2024年最值模型之将军饮马模型（学生版）

专题24最值模型之将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颁《古从军行》里的一句诗，

由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上

来看是由轴对称衍生而来，同时这需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考

试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段地短；涉及的基本方法白：利用釉对

称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型L求两条线段和的最小值（将军饮马模型）

【模型解读】在一条直线加上，求一点P,使小+P8最小;

（1）点A、占在直线机两侧:（2）点A、8在直线同侧:

A

/n

【最值原理】两点之间线段最短。上图中N'是A关于直线〃?的对称点。

例1.（2024.黑龙江绥化.统考中考真题）加图,是边长为6的等边三角形，点E为高5。上的动点.连

接CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到连接AF,EF,DF,则sCDF周长的最小值是

例2.（2024•广东广州•校考一模）如图，在..A6C中，4ABe的面积为JIU,AB=2立，8。平分N'A8C,

E、尸分别为8。、8。上的动点，则b+所的最小值是（）

BEC

A.72B.6C.2D.x/5

例3.（2024•广东广州•统考中考真题）如图，正方形A8CQ的边长为4,点E在边BC上，且BE=1,F为

对角线BO上一动点，连接。尸，EF,则b+E/的最小值为.

例4.（2024•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，菱形ABCD,点A、B、C、。均在坐标轴上，ZABC=120°,

点A（-3,0）,点E是C。的中点，点尸是OC上的一动点，则尸。+庄的最小值是（）

例5.（2024•辽宁盘锦•统考中考真题）如图，四边形48CZ）是矩形，AB=4W,4。=4&，点P是边A。上

一点（不与点A,。重合），连接PB,PC.点M,N分别是尸BPC的中点，连接MN,AM,DN,点E

在边上，ME〃DN,则AM+ME的最小值是（）

例6.（2024•山东济宁•九年级校考期末）如图，48是CO的直径，点。、。是0。上的点.且OD〃BC,AC

分别与4。、0。相交于点E,F.若0O的半径为5,N£XM=80。，点尸是线段A4上任意一点，则尸C+P力

的最小值是

例7.（2024•湖北黄冈•统考模拟预测）如图，点£是线段BC上的一个动点，AB+DC=2y/2,BC=4,且

NB=NC=135，则AE+OE的最小值是

例8.（2024•山东枣庄•统考中考真题）如图，抛物线），=-/+6+c经过4（-l,0）,C（0,3）两点，并交x轴于

另一点4点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点。.

备用图

⑴求该抛物线的表达式；（2）若点”是x轴上一动点，分别连接M”,Q”，求M//+OH的最小值;

模型2.求多条线段和（周长）最小值

【模型解读】在直线〃?、〃上分别找两点P、。，使Dl+PQ+”最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧:

（4）台球两次碰壁模型

I）己知点A、B位于直线肛〃的内侧，在直线〃、机分别上求点。、E点，使得围成的四边形

AOE3周长最短.

2）己知点人位于直线〃7,”的内侧，在直线，〃、”分别上求点儿Q点勿+PQ+Q4周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2024•陕西西安•九年级校考阶段练习）【问题提出】

⑴如图1,408=45。，在N71OB内部有一点P,M、N分别是。4、08上的动点，分别作点尸关于边3、

08的对称点打，连接R,P1与（）A、。8相交于M、M则此时的周长最小，且顺次连接。，R,

P?后。匕鸟的形状是等腰直角三角形.理由如下：

回点P关于边。4、08的对称点分别为勺，B，

回。P=ZA0P=ZA0P]t/BOP:/BOR,PM=P,M,PN=P2N

0C、PMN=PM+PN+MN=P\M+P?N+MN=Pa即°PMN周长的的最小值为g

0Z4OB=45°,0=2（/AOP+乙BOP）=90°回.。46是等腰直角三角形.

学以致用：若2408=30°,在N4O8内部有一点P,分别作点P关于边04、。8的对称点R,8，顺次连

接。，鸟，则,。匕巴的形状是三角形.

（2）【问题探究】如图2,在，ABC中，AB=AC,NR4C=30°,点。是8C的中点，若AD=h,请用含有

力的代数式表示»的面积.⑶【问题解决】如图3,在四边形ABC。内有一点P,点P到顶点8的距离

为10,乙44。=60。，点M、N分别是A3、3C边上的动点，顺次连接P、M、N,使gPMN在周长最小的

情况下，面积最大，问：是否存在使PMN在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出PMN

的面积的最大值；若不存在，请说明理由.

例2.（2024下•四川达州•八年级校考期末）如图，NAO8=45。，点M、N分别在射线Q4、08上，MN=4,

•CMN的面积为12,P是直线上的动点，点尸关于04对称的点为々，点尸关于08对称的点为巴，当

点P在直线MW上运动时，。66的面积最小值为.

匕

例3.（2024•山东泰安•中考真题）如图，ZAQ3=30°,点M、N分别在边。4、06上，且OW=3,ON=5,

点P、Q分别在边08、0A上，则MP+PQ+QN的最小值是（）

A

o

A.734B.>/35C.734-2D.V35-2

例4.（2024春•湖北黄石•八年级统考期中）如图，在矩形A8c。中，48=6,AD=2,E、〃分别是A8和

OC上的两个动点，“为"C的中点，则

（1）OE+瓦'+E0的最小值是;（2）若"FD=45。，则OE+M+QV/的最小值为.

模型3.求两条线段差最大值

【模型解读】在一条直线m上，求一点尸，使力与尸3的差最大;

（1）点A、5在直线机同侧:

延长交直线〃?于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P'A-P'B<AB,而%-PB=A8此时最大,

因此点P为所求的点。

（2）点人8在直线机异侧：

A

?丁'B'

\/八、

\/!、、、、

•、~~:-----

------------71Pf、、、：《«'P

7B

过B作关于直线m的对称点B‘，连接力夕交点直线m于P,此时PB=PBPA-PB最大值为AB'

【最值原理】三角形两边之差小于第三边。

例1.（2024•陕西西安•校考模拟预测）如图，在菱形A8C。中，ZABC=120°,对角线AC、5。交于点0,

80=8,点E为。。的中点，点尸为AB上一点，且A尸=3M，点。为AC上一动点，连接尸区PF,则

|尸尸一阳的最大值为

例2.（2024春•湖南永州•八年级统考期中）如图，在矩形48CZ）中，AB=2,AD=6,。为对角线AC的中

点，点尸在4。边上，且A尸=2,点Q在BC边上,连接PQ与也，则PQ-OQ的最大值为，

PQ+OQ的最小值为.

例3.（2024•河南南阳•一模）如图，已知财8c为等腰直角三角形，AC=BC=6,0BCD=15°,P为直线C。

上的动点，则l%-PB|的最大值为.

A

例4.（2024•湖北•武汉八年级期末）如图，AB//DP,E为DP上一动点,AB=CB=CD,过A作ANJ.EC

交直线EC于N,过。作交直线EC于点若N8=114。，当4V-OM的值最大时，则N4CE=

课后专项训练

1.（2024•四川资阳•中考真题）如图，正方形A8CQ的对角线交于点。，点E是直线AC上一动点.若A4=4,

则AE+OE的最小值是（）

C.2mD.2M

2.（2024・山东莉泽•统考中考真题）如图，在菱形ABCO中,A3=2,乙44。=60。，M是对角线8。上的

个动点，CF=BF,则MA+M/的最小值为（）

A.1B.V2D.2

3.（2024・安徽•统考中考真题）如绍，E是线段回上一点，VAD石和8CE是位于直线AB同侧的两个等边

三角形，点忆尸分别是C£>,/历的中点.若A8=4,则下列结论埼退的是（）

A.PV+尸8的最小值为3石B.尸E+0尸的最小值为

C.CDE周长的最小值为6D.四边形A8CO面积的最小值为36

4.（2024•广东深圳•校联考模拟预测）如图，点石是正方形A8C。内部一个动点，且AO=E8=8,BF=2,

贝IJDE+Cr的最小值为（）

A.10B.3而C.7N/2D.x/97

5.（2024春•福建厦门•八年级校联考期中）如图，在口A8C。中，A8=2,8c=4,而。=60。，点尸、。分别

是AC和BC上的动点，在点尸和点。运动的过程中，P8+尸。的最小值为（）

6.（2024•安徽合肥•二模）如图，在矩形ABC。中，点E、F、G、，分别是边八B、BC、CD、。人上的动点（不

与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,则四边形E尸G”周长的最小值

等于（）

A.106B.10^3C.5逐D.5G

7.（2024・四川广元•一模）如图，己知正方形A8co边长为3,点E在AB边上且座=1,点P,。分别是边

BC,的动点（均不与顶点重合），当四边形4EPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）

8.（2024•江苏•九年级月考）如图，点A,〃在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8,B到MN的距离

80=5,已知CO=4,P是直线M/V上的一个动点，记尸A+PA的最小值为“，|PA-咫的最大值为〃，则

序的值为（）

A.160B.150C.140D.130

:

9.（2024上•山东荷泽•八年级统考期中）如图，..ABC中，AB=AC,9C=6cm,S^ABC=18cm,EF&AC

的垂直平分线，分别交AC,AB干点E,F,点。是8c边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+ZW

的最小值为（）

C.8D.9

10.（2024上•江苏连云港•九年级校联考阶段练习）如图，MN社O的直径，MN=6,点A在：。上,

4MV=30。，3为AN的中点，P是直径MN上一动点，则B4+P8的最小值是.

11.（2024下•四川达州•八年级校考期末）如图,AC,8。在A8的同侧，AC=10,BD=3,13=8,点M

为A3的中点，若NCMD=120。，则CO的最大值是.

12.（2024上•山东德州•八年级校考期中）如图，在.ABC中，AB=AC=\0,BC=12,AD=8,AD^ZBAC

的平分线.若P，。分别是A。和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.

13.（2024.重庆大渡II•九年级期中）如图，RtABC,a4CB=90o,BC=AC=4,平面内直线BC的左侧有

一点P，连接BP,CP,SABCP=4,将g6CP沿BC翻折至同一平面得到△8CP,连接AP'.若n。一8”取

得最大值时，贝IJS04=.

14.（2024秋•江苏盐城•九年级统考期末）二A8c中，ZACB=9（F,AC=BC=4,点P为高CO上的一个动

点，连接4乙将射线AP绕点A顺时针旋转45。，交过点P与”垂直的直线于点。连接。Q,则△A。。

周长的最小值是.

c

15.（2024・山东日照•校考二模）如图，在边长为1的正方形A8CZ）中，石为BC边上一动点（点E,B不重

合），以为直角边在直线4C上方作等腰直角三角形AM,Z4M=903连接。b，则在点E的运动过程

中，ZXA。产周长的最小值是.

16.（2024•湖北武汉•校联考模拟预测）如图，己知长方体"CO-A8CR,AB=2MO=SA=2,P是棱人圈

上任意一点，Q是侧面对角线A片上一点，则PA+PQ的最小值是.

17.（2024•四川眉山・中考真题）如图，点P为矩形A8CO的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE,

PB，若A8=4,BC=46，则PE+08的最小值为.

18.（2024•黑龙江•统考中考真题）如图，菱形A8CQ中，对角线AC,B。相交于点。，N84O=6（）。，AD=3,

4,是/胡。的平分线，CEJ.A〃于点E,点P是直线4B上的一个动点，则OP+PE的最小值是.

19.（2024•贵州铜仁•中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCO中，点七为八。的中点，将ACOE沿CE

翻折得△CME,点M落在四边形48CE内.点N为线段CE上的动点，过点、N作NP//EM交MC于点、P,则

MN+NP的最小值为.

20.（2024•广西贺州•中考真题）如图，在矩形A8CQ中，A8=8,BC=6,E,”分别是AO,AB的中点，NADC

的平分线交48于点G,点P是线段QG上的一个动点，则APE”的周长最小值为.

21.（2024•江西南昌•九年级校联考阶段练习）如图，已知点A（-l,0）,8（3.0）,C（0,l）在抛物线y=加+/u-c

上.（1）求抛物线解析式；（2）在直线4C上方的抛物线上求一点尸，使PBC的面积为1；

（3）若点/是抛物线对称轴上一动点，当|A〃-CM的值最大时，求M点的坐标；

X

-Q

22.（2024•广东深圳•九年级校考开学考试）已知，如图，函数5=），=£,），=-2]+8的图象交于点4、B.

x

⑴直接写出4、3两点的坐标：A,8；⑵观察图象，直接写出不等式9>-2x+8的解集：；

X

⑶点P是坐标轴上的动点，当AP+AP取得最小值时，求点尸的坐标.

23.（2024•江苏连云港•中考真题）如图，四边形A8CO为平行四边形，延长A。到点E,使庞=40，且

8E_LOC.（1）求证：四边形O8CE为菱形；（2）若△O3C是边长为2的等边三角形，点/>、朋、N分别在

线段BE、B