2024全国高中数学联赛模拟试题

2024年全国中学数学联赛模拟试题01

第一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

L设，/-3，则篇3（2。14）=_____.

2.设A=（・2,4）,B=｛x\x2+ax+4=0,x?R].若ApB的非空子集个数为1,

则实数〃的取值范围是.

3.设R是满意的点（演y）构成的区域，则区域R的面积为_____.（其中1]表示不超过实数X的最大整数）.

4.二元函数f（x,y）=VCOS4X4-7+Jcos4y+7+Jcos4x+cos4y-gsinAsii?y+6的最大值为____

5.已知3是双曲线C:2父-4y?+1=0上靠近点A（O,〃?）“心1）的一个顶点.若以点A为圆心，|A8|长为

半径的圆与双曲线。交于3个点，则机的取值范围是.

6.甲、乙两人玩嬉戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为三，第偶数局，乙赢的概率为士.每一局没有平

44

局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时嬉戏结束.则嬉戏结束时，甲乙两人玩的局数的

数学期望为.

7.设五边形A3CO石满意NA=NB=NC=/。=120,则的最小值为

8.过正四面体A5CZ）的顶点A作一个形态为等腰三角形的截面，且使截面与底面8CZ）所成的角为75°.这

样的截面共可作出个.

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）.试求实数〃的取值范围，使得2是不等式的最小整数解.

10.（本小题满分20分）、数列｛〃”｝向定义为4=1,%=4，4=疯不工T（力之2〉

⑴求证：数列应｝向为整数列：⑵求证：2aM出+1（〃21）是完全平方数.

11.（本小题满分20分）已知S,P（非原点）是抛物线y=x2上不同的两点，点P处的切线分别交x,y轴于Q,R.

（1）若PQ=APR,求4的值；（2）若SPJ_PR,求△PSR面积的最小值.

2024年全国中学数学联赛模拟试题01

一、（本小题满分4。分）一、如图，设A为。q,©（%的一个交点，直线/切oq,82分别于B,C，。3

为AABC的外心，。3关于A的对称点为。，M为。。2的中点.o

求证：ZO.DM=ZO2DA.\

111*

二、（本小题满分40分）设S“=1+彳+彳+♦••+—（〃£"）.证明:对随意111£心存在n£N",使得[S[=m.

23

三、（本小题满分50分）试求全部的正整数〃，使得存在正整数数列4<4<<?，使得和

a^a.（\<i</<〃）互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.

四、（本小题满分50分）集合S是由空间内2024个点构成，满意随意四点不共面.正整数用满意下列条

件：将随意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个工机的非负整数，使得由S中顶点构成的任何一个

三角形，肯定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.

试求加的最小值.

2024全国中学数学联赛模拟试题02

一、填空题(每小题8分，共64分)

1.在如下图所示的正方体ABCD-ABCD中，

二面角4—80—C'等于(用反三角函数表示)

2.假如三角形A48C的三个内角A,B,C满意

cotAcotHcotC依次成等差数列，则角B的最大值是

3.实数列｛%｝满意条件：。产也+1,出=五+1,+。,一=---+2(〃>2),

2%-%

则通项公式勺=(n>l)o

4.鼻,也是椭圆的两个焦点，尸为椭圆上随意一点，假如APFE的面积为1,

tanNP£Zs=^,tanZ.PF2F、=-2,则a=

5.在同始终角坐标系中，函数/(x)=J西4(。00)与其反函数(幻的图像恰有三个不同的交点，则实数

a的取值范围是________________

6.已知正实数q,9,…,见与非负实数伪也，…也满意⑴4+生+…+《,+4+，+…+么=〃;

«tfJ

(2)%的%+他b“=-,则an—+—+'••+—的最大值为________.

2(4%an)

7.己知20块质量为整数克的祛码可称出1,2,,2014克的物品，

硅码只能放在天平一端，则最大祛码质量最小值为克.

8.设g(x)=Jx(l-x)是定义在区间［0,1］上的函数,则函数y=xg(x)的图像与1轴所围成图形的面积是,

二、简答题(本大题共3小题，共56分)

9.(16分)设数列｛O”｝的前〃项和Sn组成的数列满意

s〃+S〃+i+S“+2=6/+9n+7(/i>l),已知4=1,%=5,求数列｛an｝的通项公式。

10.（20分）设X12.“3.是多项式方程d—1°X+11=0的三个根。

（1）已知2d3.都落在区间（一5,5）之中，求这三个根的整数部分;

x=

(2)证明：arctanx{+arctanx2+arctan3~^

11.（20分）如下图，椭圆r：—+/=1M（-2,O）,B（O-1）是椭圆「上的两点，直线

4*

/,:x=-2,/2:y=-l.P（x0,y0）（xQ>0,%>0）是「上的一个动点，13是过点P旦与「相切的直线，C,D,E

分别是直线《与4与4，4与13的交点，

求证：三条直线和CP共点。

2024全国中学数学联赛模拟试题02

一（本题满分40分）

对随意实数定义运算"㊉"为：a?b[2a+b].在直角坐标系中,

设点集A={Q,y）|0?x3,0?y2,（应排x）2y=（应排y）2x},求A所对应的平面区域的面积.

二(本题满分40分)

如图，在A48C中，AB>AC,”为A45c的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满意

/BHM=ZCHS,点A在直线"S1上的射影为P.证明：AMPS的外接圆与AABC的外接圆相切.

三(本题满分50分)

整数a,b,c,d满意、ad-be=1.求/+从+c2+d2+ah+cd-ac-仇/一儿的最小值,

并求出一切达到最小值的四元数组(a,。,c,d)

四(本题满分50分)

设整数九22,G={0,l,,・・,〃-l},4,BqG,对xwG,记九(x)为满意。一)三x(mod〃)，

ZzeB的数组(ag)的个数，类似定义九(x),6,(>).

证明：

xeGxeG

2024全国中学数学联赛模拟试题03

一试

一、填空题(每小题8分，共64分)

1.已知函数/(x)=|log2x|，若实数。，双刀满意f(a)=/S)，则a+2014b的取值范围是.

2.函数/(x)=asinx+Z?cosx(a,b?Z)满意{x|/(x)=O}={x|/(/(x))=o},则a的最大值为.

3.设复数Z|=(6-〃)+(4-b)Z,z2=(3+2a)+(2+3b)ifz3=(3-tz)+(3-2Z?)z,

(a,bwR),则当|马|十匕|+匕|取到最小值时，3a+4/?=

4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一

个正四棱柱，底面边长为。(。〈6),高为h(h>6),

竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a的值应取为.

5.在AA5C中，A8=JIAC=84c=30°,尸是AA5C所在平面上随意一点，\/

则zPAPB+PBPC+PCPA的最小值是

6.正数列{%}满意:(S“为前九项之和)，则27“=.

7.设过点M(2,0)的直线I与抛物线y2=4x交于点A,B,与圆交于点C.D,

若［4。|=忸必且|4四工|。|,则这样的直线，的条数是

8.6名男生和x名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少出名4男生站在一起的概率为〃,

若，则x的最小值为.

二、简答题(本大题共3小题，共56分)

9.已知正数数列｛6,｝满意：+3%4+2=5击“%+]+3匕1+4收％(nsN*),

且q=2,。2=1°，求｛明｝的通项公式.

10.二次函数/(x)的图像开口向上，与x轴正向交于A8两点，与y轴交于点C,以。为顶点，若三角形

ABC的外接圆与y轴相切，且NZ)AC=150,则x>0时，求的最小值.

11、已知圆(x—l)2+(y-2)2=R2(R>0)与椭圆有公共点，求圆的半径R的最小值.

2024全国中学数学联赛模拟试题03

加试

-(本题满分40分)

如图，圆。|、圆。2与圆。3相交于点P，圆01和圆。2的另一个交点为A,经过点A的一条直线分别

交圆。I、圆。2于点6、C,AP的延长线交圆。3于点。，作。石〃8c交圆。3于点E,再作£M、EN

分别切圆«、圆。2于M、N.

求证：EM?-EN?=DE・BC.

二、(本题满分40分)

若数列｛3｝是项为非负整数的不减数列，且满意：对随意的〃EN”,只有有限个正整数/使得册

成立，记这样的机的个数为(4)",则得到一个新数列｛(0“)“｝,如此可定义数列卜见)»)等.

求证：(&)*)=%.

三、(本题满分50分)

证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p,至少存在一个〃EN,

满意：“12014*+2014.

四、（本题满分50分）

平面上有4〃）个半径相同的圆，其中随意两个圆都不相切，随意一个圆至少与另外三个圆相

交.设这些圆的交点个数为了（〃），求/（〃）的最小值.

2024年全国中学数学联赛模拟试题04

第一试

（时间:8:00-9:20满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.集合A={x,训与5={1,log3（x+2）}恰有一个公共元为正数1+x,则AUB=.

2.若函数/（力=log/or?7+之］在区间0,2］上递增，则a的取值范围是.

3.已知，且tana=3tan4，则〃=a-/7的最大值为.

4.在单调递增数列的}中，已知q=2,叼=4,且。2〃T，成等差数列，生”，出”+2成

等比数列，〃=1,2,3,….那么，4oo=-

5.已知点P。,2,5）是空间直角坐标系。-型内肯定点，过尸作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于ARC

三点，则全部这样的四面体04BC的体积的最小值为.

6.在AA5C中，角A,B,C的对边为〃，4c,a=5,b=4,又知，

则AABC的面积为.

7.已知过两抛物线G：x+l=（y-l）2,1的交点的各自的切线相互垂直，

则实数Q的值为.

8.若整数。,6既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设A是集M=｛1,2,,2014｝的

〃元子集，且4中任两数皆是“联盟”数对，则〃的最大值为.

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）设数列｛《,｝满意q=1，。用=止2,〃之1.求证：

2勺

2n

（1）当〃22时，/严格单调递减.（2）当〃21时，|〃用一行|=2追上左，这里r=2-JL

1-r

10.（本小题满分20分）设椭圆与抛物线％2=2p），（p>0）有一个共同的焦点尸，PQ为它们的一条公切线,

P、。为切点，证明：PF±QF.

11.（本小题满分20分）求证：（1）方程d一1-1=0恰有一个实根口，并且0是无理数;

（2）。不是任何整数系数二次方程这2+法+c=0（a,4c£Z,。W0）的根.

2024年全国中学数学联赛模拟试题04

加试

（时间：9:40-12:10满分:180）

一、（本小题满分40分）如图，在锐角AABC中，AB>AC,D、E分别是边A8、AC的中点，MDE

的外接圆与MCE的外接圆交于点尸（异于点E）,AADE的外接圆与的外接圆交于点。（异

于点。）o求证：AP=AQ.

二、（本小题满分40分）

求全部素数"，使得

三、（本小题满分50分）

设n是一个正整数，4，。2，・・・，。”，仇也，一也，。2，。3，，，。2”是4，一1个正实数，使得cj>^,l<Z,J</2.

人rm/〃+Q+Q++G“、24+〃，+''+a"、为+"++6”、

令加二maxG,证明：（-----=-----------祖->（」一=-------^）（」一=--------.

2"2”2〃nn

四、(本小题满分50分)

，个棋手参与象棋竞赛，每两个棋手竞赛一局.规定胜者得1分，负者得。分，平局各得0.5分.假如

赛后发觉任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m—1个棋手，也有一个棋手输给了其余m—1个棋手，就

称此赛况具有性质P(m).对给定的求〃的最小值/(m),使得对具有性质P(m)的任何赛况，

都有全部n名棋手的得分各不相同.

2024年全国中学数学联赛模拟试题05

第一试

(时间：8:00-9:20满分：120)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.函数的值域是______________

2.函数)，=tan(2O13x)-tan(2014x)+tan(2O15x)在[0,扪中的零点个数为

3.设几R是平面上的两点,巴人】是当关于耳的对称点,，+2是匕+1关于A的对称点,女£N’,

若超6|=1,则|^013^014|=

4.设动点尸(人0),。(1,力,其中参数re[O/L则线段P。扫过的平面区域的面积是

5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是

6.一个球外接于四面体4〃CO,另一半径为1的球与平面ABC相切，且两球内切于点O,已知40=3,

cosZBAC=-.cos/.BAD=cosZCAD=上，则四面体ABCD的体积为_______________

5V2

7.设A3是抛物线/=2p曲一条焦点弦，且A3与x轴不垂直，尸是y轴上异于0的一点

满足0,P,A,B四点共圆，点A,B,P的纵坐标分别为力必,典,则之垃=

Jo

8.用ms)表示非空整数集s中全部元素的和，设4={4,是正整数集，

且…%，若对每个正整数〃工1500,存在A的子集S,使得b(S)=〃，

则满意上述要求的《°的最小值为.

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.(本小题满分16分)已知x,y,z是正实数，求证:三匕+'三十2二二20

x+2yy+2zz+2x

10.(本小题满分20分)设玉,工2，,怎,…是不同的正实数.

证明：%,天,,当,是一个等比数列的充分必要条件是：对全部整数〃(22),都有

11.(本小题满分20分)已知直线y=x与椭圆G交于A,8两点，过椭圆。的右焦点尸、倾斜角为。的

直线/交弦A8于点P,交椭圆C于点M,N.(1)用a表示四边形MAN8的面积；

(2)求四边形的面积取到最大值时直线/的方程.

2024年全国中学数学联赛模拟试题05

加试

（时间：9:40-12:10满分：180）

一、（本小题满分40分）如图，AA5c的外心为。，E是AC的中点，直线OE交43于O,点M,N分别

是ABCQ的外心与内心，若AB=2BC,证明：ADMN为直角三角形.

二、（本小题满分40分）

对给定的自然数加与〃，加V”,随意一个由〃个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘

积能被机〃整除.

三、（本小题满分50分）

求证：数列%=3"（：0§|〃式以：0§3）（〃£7）的每一项都是整数，但都不是3的倍数

四、（本小题满分50分）

圆周上有般个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的.互不重叠的圆内

区域的个数.

2024全国中学数学联赛模拟试题06

一试

二、填空题（每小题8分，共64分）

1.函数/（x）=2x-j4x-x2的值域是.

2.已知。，瓦c成等比数列，】0以。,】0以。,】0806成等差数列，则该等差数列的公差为

3.正八面体的随意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.

4.设椭圆与双曲线耳=1相切，则/二.

5.设z是复数，则|z—l|+|z-i|+|z+l|的最小值等于.

6.设。，b,c是实数，若方程d+o?+云+。=0的三个非负实根构成公差为1的等差数列，

则。+匕+女的最大值是.

7.设。是A48C的内心，AA=5,AC=6,8C=7,OP=xOA+yOB+zOC,

0<x,y,z<l,动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于.

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是.

三、简答题(本大题共3小题，共56分)

9.已知整数列｛4｝满意生=-1，%=4,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.

(1)求数歹iJ｛4｝的通项公式；(2)求出全部的正整数tn,使得am+atn+l+am+2=amam^a,n^2.

10.已知函数/(*)=/+d2+版+。,8(%)=3/+2611：+6及4430满意下列条件：

(1)NA,N5,NC成等差数列；(2)tan8为方程/(x)=0的一个根，

(3)12114/211。为方程8(工)=0的两个不相等的实根；(4)/(tanA)+/(tanC>=0

求/(x),g(x)及N4,NB,NC的度数

1L过抛物线V=4x的焦点尸做直线］与抛物线交于(1)求证：AAOB不是直角三角形；

C2)当/斜率为!时，抛物线上是否存在点C使得△ABC为直角三角形，若存在，求出全部的点C；若

2

不存在，说明理由

2024全国中学数学联赛模拟试题06

加试

一,（本题满分40分）

如图，在△A3C中，AB<AC,。。是△ABC的外接I员I,过点4作的切线交8c延长线于点

过点作3c的两条垂线分别与AB.AC的中垂线交于点E,F.

求证：D,E,F三点共线

二、（本题满分40分）

己知无穷正数数列｛%｝满意：（1）存在初wK,使得生《相（1=1,2,…）；（2）对随意正整数j）

均有，求证：

三、（本题满分50分）

设a,b,c,d€N满意:bc-ad=l,集合A={1,2,3,…,a+c—=wN}

假如AwA-A,求证：（其中［x］表示不超过x的最大整数）

四、（本题满分50分）

求全部的自然数〃，使得存在（1,2,,〃）的一个置换（P］,P2，,p“）满意：集合{Pj+i|14i4〃}和

{化一中Wi<〃}均为mod〃的完全剩余系

2024年全国中学数学联赛模拟试题07

第一试

（时间：8:00-9:20满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

L若函数/（工）=（1一+力的图像关于直线X=3对称，则/（X）的最大值是

2.设f{x}=ax1+（2b+\）x-a-2（。,be凡”0）在［3,4］上至少有一个零点，则a2+b2的最小值为

3.设直线/与曲线y=V+x+l有三个不同的交点4,8,。，且|相|=忸C|=石，则直线/的方程为—

4.椭圆的左焦点为尸，在椭圆上且满意|AB|=6,

贝”E4H尸网的最大值为

5.设实数。/满意条件〃=项+工2+工3=阳12工3，=XKX2-\-X2X3+X3Xj,其中天，々，.〉。，

则的最大值是。

6.若。是边长为1的正三角形48c的边3c上的点，与AACD的内切圆半径分别为小弓，

若,则满意条件的点。有两个，分别设为A，4,则。之间的距离为____________

7.三棱锥A-8CD中,/XBC。、AACD均为边长为2的正三角形,△BCD在平面。内,

侧楂48=6.现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个，

并记对应的标号为/（〃）,（〃取值为4、8、C、D）,E为侧棱48上一点.

71

若|阳：|冈子切：/⑷，则二面角E-CD-4的平面角6大于:的概率为

8.设方程炉=1（〃为奇数）的〃个根为1,%,电，…,工小，则

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.如图，已知抛物线C：y2=4x,过点A（1,2）作抛物线C的弦AP,AQ.

（1）若AP_1_AQ,证明：直线QP过定点，并求出定点坐标;

C2）假设直线PQ过点T（5,-2）,请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ?

若存在，求出△QAP的个数，若不存在请说明理由.

10.求正整数匕,玄,…&和〃使得用+Z+…+幺=5〃-4,且一+一

11.设〃为一个正整数，证明：存在实数4和仁/=1,2,…k>l,使得

siir/u十.....

.2=%+〉，%cos2(I)x

sinx”方配

对全部的实数xwm几、meZ均成立。

2024年全国中学数学联赛模拟试题07

加试

（时间：9:40-12:10满分：180）

一、（本小题满分40分）在A43c中，点鸟是AC边上旁切圆圆心片关于AC中点的对称点，点G是A8

边上旁切圆圆心G关于A6中点的对称点，8C边上旁切圆切6c边于点Q.求证：4。132c2.（AC边

上旁切圆指与84、3C的延长线及线段AC均相切的圆.）

二、（本小题满分40分）

若非空集合Aq{l,2,3,…满意|A|«minx,则称A为〃级好集合.记/为几级好集合的个数（其

中网表示集合A的元素个数，吧ipx表示集合A的最小元素）.求证：对一切正整数〃，都有

4〃+2="〃+|+4+1・

三、（本题满分50分）

（1）设p为奇质数，a,eN*,p|a-力，〃不整除仇aHb则

（2）。，力是不同的正有理数，使得存在无穷多个正整数是正整数，求证：也是正整数

四、（本题满分50分）

设〃之3,且〃£%+，（4的，・q）是随意的和为正数的〃个不同的实数。（如打,…，勿）是这n个数的一

个排列，若对Wt=l,2,…有。我们就称（如勿，"）是一个“好排列”。求“好排列”个数的最小值。

2024年全国中学数学联赛模拟试题08

第一试

（时间：8:00-9:20满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

丁々4410工2+20x+183-,,a

1.不等式——--R——>x+2X的解集是_____________________

（X+1）

2.适当排列三个正实数10/+81a+207,a+2,26-2。使得它们取常用对数后构成公差为1的等差数列,

则。的值等于

3.已知空间四边形A3CD的对角线AC=10加,30=6M,N分别是A5,CD的中点，若异面直线

4c,30所成角为60,则的V=

4.在△ABC41,设且cos(A—B)+cosC=1-cos2C,则

5.设尸为圆V+y2=i上肯定点，点Q,展在该圆的内部或圆周上，且△PQR是边长为2

耳的正三角形,

则|O02+|OR「的最小值是

6.已知则总T高+高T的取值范围是-----------

7.过椭圆内一点“(3,2)作直线，"2分别与椭圆交于点人5(7,0,过4,3分别作椭圆的切线交于P,过

C,。分别作椭圆的切线交于。，则直线产。的方程是

8.正六边形ABCDEF的中心为0,对4,仅C,O,E,尸，。这7个点中的随意两点，以其中一点为起点，另

一点为终点作向量，任取其中两个向量，它们的数量积的肯定值的数学期望是

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.已知数列｛，｝的通项公式为，数列｛/“｝满意：必=耳，

且当〃N2时M=S-S.,其中4=1,0£N*(〃22,M£N")=S,l—S.

H%'n-l171\/n"ir-l

证明：肯定存在数列｛、｝使得数列｛"〃｝中的每个数均为完全平方数

10.非负实数。，b,c满意a+Z?+c=3.求S=(〃2-劭+从乂从一历+1)(1的最大值.

ii.已知A（%,y），4（电，%），4（毛，%）是抛物线y=2px（〃>0）上不同的三点，△人为人有两边所在

的直线与抛物线炉=孙（4>0）相切，证明：对不同的i,/£{l,2,3},yx（y+x）为定值

2024年全国中学数学联赛模拟试题08

加试

（时间:9:40-12:10满分：180）

已知。是△ABC的外心，过

一、（©隔台线分加交边ABAC于点M、M设

BN、CM的中点分别为S、R.求证：

NSOR=N84C.

已知。、鼠c都是正数,且

（押牌通金并恭证：

1113

2+7+分+27P77，2+C2+Q2".

已知见,。2,…是严格递增的

三、企4嬲蝴自好任意正整数m、M（Q.,Q“）

二々…）（（。冷）表示整数。和b的最大公约

数）.若存在一个最小的正整数K使得存在

整数和S》左，满足=Q,Q,.求证：

r\kfk\$.

,设集合4GR,"是集合A

四、M那沸学嫄窗的集合.若集合4满足对任

意的映射/：〃一力,总存在XS）,使得

…））幺-1

成立，其中/-X表示集合A的子集彳的补

集M为给定的正整数.试求所有满足上述条

件的集合人

2024年全国中学数学联赛模拟试题09

第一试

（时间：8:00-9:20满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.方程12+1_1二彩/7+，―1)产的解集为4(其中，e是无理数，6=2.71828.).

则A中的全部元素的平方和等于

2.平面。内有圆A3C(如图)48是直径，SA_La,。是AB上一点.若AC:AB:W=1:2:2,

则二面角C—S3—A的平面角的余弦值是

3.在一次网球竞赛中，"个女子和2〃个男子参与，并且每个选手与其他全部选手恰好竞赛一次,

假如没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5,则〃=

4.设a,d为非负实数，A,c为正实数，且6+cNa+d.则的最小值是

5.在双曲线/一9=2上任取三点A,5,C,则AA8C垂心”的轨迹方程为

6.函数/(x)=/(sinx+cosx),.过点作函数/(%)图像的切线，令各切点的横坐标构成数列｛%,｝,则数

列｛乙｝的全部项之和S的值为

7.设一元三次方程x3+px+1=0的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形,

则此正三角形面积为

8.使得nsinl>5cosl+1成立的最小正整数n是

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.设/*)是x的整系数多项式|/(工)|一17有五个互不相同的整数根.证明：方程f(x)=0没有整数根.

1

10.已知数列

1,、

an=7—;+44-2+,+见_24+q_臼）•

3n-l

求证：。用<〃”•

11.点P（毛,%）是椭圆上的随意一点，直线）=履+m（切2f0）截椭圆所得的弦MN被直线OP平分且满意

叫>一1.△PMN的面积为1,推断四边形0M/W的形态及直线PM与椭圆C的公共点的个数，证明你

的结论.

2024年全国中学数学联赛模拟试题09

加试

（时间：9:40-12:10满分：180）

一、（本小题满分40分）

已知AA3C是等腰三角形，48=4。,。。是腰人笈上的高线，CO的中点为

AE_L8M于瓦AR_LCE于尸.求证：

二、（本小题满分40分）

设实数玉>0（i=l,2,•,〃）满意，对正数相，求证：n-4tn<^\-nvq<>Jn2-m

7-1

三、（本题满分50分）

是否存在正整数n>l,使得1,2,3,…，n?能放在一个nXn方格表内，使得每行的乘积是相同的？证明

你的结论.

四、（本题满分50分）

给定〃个（〃25）互不相等的实数为V42V…V%,全部的个和4.+%（IWi,iw/）

中互不相同的数恰好有2〃-3个的充分必要条件是q,①成等差数列.

2024年全国中学数学联赛模拟试题10

第一试

（时间：8:00-9:20满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.若实数苍a,4满意x=logstana=-log3tan夕，且，则％的值是_

2.已知集合知=｛（。*）|4«—1,且其中小6R.若随意（。力）EM,^a-2b-b-3a>0,

则实数m的最大值为

3.复数z满意向（3z+2i）=2（iz—6）,则忖等于

4.已知（1+追）"=。〃+2有，其中《也，为整数，则.

5.min｛。,可表示。、。中较小的数，不等式min｛x+±4»之8・min«X」》的解集是.

6.在四面体ABCD中，AD_L平面BCD,NABD=/BDC=。<45°.已知E是BD上一点，满意CE1BD且BE=AD=1.

4

点D到平面ABC的距离为:，则COS。的值为

13

7.设AB为抛物线/=2PMp>0）上相异两点，则+03/一,冏2的最小值为

8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.则输出的前"个数字之和被3整除的概率为与=.

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.在矩形ABC。中，AB=a.AD=b（a>0.b>0）t£为3。边的中点，设户、。分别BC、C。是上的

动点，且满意，连接AQ与OP交于点M,求动点M轨迹方程，并指出它的形态。

10.设数列｛〃"｝定义为=l,a=+1,

axH+I2an+n>\.

（1）证明：当〃>1时，a向十=4〃〃；（2）证明：-L+-L+…

%。2an2

11.已知。力,CER,对随意实数X均有I办2+6X+C归％2一31+2],求使|户—4ac|取最小值的全部实数

对（4,Z?,C）.

2024年全国中学数学联赛模拟试题10

加试

（时间：9:40-12:10满分：180）

一、（本小题满分40分）

如图，四边形。内接于圆，4仇OC延长线交于E,延长线交于F,P为圆上任一点,

PE,PF分别交圆于R,S,若对角线AC,BD交于T,

求证：K,S,T三点共线

二、（本小题满分40分）

给定实数;*£（0,1），〃个复数4*2,…,z”满意上一1|工一仕=1,2,

证明：|Z[+Z2+…+Z,J---F—+…+—21（1一/）

Z1Z2Zn

三、（本题满分50分）

求具有下述性质的全部整数Z：存在无穷多个正整数〃使得〃十%不整除&'a

四、（本题满分50分）

给定整数〃25,求最小的整数阳，使得存在两个由整数构成的集合A8,同时满意以下条件:

（1）|A|=〃,忸|=加，且A@8；⑵对8中随意两个不同元素乂y有：x+ywB当且仅当

2024年全国中学数学联赛模拟试题11

第一试

（时间：8:00-9:20满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.已知数列｛凡｝满意：《川<4+2；"〃，4=1，。404=2016,则生的最大值为.

2.已知/+>2+£2=],则处+be+ac的值域为.

3.不等式的解集是

4.单位正方体A8CO-A4GA中，EEG分别是棱AA，GA，AA的中点，则点Bl到EFG所在平面

的距离为.

5.不等式'（d）\<A对全部满意|/（必41（04x<1）的二次函数/（X）恒成立，则实数A的最小值是一

6.椭圆「+皆=1（。>6>0）的左右焦点分别为《，尸2,尸为椭圆上不与左右顶点重合的随意一点，点

1,G分别是尸2的内心、重心•已知对随意点尸，/G恒垂直于工轴，则椭圆的离心率为

7.已知方程8〃-4/2-4Z+l=0在上有一根x,则x=

8.甲乙两人进行某种嬉戏竞赛，规定每一次胜者得1分，负者得。分；当其中一人的得分比另一人的多2分

时即赢得这场嬉戏，竞赛随之结束；同时规定竞赛次数最多不超过2