工一:或x22,

2

由/一2(〃-l)x+a{a-2)<0,解得a-2<x<at

故命题〃：x<--^x>2；命题4：a-2<x<at

2

从而r：xW〃一2或x^a,

因为〃是r的充分不必要条件，

1..

所以“|尤《一一或人22}15"次《。-2或工之.},

2

〃-2N—3

从而2,解得一

2

a<2

3

故实数。的取值范围为弓,2].

20、(1)^=2M+,(/?GN4)；

⑵S〃=l一崇

【解题分析】(1)将题目的条件写成4闯的形式并求解，写出等比等比数列通项公式；(2)利用错位相减法求和.

小问1详解】

q+6=4(1+q*)=20

由题意可得，.・・2q2-5q+2=O,・.•夕>I2,6=4.•.数列｛q｝的通项公式为

qq=8

a-N)

【小问2详解】

b=-^t・・.S”=』+W+M+…十二①，,工=^+与+…+二+:②，①一②可得

”2"+in2?2^2,42”"212^242"”2,,1+2'

1111n

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