2024年中考数学考点专项突破卷13三角形和勾股定理含解析

专题13.1三角形和勾股定理精选考点专项突破卷（一）

考试范围：三角形和勾股定理：考试时间：90分钟；总分：120分

一、单选题（每小题3分，共30分）

1.（2024•江苏中考真题）三角形的重心是（）

A.三角形三条边上中线的交点

B.三角形三条边上高线的交点

C.三角形三条边垂直平分线的交点

D.三角形三条内角平行线的交点

2.（2024•江苏中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.2,2，4B.5,6,12C.5,7,2D.6,8,10

3.（2024•山东中考真题）如图，。是48上一点，力/交AC于点E，DE=FE，FC//AB,若AB=4,

CF=3,则区。的长是（）

A.0.5B.1C.1.5D.2

4.（2024•吉林中考真题）如图，在A4BC中,NACB为钝角.用直尺和圆规在边A3上确定一点。.使

ZADC=2ZB,则符合要求的作图痕迹是（）

5.（2024•湖南中考真题）如图，在中，ZC=90\4c=8,DC=^AD,BD平分/ABC,则

点。到49的距离等于（）

1

D

A.4B.3C.2D.1

6.（2024•浙江中考真题）如图，AD,CE分别是aABC的中线和角平分线.若AB=AC,ZCAD=20°,则NACE

的度数是（）

A.20°B.35°C.40。D.70°

7.（2015•贵州中考真题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是（）

A.""有B.1,亚百

C.6,7,8D.2,3,4

8.（2024•湖南中考真题）如图，"A4旗中，2r=90°,^=30°,分别以点力和点8为圆心，大于

2

的长为半径作弧，两弧相交于"、N两点，作直线MV,交比于点〃，连接44则41〃的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

9.（2012•黑龙江中考真题）如图，AABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分/BAC交BC于点D,点E为AC的

中点，连接DE,则4CDE的周长为（）

A.20B.12C.14D.13

10.（2024•广西中考真题）如图，AA3C为等边三角形，点?从A动身，沿A-3fC—A作匀速运

动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（）

AB

二、填空题（每小题4分，共28分）

11.（2024•沐阳县修远中学中考模拟）如图，力、B、。分别是线段48、BCG力的中点，若△/欧的面积

是［,那么△力逐G的面积为一.

12.（2024•山东中考模拟）如图，在线段AD,AE,AF中，^ABC的高是线段—

13.（2024•北京中考模拟）如图，在△力勿中，射线力。交比'于点〃，BEIAD于E,CF1AD于F,请补充

一个条件，使△/加屋你补充的条件是（填出一个即可）.

14.（2024•北京中考模拟）当三角形中的一个内角a是另一个内角B的一半时，我们称此三角形为“特

征三角形”，其中a称为“特征角”.假如一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特

征角”的度数为

15.（2024•辽宁中考模拟）如图，己知AB〃CF,E为DF的中点，若AB=8,CF=5,则BD=.

£

D

BC

16.（2024•安徽中考模拟）如图,在矩形ABC。中"B石,a力点E是1〃上的一个动点，把△阴沿外响矩

形内部折叠，当点A的对应点4恰好落在/灰刀的平分线上时，姿的长为.

17.（2024•双柏县雨龙中学中考模拟）已知三角形的两边长分别是7和10,则第三边长a的取值范围是

三、解答题一（每小题6分，共30分）

18.（2014•江苏中考真题）如图，已知：AABC中，AB=AC,M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点,

且BD=CE.求证：MD=ME.

19.（2015•浙江中考真题）如图，已知△ABC,ZC=90°,AC<BC,D为BC上一点，且到A,E两点的距离

相等.

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连结AD,若NB=37。，求NCAD的度数.

20.（2013•浙江中考真题）如图，在AABC中，NC=90°,AD平分NCAB,交CB于点D,过点C作DE_LAB,

于点E

c

D

(1)求证：AACD^AAED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的长.

21.(2024•重庆中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，连结AD,BE平分NABC交AC

于点E,过点E作EF〃BC交AB于点F.

(1)若NC=36°,求NBAD的度数.

(2)若点E在边AB上，EF〃AC叫AD的延长线于点F.求证：FB=FE.

22.(2024•四川中考真题)如图，等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作

AEJ_直线m于点E,BDJ_直线m于点D.

①求证：EC=BD：

②若设AAEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理.

23.(2024•江苏中考真题)如图，已知在四边形力收力中，点/在49上，4BC拄NACD=90°,NBAC=/D,

BOCE.

(1)求证：AC=CD；

(2)若力信力£,求的度数.

D

24.（2024•山东中考真题）已知，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC,点D为BC的中点.

（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DEJ_DF,求证：BE=AF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE_LDF,那么BE=AF吗？请利用图②说明理由.

25.（2015•广西中考真题）如图,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=AD.

（1）作NA的平分线交CD于E；

（2）过B作CD的垂线，垂足为F；

（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明.

26.（2024•山东中考真题）在AA8C中，NB4C=90。，AB=AC,AD1BC于点D.

（1）如图1,点“，N分别在A。，A6上，且NBWN=9O0,当/AWN=3O0,A6=2时，求线段AW

的长；

（2）如图2,点E，/分别在AB,AC±,且NEOF=90。，求证：BE=AF；

（3）如图3,点〃在的延长线上，点N在AC上，且N6MN=90。，求证：AB+AN=gM•

图1图2图3

13.1三角形和勾股定理精选考点专项突破卷（一）参考答案

1.A

【解析】三角形的重心是三条中线的交点，

故选A.

2.D

【解析】依据三角形三边关系，看其中较小两边的和是否大于最长边即可推断各个选项中的三条线段是否

能组成三角形.

【详解】•.-2+2=4,「.2,2,4不能组成三角形，故选项A错误，

v5+6<12,Z.5,6,12不能组成三角形，故选项B错误，

•/5+2=7,.\5,7,2不能组成三角形，故选项C错误，

・.,6+8>10,.,.6,8,10能组成三角形，故选项1）正确，

故选D.

【点睛】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边.

3.B

【解析】依据平行线的性质，得出NA=/FCE,ZADE=NF，依据全等三角形的判定，得出

MDE^^CFE,依据全等三角形的性质，得出AD=C/，依据4B=4,CF=3,即可求线段Z）区的

长.

【详解】,：CFUAB、

：.ZA=ZFCE,ZADE=/F，

ZA=ZFCE

在AADE和AFCE中、/4。石二/尸，

DE=FE

・•・MDE=ACFE（A4S）,

AAD=CF=3,

•・•AB=4,

：.DB=AB-AD=4-3=\.

故选：B.

t点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定AADE="CE是解此题的

关键.

4.B

【解析】由NADC=2NB且N/4OC=NB+NBCD知N8=N8CO,据此得OB=DC,由线段的中垂

线的性质可得答案.

【详解】解：:ZADC=2ZB且ZADC=NB+/BCD，

：・/B=4BCD，

••DB=DC»

・••点D是线段3。中垂线与AB的交点，

故选B

【点睛】考核学问点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.

5.C

【解析】如图，过点1）作DE_LAB于E，依据已知求出CD的长，再依据角平分线的性质进行求解即可.

【详解】如图，过点D作DE_LABJ'E,

AC=8，DC=—AD,

3

ACD=8x—=2,

1+3

•.•/C=90°，BD平分ZABC,

.*.DE=CD=2,

即点D到AB的距离为2,

故选C.

CDA

【点睛】本题考查了角平分线的性质，娴熟驾驭角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.

6.B

【解析】先依据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出NCAB=2NCAD=40°,ZB=ZACB=i

2

(180°-ZCAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出NACE=』NACB=35°.

2

【详解】:AD是△ABC的中线,AB=AC,ZCAD=20°,

AZCAB=2ZCAD=40°,ZB=ZACB=-(1800-ZCAB)=70°.

2

•••CE是△ABC的角平分线，

/.ZACE=-ZACB=35".

2

故选B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边

上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出/ACB=70°是解题的关键.

7.B

【解析】

试超解析：A.()2+(4)2#(石)2,故该选项错误；

B.12+(V2)2=(>/3)2,故该选项正确；

C.62+7'V82,故该选项错误；

D.22+3V42,故该选项错误.

故选B.

考点：勾股定理.

8.B

【解析】依据内角和定理求得NBM>60°,由中垂线性质知D/\=DB,即NDAB=NB=30°,从而得出答案.

【详解】在AABC中，VZB=3O0,ZC=90°,

.,.ZBAC=1800-ZB-ZC=60°,

由作图可知MN为AB的中垂线，

ADA=DB,

/.ZDAB=ZB=30°，

AZCAI)=ZBAC-ZDAB=30°,

故选B.

【点睛】本题主要考查作图-基本作图，娴熟驾驭中垂线的作图和性质是解题的关键.

9.C

【解析】解：:AB=AC,AD平分NBAC,BC=8,

1

AADIBC,CD=BD=-BC=4,

2

•・•点E为AC的中点，

1

ADE=CE=-AC=5,

2

:.ACDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.

故选C.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记

性质并精确识图是解题的关键.

10.B

［解析】依据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可解除选项C与D；

点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意.

【详解】依据题意得，点户从点A运动到点3时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C与选项D

不合题意；

点户从点4运动到点CM，是的一次函数，并且有最小值，

・•・选项B符合题意，选项A不合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类探讨，利用三角形面枳公式得到y与x的函数关系，

然后依据二次函数和•次函数图象与性质解决问题.

11.7

【解析】如下图,连接ACBiA,GB,,因B是线段BC的中点,所以BB=BC.

△ABA和△ABB等底同高，依据等底同高的两个三角形面积相等可得S4心S.xl；同理可得5〃皿8.后1；

所以二SAMBIA+S/IAIHIFI+I=2;同理可得SACIOH=2,SACIAAI-2.

SAA：B1C1=SAA18B1+SACICB1+SACIAA1+SAA£C=2+2+2+1-7.

考点：等底同高的两个三角形面积相等.

12.AF

【解析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

【详解】・・・AF_LBC于F,

•••AF是△ABC的高线，

故答案为：AF.

【点睛】本题主要考杳了三角形的高线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角

三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在

三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外•点.

13.答案不唯一，如陟吹7

【解析】依据全等三角形的判定定理AAS判定△BEDgZkCFD.

【详解】解:可以添加条件：B1)=DC.

理由：VBD=CD；

XVBEXAD,CF_LAD,

・・・NE=NCFD=90°；

・••在ZXBED和△CFD中，

/BDE=/CDF

<NE=/CFD=9。。,

BD=CD

AABED^ACFD(AAS).

故答案是：答案不唯一，如BD=DC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS.HL.

14.45°或30。

【解析】分①“特征角”的2倍是直角时，依据“特征角”的定义列式计算即可得解；②“特征角”的2

倍与“特征角”都不是直角，依据直角三角形两锐角互余列方程求解即可.

【详解】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”=!义弘°=45°；

②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，

由题意得,x+2x=90°,

解得x=30°,

所以，“特征角”是30°,

综上所述，这个“特征角”的度数为45°或30°.

故答案为：45°或30°.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，读懂题目信息，理解

“特征角”的定义是解题的关键.

15.3

【解析】

VAB//CF,AZA=ZFCE,ZADE=ZF,又・.・DE=FE,AAADE^ACFE,

AAD=CF=5,

VAB=8,.\BD=AB-AD=8-5=3,

故答案为3.

16.3亚或4立

【解析】过点Ai作AMJ_BC于点M.由AC是角平分线可知NACM=45°,可证明A1M=CM,可知AAMC是等腰

直角三角形，设CM=AM=x,在RtZXAIMB中利用勾股定理

列方程求出x的值，依据aAUC是等腰直角三角形即可求出答案.

【详解】过点Ai作A.M1BC于点M.

•・•点A的对应点下恰落在NBCD的平分线上,ZBCD=90°,

・・・NAC\I=45°,即是等腰直角三角形，

・•・设CM=AiM=x,则BM=7-x.

又由折叠的性质如AB=A,B=5,

，在直角△ANB中，由勾股定理得AM=AE-BM2=25-(7-X)2,

.•・25—(7—X)JX；解得XL3，X2=4,

•・•在等腰RtAA.CM«P,CA.=V2A.M,

・・・CA产3a或40.

【点睛】本题考查折叠性质及解宜角三角形，图形折叠后对应边相等，对应角相等，娴熟驾驭折叠的性质

是解题关键.

17.3Va<l7.

【解析】依据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题.

【详解】解：・・•三角形的两边长分别是10和7,

・••第三边长a的取值范围是3<a<17.

故答案为3VaV17.

【点睛】本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关

键.

18.证明见解析.

【解析】

试题分析：依据等腰三角形的性质可证NDBM二NECM,可证△BDMgZXCEM,可得W)=ME,即可解题.

试题解析：证明：ZSABC中，VAB=AC,/.ZDBM=ZECM.

OM是BC的中点,ABM=CM.

BD=CE

在△RDM和aCEM中，•・•・ZDBM=ZECM,

BM=CM

/.△BDM^ACEM(SAS)./.MD=ME.

考点；1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.

19.（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）.（2）16°.

【解析】（1）依据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线.（2）要

求NCAD的度数，只需求出NCAD,而由（1）可知：ZCAD-2ZB

【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）.

(2)•・•在RtaABC中，ZB=37°,/.ZCAB=53°.

又：AD=BD,・・・NBAD=/B=37°.

/.ZCAD=53°—37°=16°.

考点：尺规作图，直角三角形两锐角互余、垂直平分线的性质.

20.(1)见解析(2)BD=2

【解析】

解：(1)证明：•.”[)平分NCAB,DE_LAB,ZC=90°,

ACD=ED,ZDEA=ZC=900.

AD=AD

「在RUCD和RlZ\AED中，〜，

CD=DE

ARtAACD^RtAAED（HL）.

（2）VRtAACD^RtAAED,CD=1,ADC=DE=1.

VDEIAB,AZDEB=90°.

VZB=30°,ABD=2DE=2.

（1）依据角平分线性质求出CD=DE,依据HL定理求出另三角形全等即可.

（2）求出NDEB=90°,DE=1,依据含30度角的直角三角形性质求出即可.

21.（1）ZBAD=54°：（2）见解析.

【解析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明NADB=90°,再利用等腰三角形的性质求出NABC即可

解决问题.（2）只要证明NFBE二/FEB即可解决问题.

【详解】解：（1）-：AB=AC

:.ZC=ZABC

;NC=36°

/.ZA8c=36°

•・・D为BC的中点,

:.AD1BC

:"BAD=90a-AABC=90,-360=54

(2)・・・BE平分NA5C

:.ZABE=ZEBC

又・；EF//BC

:"EBC=/BEF

:"EBF=/FEB

:.BF-Er

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等学问，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考

常考题型.

22.①证明见解析；②见解析.

【解析】①通过AAS证得ACAENABCD，依据全等三角形的对应边相等证得结论；

②利用等面积法证得勾股定理.

【详解】①证明：：AACB=90,，

・••乙4CE+N8c0=90，

•••NAC£+NCAE=9(f，

・•・NCAE=/BCD.

在AAEC与△BCD中,

ZCEA=/BDC

</CAE=/BCD

AC=CB

・•.\CAE^\BCD(AAS).

EC=BD；

②解：由①知：BD=CE=a

CD=AE=b

,e*S梯形AEDB=3(〃++")

J

——CT+cibH—b~.

22

又**S梯形AK/)8=SA*+SBCD+SABC

=—ab+—ab+—c2

222

=ab-^—c1.

2

1,1J2,12

••—a2+ab+—b=ab4—c.

222

整理，得6+/=°2

【点睛】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是推

断两三角形全等.

23.(1)证明见解析；(2)112.5°.

【解析】(I)依据同角的余角相等可得到Z2=Z4,结合条件N84C=NO,再加上BC=CE,可证得结论;

(2)依据/ACZ)=90。，AC=CD,得到/1=/。=45。，依据等腰三角形的性质得到N3=/5=67.5。，

由平角的定义得到/DEC=180°-Z5=ll2.5°.

【详解】(1)证明：

•;/BCE=ZACD=90。,

?.Z2+Z3=Z3+Z4,

/.Z2=Z4,

4BAC=6

在△力a'和△〃匹。中，，Z2=Z4

BC=CE

.・’A8C2OEC（AAS）,

/.AC=CD；

(2)VZ/J6Z?=90o,AC=CD,

AZ1=ZZ?=45O,

':但A3

，N3=N5=67.5°,

，/叱=180°-Z5=112.5°.

24.(1)证明见解析；(2)BE=AF,证明见解析.

【解析】

分析：(1)连接AD,依据等腰三角形的性质可得出AD=BD、ZEBD=ZFAD,依据同角的余角相等可得出

ZEDE=ZADF,由此即可证出△BDEgAADF(ASA),再依据全等三角形的性质即可证出BE二AF；

(2)连接AD,依据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出NEBD二NFAD、BD=AD,依据同角的余角相等

可得出/BDE=NADF,由此即可证出△EDBq/XFDA(ASA),再依羽全等二角形的性质即可得出BE=AF.

详(1)证明：连接AD,如图①所示.

图①

VZA=90<>,AB=AC,

•••△ABC为等腰直角三角形，NEBD=45°.

•・•点D为BC的中点，

AAD=-BC=BD,ZFAD=45°.

2

VZBDE+ZEDA=90°,ZEDA+ZADF=90°,

:.ZBDE=ZADF.

在Z\BDE和AADF中，

/EBD=/FAD

BD=AD,

/BDE=/ADF

AABDE^AADF(ASA),

・・・EE=AF；

（2）BE=AF,证明如下:

连接AD,如图②所示.

VZABD=ZBAD=45°,

.,.ZEBD=ZFAD=135°.

VZEDB+ZBDF=90°,ZBDF+ZFDA=90°,

/.ZEDD=ZFDA.

在Z\EDB和△FDA中，

/EBD=/FAD

<BD=AD,

NEDB=ZFDA

AAEDB^AFDA（ASA）,

ABE=AF.

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）依据全

等三角形的判定定理ASA证出△BDEgZkADF；（2）依