2024届山东师范大学附中高二数学第一学期期末调研试题含解析

2024届山东师范大学附中高二数学第一学期期末调研试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列｛〃"｝满足a"+2=a〃+1+a〃（"£N'），且则6=。

A.2B.3

C.5D.8

2.将直线2x-y+4=0沿*轴向左平移1个单位，所得直线与圆V+/+2x-4y=0相切，则实数A值为（）

A.-3或7B.-2或8

C0或10D.1或11

3.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而

成的三角形数阵，记句为图中虚线上的数1,3,6,10,…构成的数列｛4｝的第〃项，则出。的值为（）

1

11

12/

13z3z1

14*41

151051

••••••••••••

A.1225B.1275

C.1326D.1362

4.命题“若x>l,则〃”为真命题，那么〃不可能是O

A.x>-1B.x>0

C.x>-2D.x>2

5.已知圆。|：（工一3『+（），+2）2=1与圆。2：（工一7『+（'—1）2=16,则两圆的位置关系是（）

A.外切B.内切

C.相交D.相离

-1

6.已知cos〈之〃〉二一］,则下列说法错误的是（）

A.若。，〃分别是直线4，4的方向向量，则直线4，4所成的角的余弦值是:

B.若。，〃分别是直线/的方向向量与平面a的法向量，则直线/与平面a所成的角的正弦值是4

C.若〃，力分别是平面1,£的法向量，则平面。，力所成的角的余弦值是g

D.若。，。分别是直线/的方向向量与平面。的法向量，则直线/与平面。所成的角的正弦值是迪

3

7.已知数列｛。〃｝满足4=2,%=2-一!一，则6=()

an-\

67

A.-B.一

56

八5n5

C.—D.一

46

8.已知直线依-)」3攵+1=。，当A变化时，所有直线都恒过点()

A.(0,0)

B.(0,1)

C.(2,1)

D.(3,1)

9.已知双曲线=1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数〃7的值是

y

c・./

•Icyi~x

___/

22

11.椭圆J+T—=1焦距为（）

w+12nr+4

A.472B.8

C.4D.25/2

12.直线=与圆f+），2="+（。一1）2相交于点48,点。是坐标原点，若二493是正三角形，则实数。

的值为

A.1B.-1

C.—D.--

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校开展“读书月”朗诵比赛，9位评委为选手A给出的分数如右边茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最

低分后算得平均分为91,复核员在复核时发现有一个数字（茎叶图中的工）无法看清，若记分员计算无误，则数字X

应该是•

选手A

87899

944X15

14.等差数列前3项的和为3。，前6项的和为100,则它的前9项的和为.

15.已知抛物线C：y=2内过点P（l,1）：

3

①点尸到抛物线焦点的距离为彳

②过点尸作过抛物线焦点的直线交抛物线于点。，则△OP。的面积为《

JL

③过点P与抛物线相切的直线方程为x-2），+l=0

④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于"，N两点，则直线MN的斜率为定值

其中正确的是________.

41

16.已知冗>0,y>0,且一+—=1,则4x+y的最小值为

%）'

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

qW

17.（12分）从①安-d=3,②%4=27,③S6=36,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答:

〃+3n

已知等差数列｛2｝公差大于零，且前〃项和为%=7,,bn=—^—t求数列出｝的前〃项和

Cl»an+2

（注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分）

18.（12分）已知｛〃“｝为各项均为正数的等比数列，且q=3,包=33+2%.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）令％=a„.log3an,求数列｛/?„｝前n项和Sn.

222

19.（12分）已知两动圆6：。+1）2+》2=/和尼：（x-l）+y=（2>/2-r）（O<r<2x/2）,把它们的公共点的

轨迹记为曲线C,若曲线C与3'轴的正半轴的交点为M,取曲线C上的相异两点A、8满足：=0且点M

与点4,8均不重合.

（1）求曲线。的方程；

（2）证明直线A8恒经过一定点，并求此定点的坐标；

20.（12分）2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每

消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红

色小球、2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球、3个黄色小球

的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个

红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.

（D若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；

<2）若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.

21.（12分）已知函数/（#二-2/Inx+gdR）.

（1）讨论函数/（司的单调性；

（2）若〃力2。恒成立，求实数。的取值范围.

22.（10分）已知曲线C上任意一点P（x,y）满足方程"厨+丫2一$4一厨+y2=2,

（1）求曲线。的方程；

（2）若直线/与曲线c在轴左、右两侧的交点分别是Q,尸，且。尸・OQ=U,求r+iOQf的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】使用递推公式逐个求解，直到求出4即可.

【题目详解】因为

所以外=%।/=2,%=%।%=3,%=%।=5,%=%।%=8•

故选：D

2、A

【解题分析】根据直线平移的规律，由直线2x・y+入=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此

直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于人的方程，求出方程的解即可得到

大的值

解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y-2）2=5,圆心坐标为（-1,2）,半径为。5，

直线2x-y+Z=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）-y+Z=0,

*221L

因为该直线与圆相切，则圆心（-1,2）到直线的距离d=,22+升=娓,

化简得伉-2|=5,即入-2=5或12=-5,

解得4・3或7

故选A

考点：直线与圆的位置关系

3、B

【解题分析】观察前4项可得为=当U，从而可求得结果

【题目详解】由题意可得6=1,%=3=1+2,%=6=1+2+3,4=1。=1+2+3+4,

观察规律可得q=1+2+3+…+〃=妁罗

»50x51

所以《。二—；—=1275,

故选：B

4、D

【解题分析】根据命题真假的判断，对四个选项一一验证即可.

【题目详解】对于A：若x〉l,贝！lx>-1必成立；

对于B：若x〉l,则x>()必成立；

对于C：若X>1,则》>-2必成立；

对于D：由不能得出为>2,所以〃不可能是x>2.

故选：D

5、A

【解题分析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.

【题目详解】对圆G：(五一3『+()，+2)2=1,其圆心G(3,—2),半径4二1；

对圆。2：(工一7『+()，-1)2=16,其圆心G(7」)，半径4=4；

又卜J(3_7『+(_2-l)2=5=(+4,故两圆外切.

故选:A.

6、D

【解题分析】利用空间角的意义结合空间向量求空间角的方法逐一分析各选项即可判断作答.

--..1

【题目详解】对于A,因〃力分别是直线44的方向向量，且COS〈Q力〉=-耳，直线44所成的角为凡则

COS^=|COS<6Z,Z?)1=-,A正确；

--1

对于B,D,因。力分别是直线/的方向向量与平面。的法向量，且cos〈。力〉=-§,直线/与平面a所成的角为。,

--1

则有sin0=|cos〈〃力〉|=W，B正确,D错误；

--1

对于3因出〃分别是平面a,夕的法向量，且cos(4,力=-§,平面。，尸所成的角为4，

则4不大于90,cos^j=|cos<6Z,/?)|=-,C正确.

故选：D

7、A

【解题分析】根据递推关系依次求出生,。3,4，〃5即可.

【题目详解】q=2,4=2-----,

故选：A.

8、D

【解题分析】将直线方程整理为2*-3)-(>'-1)=0,从而可得直线所过的定点.

【题目详解】履一)\一3&+1=()可化为左。-3)-()，-1)=。，・・.直线过定点(3/)，

故选：D.

9、C

【解题分析】由方程/+,町，2=1表示双曲线知，/=],从=一2_

tn

又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，所以从=4",即一'=4,

m

所以〃?二一!

4

故选C.

考点：双曲线的标准方程与简单几何性质.

10、A

【解题分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.

【题目详解】由函数/(x)的导函数)，="(幻的图像自左至右是先减后增，可知函数y=/(x)图像的切线的斜率自左至右

先减小后增大，且/'(0)=0,在1=0处的切线的斜率为0,故BCD错误，A正确.

故选：A.

11、A

【解题分析】由题意椭圆的焦点在X轴上，故。2=〃72+12,从二〃22+4,。2=m2+]2一(加2+4)=8,求解即可

【题目详解】由题意，〃/+]2>"2+4,故椭圆的焦点在工轴上

=〃9+12/2=tn2+4,c2=m2+12-(/n2+4)=8

故焦距2c=2x2叵=4>/2

故选：A

12、C

【解题分析】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径.圆的圆心坐标50,。)，设圆半径为，圆心到直线的距离为

由条件得2)尸_/=广整理得4/=3，

所以6/=34+33—1)2,解得o=g.选c

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解题分析】根据题意分x<5和人->5两种情况讨论，再根据平均分公式计算即可得出答案.

【题目详解】解：当xW5时，

则去掉的最低分数为87分，最高分数为95分，

贝！)88+89+89+92+94+91+9()+x=91x7,

所以x=4,

当x>5时，则去掉的最低分数为87分，最高分数为90+x分，

…小八位88+89+89+92+94+91+95638……一口

则平均分为-----------------------------=——工91,与题意矛盾,

77

综上x=4.

故答案为：4.

14、210

【解题分析】依题意，/、S.f、工一七成等差数列，从而可求得答案

【题目详解】•・•等差数列｛“〃｝的前3项和为30,前6项和为100,即S3=30,S6=100,

又S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，：.z(S6-S3)=(S9-S6)+S3,即140=§9-100+30,

解得§9=210.

故答案：210

【题目点拨】本题考查等差数列的性质，熟练利用S3、s「s»S«成等差数列是关键，属于中档题

【解题分析】由抛物线过〃点可得抛物线的方程，求出焦点”的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；

求出直线P尸的方程与抛物线联立切线。的坐标，进而求出三角形OPQ的面积，判断②；

设直线方程为y—l=A(x—l),与)，2=》联立求得斜率，进而可得在2处的切线方程，从而判断③；

设直线的方程为抛物线联立求出M的坐标，同理求出N的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断④

【题目详解】解：由抛物线过点P(L1),所以『二2p?,所以2P=1,

所以抛物线的方程为：V=x；

可得抛物线的焦点户的坐标为：4，0),准线方程为：X=-!，

44

对于①，由抛物线的性质可得夕到焦点的距离为d=l+!=3,故①错误；

44

31

对于②，可得直线夕尸的斜率一11一3,所以直线P厂的方程为：元二:y+二，

I--44

4

311

代入抛物线的方程可得：r-4y--=0,解得)，0=-了，

444

所以SA"Q=J|O斗=；x：x1+1故②正确；

对于③，依题意斜率存在，设直线方程为)，-1=做工-1),与)，2=x联立，

得：Ay2—y+1—4=0,

/=l-4A(l-A)=0,4A2—4&+1=0,解得&=；,

所以切线方程为丫-2)，+1=0,故③正确；

对于④，设直线MP的方程为：x=，〃(〉，-1)+1,

2

与抛物线联立可得y-my+m-1=0f所以吟力=ni-,

所以加=加一1,代入直线MP中可得%=〃Z(〃L2)+1=(〃L1)2,即

直线N尸的方程为：工=一利(丁一1)+1,代入抛物线的方程V+my-6一1=0,可得)、=-〃?-1,

代入直线NP的方程可得七吊二〃/+2用+1=(加+1)2,所以N((〃?+l)2,t〃-1),

.。〃一1)一(一"2—1)1

所以或=(〃1)2王+*一5为定值'故④正确

故答案为：②③④.

16、25

4|(41、4v4v

【解题分析】根据x>0,y>0,且一+—=1,由4x+y=(4x+y)—+—=17+^-+—,利用基本不等式求解.

Xyy)xy

41

【题目详解】因为x>0,y>0,且一+—=1,

工y

41…4y4x、r-4x”

所以4x_y=(4x+y)—+—=17+—+—＞17+2J———=25,

Jy)xyyxy

4y4x

当且仅当上=——，即x=y=5时，等号成立,

xy

所以4x+y的最小值为25,

故答案为：25

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1几+1

17、5-(2〃+1)(2〃+3)；

【解题分析】将条件①②③转化为6,d的形式，列方程组，并求解四,“，写出｛4｝的通项公式，从而表示出｛d｝,

利用裂项相消法求和.

CC

【题目详解】选①：设等差数列｛可｝首项为外,公差为d(d>0),因为&=7,卷一；t=3,所以

4+3d—7

.、「/、-]6Z.=1

(n+2\d(〃一l)d=＞《所以q=1+2(〃-1)=2〃-1,所以

4+^——』-一弓+^——」=3d=2

2,2

1_1=1(1_______

44+2(2〃-1)(2〃+3)4、2〃-12/7+3J所以

1f,11111III1)*44/2+4]1n+\

-II--+-----+-----++-------------+-------------I=---------------------=-------------------

4153759"2w-32〃+12M-12〃+3)413(2〃+1)(2〃+3)J3(2〃+1)(2〃+3)

%+3d=7q=1

选②:设等差数列｛aH｝首项为《，公差为d(d>0),因为q=7,生6=27,所以一(q+4d)=27=

cl=2

111(11A

所以(=1+2(〃—1)=2〃—1,所以a=——==-----r,所以

'。汹”2(2〃-1)(2〃+3)412〃-1In+3J

If,11111111111(44/i+4]I〃+l

”4153759"2n-32〃+12n-l2〃+3)413(2zz+l)(2n+3))3(2〃+1)(2力+3)

,4+3d=74=1

选③：设等差数列｛(qj首项为4,公差为d(d＞。)，因为%=7,a=36,所以1所以

6a.+15(7—36\a—2

/、，111(11]

4=1+2(〃-1)=2〃-1,所以a=-----=7T_u^=79―7-T-所以

〃M“2(2〃一1v)(2"+3)4\2T?-12n+37

If,11111I1I111(44〃+41In+1

"4(53759,,2〃-32〃+12〃-12n+3)413(2w+l)(2n+3))3(2〃+1)(2九+3)

【题目点拨】数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和

⑵错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和

⑶分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和

18、(1)勺=3"；

(2),二+至乙向.

“44

【解题分析】(1)先通过等比数列的基本量运算求出公比，进而求出通项公式;

(2)结合(1)求出"，然后根据错位相减法求得答案.

【小问1详解】

设等比数列也｝公比为%二%=34+26,44=36夕+2442,/-2q-3=0,*：an>0,\q=3(负值舍去)，所

以勺=3".

【小问2详解】

23

2=4?喀q=〃?3"，SM=1X3+2X3+3X3+・+

23

3Sn=lx3+2x3++(〃-1>3〃+丹”，

,,+,

所以-2S。=3+3?++3"-〃？3'川=3(1-3；)_〃,3”+i=_2+(1_„)?3,

1-3'22

解得：S=3+殳二1.3/;

44

r2

19、(1)—+y2=l；

2-

(1、

(2)证明见解析，0,--.

【解题分析】(1)设两动圆的公共点为Q,则有|QGI+|QKI=2〃，运用椭圆的定义，即可得到。，C,b,进而

得到Q的轨迹方程;

（2）设A（x，y1）,B（X2,y2）t设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理法及向量的数量积的坐标表示,

即可得到定点.

【小问1详解】

设两动圆的公共点为Q,则有|Q用+|Q"|=2五（2五＞|£5|）

由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，设方程为5+短=1（。＞人＞（））,则

a=>/2»c=1,。=1,

所以曲线。的方程是：—+/=1

2

【小问2详解】

由题意可知：A/（O,1）,且直线AB斜率存在，设A（与，X）,B（&，%），

X2,

万+)广=1

设直线/8：y=kx+mf联立方程组•

y=kx+m

可得(1+2公卜2+4kmx+2m2-2=0,

4km小踪②，

须+々=—77^①，%

因为小MB=0,

所以有X1.占+（左5+6-1）（依2+"[-1）=0，

把①②代入整理化简得（〃?一1）（3m+1）=0,或"2=1（舍）,

因为点M与点A5均不重合，

所以直线恒过定点N（0,一；

247

20、(1)

256

（2）选择方案二更划算

【解题分析】（1）要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，求出没有抽出红色小球的概率，再根据对立

事件的概率公式即可得出答案；

（2）若选择方案一，则需付款1（XXX）-800=9200（元），若选择方案二，设付款金额为X元，则X可取6000,7000,

8000,10000,求出对应概率，从而可求得X的期望，在比较X的期望与9200的大小即可得出结论.

【小问1详解】

解：根据题意得要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，

设没有抽出红色小球为事件A,

E5/八2233

则P(A)=_x_x_=—,

'，44416

\2

所以所求概率P=1-P（A）P（A）=1-（卷3247

~256

7

【小问2详解】

解：若选择方案一，则需付款10000—800=9200（元）,

若选择方案二，设付款金额为X元，

则X可取6000,7000,8000,10000,

22J_1

P(X=6000)=-x-x=9

416

,、2232212215

P(X=7000)=-x-x+—x—x—4-—X—x—=一,

444444416

2232232217

P(X=8000)=-x—x+—x—x—+—X—x—=一,

7

144444444416

3

P(X=10000)=—

故X的分布列为

X6000700080001000()

1573

P

161616

所以七(X)=6()00x」-573

+7000x—+8(X)()x—+1(XX)()x—=7937.5(元),

16161616

因为9200>7937.5,

所以选择方案二更划算.

21、（1）当。=0时，（0,+。）上单调递增;

当a>0时，/(x)在(0,。)上单调递减，在(。,+8)上单调递增;

当avO时，在(0,-2々)上单调递减，在(-2〃,+00)上单调递增.

【解题分析】(1)先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；

(2)根据(1)的结论，分别求〃时/(x)的最小值，令“X)1nhi之0,即可求出实数〃的取值范围.

【小问1详解】

易知函数/(x)=-2〃2Inx+gx?+办的定义域为(O,y),

(X+2O)(X-Q)

广(同=--—^x+a=

当。=0时，/'(x)=x>0,所以/(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，x+2«>0»令/'(x)>0,得x>a；令f'(x)vO