第6讲刚体定轴转动的基本概念讲稿

第6讲刚体定轴转动的基本概念

大家好。质点是一个理想模型，它忽略了物体的大小和形变。然

而当讨论电机转子的转动，炮弹的自旋，车轮的滚动，船舶在水中的

颠簸，以及起重机或桥梁平衡等问题时。物体的形状大小往往起重要

作用，而必须考虑它们的形状大小，以及在力和运动影响下形状大小

的变化。但是把形状和大小以及它们的变化都考虑在内，会使问题变

得相当复杂。由于在很多种情况下，物体的形变都很小，可忽略不计,

对研究结果无明显影响。因此在此基础上，提出了刚体这个模型。刚

体的运动形式有多种，我们主要学习刚体的定轴转动。这次课主要学

习三个方面的内容，第一刚体的定义和运动分类。第二，刚体定轴转

动的定义及运动特点。第三，描述刚体定轴转动的儿个物理量。刚体

是一种特殊的质点系，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点

间的距离始终保持不变。从定义中可以总结出刚体的特点，刚体是一

个质点系，质点系内任意两质元间的距离保持不变。由于任何物体受

力都会发生形变，因此刚体也是一个理想模型。根据刚体的特点可以

找出研究刚体运动的方法。研究刚体力学时，把刚体分成许多部分，

每一部分都小到可看作质点，叫做刚体的质元。把刚体看作不变质点

系，并运用已知的质点和质点系的运动规律去研究，这是刚体力学的

基本研究方法。

刚体有多种运动形式，从简单到复杂，依次有刚体的平动，刚体

的定轴转动，刚体的平面平行运动，刚体的定点转动和刚体的一般运

动。由于刚体的平动，刚体上所有质元都具有相同的速度、加速度和

轨迹，因此可以把平动的刚体看成质点，利用质点力学的知识就可以

解决。本次课重点研究刚体定轴转动的相关知识。

刚体定轴转动就是刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆

周运动，且在相同时间内转过相同的角度。根据刚体定轴转动的定义

可以得出刚体定轴转动的运动特点1.刚体上各点都在垂直于固定

轴的平面内做圆周运动，圆心都在一条固定不动的直线（也就是转轴）

上.2.刚体上各质元的角位移、角速度、角加速度大小方向都相同，

而不同转动半径上各质元速度、加速度不相同。由于刚体所有质元都

具有相同的角量，因此研究刚体的运动时，用角量更为方便。

前面在圆周运动中，己经学习角坐标夕角位移△夕角速度w,角

加速度这些角量也适用于刚体的定轴转动，不再赘述。角坐标。

一般情况下是时间t的函数，因此。=e（t）称为刚体定轴转动的运动

方程。

描述刚体内各质点做圆周运动的位移，速度和加速度等物理量

称作线位移，线速度和线加速度，统称为线量。描述刚体转动整体运

动的角位移，角速度和角加速度则称为角量，角量和线量之间的关系

也和圆周运动中是相同的。弧长s二方。线速度v=wr,切向加速度

法向加速度agW、。由刚体定轴转动线量和角量的关系，可以

看出已知角量就可以求出刚体上任意一点做圆周运动的线速度、切向

加速度和法向加速度。需要注意的是，上面公式中的r的原点必须在

转轴上。

当刚体绕定轴转动的角加速度方常量时，刚体做匀变速转动.类

比于质点匀变速直线运动，可以得出刚体绕定轴做匀变速转动的常用

公式。

质点匀变速直线运动刚体绕定轴作匀变速转动

速度公式v=VQ+at角速度公式刃=勾+〃

2

位移公式x=xo+vot+^at角位移公式

速度与位置公式

2角速度与角位置公1

v=VQ+2a(x-x())co=忒+2。(。-%)

由上面的学习可知已知运动方程通过求导可以求角速度和角加速

度；已知角加速度通过积分就可求角速度和运动方程。这是刚体运动

学的两个重要的题型。

质量m是描述质点平动惯性大小的物理量，刚体的转动也具有

惯性，描述刚体转动惯性大小的物理量称之为转动惯量。转动惯量的

定义是，刚体内各质元的质量与其到转动轴线垂直距离的平方乘积之

J工

和，定义式为。，

转动惯量是标量，有可加性，单位是kgn?0由转动惯量的定义

可知，它由刚体本身的质量分布，以及转动轴线的位置来决定。转动

惯量的计算，在刚体力学中是非常重要的，根据转动惯量的定义式，

当质量分立分布时./=ZA*=/*+〃?/+...+/谓，若刚体质量是连续

分布，为了精确的计算转动惯量，将上式中的质元质量mi,改为质

量微分dm,将求和变为积分，积分遍及刚体全部。

J=-fr2dm=Jpr2dV

j

除了可以利用转动惯量的定义式来计算转动惯量外，关于转动惯

量的计算还有两个重要的定理，平行轴定理和组合定理。刚体转动惯

量与轴的位置有关，质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量

为Jc,则对任一与该轴平行，相距为d的。转轴的转动惯量Jo=Jc+md2

这个式子叫做平行轴定理：即若有任一轴与过质心的轴平行，相

距为d,刚体对该轴的转动惯量等于刚体相对质心轴的转动惯量与刚

体质量与轴距离平方之积的和。例如一个质量为m,半径为R的均

质圆盘绕质心轴做定轴转动，相对质心轴的转动惯量为l/2mR2距离

质心为R处盘边缘有一个p轴，该轴与信心轴平行，根据平行轴定

理可以得到圆盘对该轴的转动惯量为Jp=l/2mR2+mR2=3/2mR2

若一个复杂形状的刚体是由许多简单形体组成，则这个复杂刚体

对某轴的转动惯量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加.称

为刚体的组合定理。如下图该刚体是由一均质杆和一个实心均质球组

成，该组合体对z轴的转动惯量应该为杆z+J球z

如已知杆对质心轴的转动惯量为球对过球心且平行于z轴的

轴的转动惯量为小心则根据平行轴定理/杆广4〃“2+,〃心）2二久/2

，球L*%川+叫（L+R）2再根据组合定理得到该组合体对z轴的转

2

动惯量应该为Jz=^7771/+半利网+叫（L+R）2

一般情况下，轴已定，刚体对轴的转动惯量为一定值。下表中是

力学中常见几种刚体的转动惯量。这些转动惯量的表达式，今后在处

理刚体运动时，将作为已知量，因此需要记住其结果表达式。如质量

为m的均质圆环对通过中心与环面垂直轴的转动惯量为my；质量为m

的均质薄圆盘对通过中心与盘面垂直的轴的转动惯量为1/2mr2;质

量为m的均值球体对沿直径的轴的转动惯量为2/5mr；质量为m,长

为/的均值细棒对过端点与棒垂直的轴的转动惯量为l/3m/2;

本次课主要讲了刚体的定义、刚体定轴转动的运动特点，以及

描述刚体定轴转动的几个物理量。通过学习大家要明确刚体是一个特

殊的质点系，考虑了物体大小和形状，但是忽略了形变。因此它比质

点的应用范围更广泛，但是由于忽略了形变，因此它也是一个理想模

型。做定轴转动的刚体所有质元都绕着轴做圆周运动，具有相同的角

位移、角速度和角加速度。因此用角量描述更为方便。线量和角量之

间有转换关系式，因此知道了角量就可以求出相应的线量。

转动惯量是一个新的知识，它是描述刚体转动惯性大小的物理量,

等于刚体上各质点的质量与该点到转轴距离平方的乘积之和。由于刚

体的质量是连续分布的，因此需要用积分来求刚体对某一轴线的