2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题22 与圆相关的比例线段含答案

2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题22与圆相关的比例线段

阅读与思考

比例线段是初中数学的一个核心问题.

我们开始足用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们

可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中

又发展为新的形式.

在宜角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.

在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系.

相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系：

1.从定理的形式卜看,都涉及两条相交白线与圆的位置关系：

2.从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

例题与求解

【例1】如图，已知AB是0。的直径，弦CD与AB交于点E,过点4作圆的切线与CD的延长线交7点F.

若主，AC=8/，点。为EF的中点，则止.（全国初中数学联赛试题）

解题思路：设法求出4£、8E的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.

（第1题）（第2题）

【例2】如图，在RtZSA8c中，ZC=90°,4C=4,8c=3,以8c上一点。为圆心作。。与AC、A8都相切,

又。。与8c的另一个交点为D,则线段8。的长为（）

111

A.18.弓C.7D.~

/◊r

（武汉市中考试题）

解题思路：由切割线定理知80=8。・8C,欲求8D,应先求8E.须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条

件.

【例3】如图，48是半圆的直径，。是留心，C是48延长线上一点，C。切半圆于D,DE_M8于£已知AE：

£B=4：1,CD=2,求8c的长.

（成都市中考试题）

解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.

AOEB

DBDC2

【例4】如图，AC为。。的直径且融_L4C,8c是。0的一条弦，直线P8交直线AC于点D,而=防不

（1）求证：直线P8是。。的切线：

（2）求cosN8cA的值.

（呼和浩特市中考试题）

解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件：对于（2）,将问题转化为求线段的比值.

【例5】如图，已知48为。。的直径，C为。0上一点.延长8c至D,使CD=8C,于£,8F交©。于

F,AF交CE于P.

求证:PE=PC.

（太原市竞赛试题）

解题思路：易证PC为。0切线，PllJPC2=PF-PA,只需证明P氏PF・PA证作出常用辅助线,

突破相关角.

B

A0

【例6】如图，已知点P是00外一点，PS、P7"是。0的两条切线.过点P作。。的割线％8,交。。于4

8两点，与S7■交于点C.

求证：正=51而+而）.

（国家理科实验班招生试题）

解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.

能力训练

A级

1.如图，PA切。。于4点，PC交。。于8、C两点，M是8c上一点，且以=6,PB=BM=3,0M=2,则O。

的半径为.

（青岛市中考试题）

2.如图，已知△48C内接于。0,且48MC,直径4。交BC于点E,F是0E的中点.如果8D〃CF,BC=2&

贝IJCD=.

（四川省竞赛试题）

（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）

3.如图，48切。。于点8,AD交。。于点C、D,OPJ_C。于点P.若48=4cm,4D=8cm,。。的半径为5cm,

则0P=.

（天津市中考试题）

4.如图，已知。。的弦A8、CD相交于点P,PA=4,PB=3,PC=6,日切。。于点4与CD的延长线交

于点E,AE=2&那么PE的长为.

（成都市中考试题）

5.如图，在。。中，弦八8与半径0C相交于点M,且。M=MC,若人M=1.5,8M=4,则0C的长为（）

A.2乖D.2啦

（辽宁省中考试题）

（第5题）（第6题）（第7题）

6.如图，两个同心圆，大圆的弦48与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过点P,且CD=13,PD=4,则两网

组成的圆环的面积为（）

A.167TB.36%C.527rD.81n

（南京市中考试题）

7.如图，两圆相交于C、D,48为公切线，若4B=12,CD=9,则M0=（）

A.3B.3^3C.6D.6小

8.如图，。。的直径48=10,E是OB上一点，弦CD过点邑且BE=2,OE=2啦，则弦心距OF为（）

A.1B.y/2C.巾D.m

（包头市中考试题）

（第8题图）（第9题图）（第10题图）

9.如图，已知在△48C中，NC=90°,8E是角平分线，DE_LBE交48于D,O0是ABDE的外接圆.

（1）求证：AC是€）0的切线：

（2）若AD=6,AE=6y/2,求DE的长.

（南京市中考试题）

10.如图，PA切。。于4割线P8C交。。于8、C两点，。为PC的中点，连结45并延长交。。于E,己

知：BE'DE・EA.

求证：（1）PA=PD：（2）2BP2=AD*DE.

（天津市中考试题）

11.如图，△48C是直角三角形，点。在斜边8C上，8D=4DC.已知。。过点C且与AC相交于F,与加相切

于AB的中点G.求证:AD1BF.

（全国初中数学联赛试题）

（第11题）（第12题）

12.如图，已知A8是。。的直径，4c切。。于点A连结CO并延长交。0于点D、E,连结8。并延长

交边AC于点F.

（1）求证：AD*AC=DC>EA；

（2）若AC=nA8（c为正整数），求tan/CDF的值.

（太原市竞赛试题）

B级

1.如图，两个同心圆，点4在大圆上，4XV为小圆的割线，若4X・AY=8,则圆环的面积为（）

A.4〃B.87rC.127rD.16〃

（咸阳市中考试题）

2.如图，P为圆外一点，PA切圆于4PA=8,直线PC8交圆于C、8,且PC=4,AD_18c于D,乙48C=a,

ZAC8-B.连结A8、AC,则瑞/的值等丁（）

（第1题）（第2题）（第3题）

3.如图，正方形48C。内接于。。，E■为0C的中点，直线8E交。。于点F,若。。的半径为，L则8F的

长为（）

A.@B.也C.述D.亚

2255

（南京市中考试题）

4.如图，已知。0的半径为12,锐角△48C内接于。O,8D_LAC于点D,0M_L48于点M,则sinNC8。的

值等于（）

A.0M的长B.20M的长C.CD的长D.2c。的长

（武汉市中考试题）

（第4题）（第5题）（第6题）

5.如图，PC为。。的切线，C为切点，PA8是过。点的割线，CD_L48于。.若tanN8§,PC=10cm,求△8CD

的面枳.

（北京市海淀区中考试题）

6.如图，已知CF为。。的直径，C8为。。的弦，CB的延长线与过F的。。的切线交于点P.

（1）若NP=45°,PF=10,求。0半径的长；

（2）若E为8c上一点，且满足PE?=P8・PC,连结FE并延长交。。于点A求证：点人是虻的中点.

（济南市中考试题）

7.己知八C、48是。。的弦,AB>AC.

（1）如图1,能否在48上确定一点E,使4c2=AE・48?为什么？

（2）如图2,在条件（1）的结论下延长EC到P,连结P8,如果P8=P£,试判断P8与。。的位置关系并说

明理由；

（3）在条件（2）的情况下，如果E是P。的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？

（重庆市中考试题）

（第7题）（第8题）

8.如图，P为。。外一点，PA与。。切于A,P8c是O0的割线，AD_LP。于D,求证：而=寿.

DUCL/

（四川省竞赛试题）

9.如图，正方形OA8c的顶点0在坐标原点，旦0A边和AB边所在的直线的解析式分别为：片二x和

4

片-3+史.D、£分别为边0C和阳的中点，P为。A边上一动点（点P与点。不重合），连接DE和CP,其交

33

点为Q.

（1）求证：点Q为△COP的外心：

（2）求正方形OA8c的边长；

（3）当。。与A8相切时，求点P的坐标.

（河北省中考试题）

B0

（第9题）（第10题）（第11题）

10.如图，己知8c是半圆。的直径，。是AC的中点，四边形A8CD的对角线AC、8D交于点£

（1）求证：AC*BC=2BD・CD：

（2）若AE=3,CD=2y/5t求弦48和直径8c的长.

（天津市竞赛试题）

11.如图，P4是。。的切线，切点为4,P8c是。。的割线，AD1OP,垂足为D.

证明：A^BD•CD.

（全国初中数学联合竞赛试题）

专题22与圆相关的比例线段

=3/可得M=：而

例I设CE=4k,则ZM=Qg〃/F=AO,由""一"0’",即

____CEDE必

v'FF：-AF2=<36k--320~AT~T

AE==8,乂BE==8=16,故AB=AE+BE=24.例2C例3I提示：设EB=x,则

n…C"=C8•以DE：='EE8DE2+EC2=DG由,=4♦+(x+yF=4E,一、

4E=4x.设C“可，则山，，，得4=y("5x),'〃.例4(1)

PfC=p4.pp

联结。B,OP,可证明△BQCs△出f,有.又：OC为△A8Q的中位线，：.OC//AD,贝I]CE_LOC知CE

P6=PA・PFPE:=PC1

为。。的切线,故，有f.即nnPE=PC.

（例5题图）

（例6题图）

例6解法一：如图1,过P作PH工ST于H,则，是S7的中点，由勾股定理得

PC2=PH2+CH-=PS2-$H:+CH；=PF-SH:+CH2=P^-(SH-CH)(SH+=上9一5^・CT又由切割线

七।=PAPB-ACCB=PAPB-(PC-PAKPB-PCy=lPAPB-tPA^PB)PC^PC2

定理和相交弦定理，有

PC=2l=i（±+1l

即""I解法二：如图2,联结P。交sr于D,则PO_Lsr.联结s。，作OE_LP8于a则E

产七-------PCPE=PD・PGPS2=PAPB

为A8的中点，于是.VC,E,O,。四点共圆，.,:RsSPDsR也OPS,：.

PC•竽—即京注+提）

076CE3E=4E・E。

A级12.提示：△8OE9Z\CFEDE=EF,O尸=〃£1=£。，设OF=x,则。八=OO=3x,AE=5x,由，

(V5)*-X-5xjr-1CD=4CE1+DE?=4==12

得，，.3.4cm4.45.06.67*8C9.⑴略⑵

XAtvl

ar=7i—721DE2+BE2=BD2,JeV2-V6=273〜

ABE,B£"=2.设DE=,BE=2x,而，解得,x=y.：,DE=、、1().⑴略⑵

PA2-PB-PC^A-PD,PD=DCXPB^BD)1-PB-2(PB+BD)一四E2

’.可得PB=BD=PD,.*.PB=PD=DC,

55

2

2BP=BD-CD.^••作以;于£，则由切割线定理得

又♦：BDCD=ADDE,：.2B"DU._1_A（7AO'AE,AG=%£

雇="•"="・加"Ef户•加5DE-FY£J-FA£扣卷

,nx/里••9J/£・乂^乙

BAF=^AED=90°,：./\BAF^/^AED,于是又NA8F=NEAD

VZEAD+ZDAB=90a,/.ZABF+ZDAB=93°,故AD_LBE.

AnPA

12.。如图，连接AD,AE.・.・NDAC=NCAE,.•.△ADCs/XEACn—=——=：>AD^AC=DC•EA.(2)VZCDF=

DCAC

Z1=Z2=ZDEA,，tanNCDF=tanNDEA=42.由⑴知丝=生，故tanNCDF=空.由圆的切割线定理知

AEAEACAC

AC2=IX：•EC,而EC=ED+DC,则AC?=。。（。。十七。）又Ac=nAB,ED=AB,代入上式得=。。（。。+八8）,

故。。=山叵

即DC-+AB^DC-n1AB-,显然，上式只能取加号，于是

2

ACnAB2n

（第12题图）

B级

出一.„ADCD1ACm

1.B2.B3.C4.A5.提不•lunH==——=.设AD=x,则mil

CDDB2BC

DA1

CD=2x,DB=4x,AB=5x,由ZXPACsapCB得，——=——=-.,.PA=5,又PC]=PA*PB,E[J102=5(5+5X),解

PCCH2

得：x=3,・・・AD=3,CD=6,DB=12,/.S8CD=-CD>OT=36.

6.⑴略.⑵连接FB,证明PF=PE,ZBFA=ZAFC.

7.⑴能.连接BC,作NACE=NB，CE交AB于E.（2）PB与O0相切.⑶C是PE的中点.

ponr）

8.连接OA、OB、OC,则以2=叨・夕0=依・/<,于是，B、C、O、D四点共圆，有△PCDs/^poB,则，=上=上

CDOBOC

①，又由POCs/\PBD得型=殁②,

OCBD

o

9.⑴略(2)A(4,3),0A=5.⑶P<3,-).

4

10.⑴延长BA,CD交于点G,由RtZXCAGsRtZ\BDC,得生=空，即AO8C=CG,又DG=CO=1CG,

BDBC2

故AC・BC=2RD*CG.⑵由RtACDE^RtACAG,得生=0,即华=2后,解得CE=5,从而AG=

CGAC44CE+3

ICG2-M=J（4扃—（3+5）2=4,GA-GB=GD-GC

即4（AA+4）=2后x4石，解得AB=6,

._________i__________（第10题图）

BC=y/AB2+AC2=府+（3+5）2=io

11.延长AD交。。于E,连接PE、BE、CE,TPA为。0的切线，PO1AE,/.PE=PA,AD=DE=-AE,易证^PAB

2

SAPCA,APEB^APCE,.•.任=£1,且=在，—=—,即A9・EC=AC•历，由托勒密定理得

ACPCECPCACEC

AB^EC+AC^EB=AE^HC.：.AB+EC+AC・EB=AD・BC,即一=—,」=’，有；NBAE=NBCE,ZCAD=

ADECADEB

ZCBE,

:.△ABDs△CBE,△CADs△CBE,则△ABDs△CAD,/.—=—.故

BDAD

（第11题图）

AD=BD/CD.

专题23圆与圆的位置关系

【阅读与思考】

两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关

系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中泾常用到相关性质.

解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有:

1.相交两圆作公共弦或连心线：

2.相切两圆作过切点的公切线或连心线：

3.右.关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

【例题与求解】

【例1】如图，大圆©O的直径A3=4C，〃，分别以OA,为宜役作。彷和03，井在。O与。彷和。。2的空

隙间作两个等厕◎5和O。4，这些圆互相内切或外切，则四边形0{0A020.的面积为cm：

（全国初中教学竞赛试题）

解题思路：易证四边形QQOzQ为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.

【例2】加图，圆心为4B,C的三个列彼此相切，且均与直线/相切,若。4。&

0c的半径分别为。，〃，c（0<c<a<b）,则。，b,。一定满足的关系式为（）

A.2b=a+cB.2\[b=-Ja+4c

I111_11

C.—=—F—

cab»不二不+忑

（天津市竞赛试题）

解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径V分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.

【例3】如图，已知两圆内切于点P,大圆的弦A"切小圆丁点C,PC的延长线交大圆丁点/）.求证:

（1）NAPD=NBPD；

(2)PAePB=PC?+AC・CB.（天津市中考试题）

解题思路：对于（1）,作出相应辅助线；对于（2）,应化简待证式的右边，不妨仄AC・BC=PC・CD入手.

【例4】如图和。相交于点八及6处，OS的圆心落在的圆周上，的弦八C与05交于点。.求证：

OiDA.BC.

（全俄中学生九年级竞赛试题）

解题思路：连接八8,5B,0C，显然△<7出C为等腰三角形，若证0Q_L8C,只需证明5。平分N80C.充分运

用与圆相关的角.

【例5】如图，在直角梯形48CD中，AD//BC,ABLBC,AD=\,AB=2,DC=2y[2,点P在边8。上运动（与

。不重合）.设PC=X,四边形人8P。的面积为y.

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若以。为圆心，为半径作。。，以P为圆心，以PC的长为半径作0P,当X为何值时，。。与。。相切？并

2

求出这两圆相切时四边形ABPD的面积.（河南省中考题）

解题思路：对于（2）,OP与（DO既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关

于X的方程.

【例6】如图，ABC。是边长为。的正方形，以。为圆心，DA为半径的圆弧与以“C为直径的半圆交于另一点P,

BN

延长AP交8c于点N,求——的值.（全国初中数学联赛试题）

NC

解题思路：4K为两圆的公切线，AC为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题

策略与方法.

【能力与训练】

1.如图，OA,。4的圆心A,“在直线/上，两圆的半径都为1。儿开始时圆心距八4=4。〃，现。4,。“同时沿直线/

以每秒2o”的速度相向移动，则当两圆相切时，0A运动的时间为秒.

（宁波市中考试题）

2.如图，。2是。Oi上任意一点，。。|和。02相交于八，8两点，E为优弧4B上的一点，EQ及延长线交。。2于C，

D,交AB于F,且。产=1,EC=2,那么05的半径为______.

AM0B

EB

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

3.如图，半圆0的直径48=4,与半圆0内切的动圆Oi与AR切于点M.设。01的半径为y,AM的长为X,则y与x

的函数关系是.（要求写出自变量X的取值范围）

（昆明市中考试题）

4.已知直径分别为1+厉和岳-3的两个圆，它们的圆心距为厉一1,这两圆的公切线的条数是________.

5.如图，。。|和。。2相交于点A，B，且。。2的圆心Q在圆。。1的圆上，户是。Q上一点.已知NA。出=60°,那

么NA/方的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

（甘肃■省中考试懑）

6.如图，两圆相交于4、B两点,过点8的直线与两圆分别交于C,。两点.若半径为、后，。。2的半径为2,则

AC：AD为（）

（第5题图）

7.如图，。。|和。。2外切于点7,它们的半径之比为3:2,4B是它们的外公切线，4,B是切点，AB=476,那么

。。1和。。2的圆心距是（）

20739

A.5而B.1（）C.I0V6D.------

13

8.已知两圆的半径分别为R和rCR>r）,圆心距为d.若关于x的方程V—2江+（A-d/=0有两相等的实数

根，那么这两圆的位置关系是（）

A.外切B.内切C.外离D.外切或内切

（连云港市中考试题）

9.如图，。。|与。。2相交于A,3两点，点Oi在。Q上，点C为。。|中优弧R上任意一点，直线CB交。。2于Z）,

连接OiD.

（1）证明：DO1±4C：

（2）若点C在劣孤眉上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.

（大连市中考试麴）

4A

图1图2

10.如图，已知。01与。。2外切于点P,4"过点P且分别交。。|和。。2于点力，13,切。。2于点8,交。Oi于点

C,H.

(1)求证：△BCPs4HAP；

(2)若AP:PB=3：2,且C为”3的中点，求

(福州市中考武超)

一

A

11.如图，已知。8,0c的半径不等，且外切于点A,不过点A的一条公切线切。8于点。，切。C于点£直线AF

IDE,且与3C的垂直平分线交于点F.求证：BC=2/\F.

(英国教学奥林匹克试题)

12.如图，AB为半圆的直径，C是半圆瓠上一点.正方形Z5EFG的一边OG在直径AB上，另一边Z)E过△ABC得内切

圆圆心O,且点E在半圆弧上.

（1）若正方形的顶点”也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比：

（2）若正方形OEFG的面积为l（X）,且△ABC的内切圆半径，,=4,求半圆的直径八反

（杭州市中考试邈）

B级

1.相交两圆的半径分别为5S〃和4c〃?，公共弦长为6°〃，这两圆的圆心距为_______.

2.如图，OO过M点，0M交。O于4,延长。O的直径48交。M于C.若48=8,BC=l,则AM=.

（黑龙江省中考试题）

3.已知圆环内直径为Qc,〃，外直径为将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链

拉直后的长度为___________cm.

4.如图，已知尸。=10,以P。为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABC。的顶点A,3在大圆上，

小圆在王方形的外部且与C。切于点。.若A3=〃?+M，其中m，〃为整数,，贝［/〃+〃=___________.

（美国中学生数学邀请赛试题）

5.如图，正方形人88的对角线八C,BD交于点M,且分正方形为4个三角形,OO）,。。2，。。3，。。4，分别为△

AMB,4BMC,ACMD,△DMA的内切圆.已知48=1.则OO|,。。2，。。3,0a所夹的中心（阴影）部分的面积

为（）

（4一乃）（3-2五）（3—2近）乃

A.-----------------B.------------

164

C（4一.）（3—2五）口七

416

（太原市竞赛试题）

（第5题图）（第6题图）（第7题图）

6.如图，OOi与OQ内切于点E，O5的弦A8过。Q的圆心。2，交OQ于点C，D若AC：8:80=2:4:3,则O

Q与。。।的半径之比为（）

A.2:3B.2:5C,1:3D.1:4

7.如图，0O|与OQ外切于点4,两网的一条外公切线与。@相切于点8,若A8与两圆的另一条外公切线平行，则

。01与。。2的半径之比为（）

A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3

（全国初中数学联赛试题）

8.如图，已知。。|与。。2相交于A,B两点,过点A作。Oi的切线，交。Q于点C,过点A作两圆的割线分别交。

:于点。，E,OE与AC相交于点P.

（1）求证：PA，PE=PC・PD

（2）当A。与GG相切口以=6.PC=2.q。=12时求A。的长.（起冈市中考试题）

9.如图，已知。Oi和。。2外切于A,8c是。彷和。。2的公切线，切点为8,C.连接8A并延长交。Oi于Q,过。点

作C8的平行线交。。2于E,F.

（1）求证：C。是OOi的直径：

<2）试判断线段8C,BE,BF的大小关系,并证明你的结论.（四川省中考试题）

10.如图，两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,A0是大圆的直彳包大圆的弦A6,6E分别与

小圆相切于点C,F.AD.AE相交于点G,连接8。

（1）求3。的长；

（2）求NABE+2N。的度数：

（3）求上的值.（淄博市中考试题）

AG

11.如图，点，为△ABC的乖心，以A"为直径的。0|与△BC〃的外接圆。。2相交于点。，延长A。交C”于点P.求

证：P为CH的中点、.（“《数学周报杯"全国初中数学竞赛试题）

12.加图，已知A8为半圆。的直径，点P为直径八8上的任意一点，以点A为圆心，AP为半径作。A,0A与半圆。

相交于点C，以点8为圆心，8P为半径作08,08与半圆O相交于点。，且线段C£＞的中点为M.求证：财。分别与

08相切.（”《教学周报杯”全国初中数学竞赛试题）

专题23圆与圆的位置关系

2

例11a提示：连接=岩=；必过点0,则QNJ_AB,设。Q,0O4的半径为xcm,在RlZXq。。中，

有（"+（下）=（泗’解得圻r

：2