2026年吉林高考二模数学试卷试题及答案详解（精校打印版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高三数学注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟.2．请将各题答案填写在答题卡上.3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数，则的虚部是（

）A． B．2 C． D．3．已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量，满足，，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．35．在等比数列中，，，则（

）A． B．2 C．2 D．46．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（

）A．2 B．4 C．6 D．87．下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（

）A． B．C． D．8．已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（

）A．2020—2024年我国粮食产量逐年增加B．2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨C．2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨D．2020—2024年我国粮食产量与年份负相关10．设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（

）A． B．的离心率为C．直线的斜率为 D．的渐近线方程为11．已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（

）A． B．面积的最大值为C．当时，四边形ABCD面积的最大值为 D．四边形ABCD面积的最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．抛物线的焦点到准线的距离为______.13．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______．14．已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，．(1)求的通项公式；(2)证明：．16．如图，在三棱柱中，平面平面，底面是等边三角形，为的中点，，.(1)证明：平面.(2)求二面角的正弦值.17．某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球．顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品．方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份．方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份．(1)若有50名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求X的数学期望；(2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例．（结果保留两位有效数字）18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，．(1)求椭圆E的方程．(2)过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）．①证明：．②若，求．附：在椭圆上一点处的切线方程为．19．已知函数，．(1)求，的单调区间；(2)已知，函数，讨论的极值点的个数；(3)若，，求t的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】根据并集运算的定义，即可得答案.【详解】因为，，所以.2．C【分析】由虚数的概念结合共轭复数的概念即可求解.【详解】根据题意可得，则，，得到的虚部是.3．B【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】若点在圆外，则，所以.若点在圆外，则，所以.显然是的真子集，故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件.4．B【详解】对任意向量，满足三角不等式：，当且仅当与共线反向时，左侧等号成立，将，代入可得，即的最小值为.5．B【详解】设等比数列公比为，由，得，，.由，得，即，因，故，则.6．A【详解】由题意可得，解得．令，即，化简得，解得（舍去）．7．D【分析】分别分析绝对值内为负值时各选项的解析式，对照分析，即可得答案.【详解】由二倍角公式得，选项A：当时，，与不重合，故A错误；选项B：当时，，与不重合，故B错误；选项C：当时，，与不重合，故C错误；选项D：因为是偶函数，所以对于任意，都有，故，与的图象重合，故D正确.8．D【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解.【详解】由关于直线对称，且在上单调递减，因为，恒成立，所以，两边平方展开化简：即，整理得，因为对任意不等式恒成立，故，即，故的取值范围是.9．AB【详解】对于A选项，对比每年产量可得，故年我国粮食产量逐年增加，A正确．对于B选项，年我国粮食产量的中位数为万吨，B正确．对于C选项，年我国粮食产量的极差为万吨，C错误．对于D选项，年我国粮食产量与年份正相关，D错误．10．ABC【详解】设的右焦点为，连接，由与轴垂直及对称性，得与轴垂直，又，则，令，由，得，对于A，，A正确；对于B，由，得，即，解得或（舍去），因此的离心率，B正确；对于C，由，，得直线的斜率，C正确；对于D，，得的渐近线方程为，D错误.11．BCD【分析】根据数量积公式，结合夹角的范围，即可判断A的正误；根据面积公式，结合夹角的范围，即可判断B的正误；由题意，设AB与CD间的距离为d，根据弦长公式，结合梯形面积公式，可得四边形ABCD面积的表达式，利用导数求出最值，分析即可判断C的正误；设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，根据三角函数的定义，可得四边形ABCD面积的表达式，根据的范围，结合三角函数的最值，分析即可判断D的正误.【详解】选项A：，因为，所以当时，，则，故A错误；选项B：的面积，因为，所以当时，，故B正确；选项C：因为，，所以O为AB的中点，即AB为直径，因为，所以CD为弦，设AB与CD间的距离为，则，所以四边形ABCD面积的，令，则，令，则，令，解得或（舍），当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当，即时，有最大值，此时，，故C正确；选项D：设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，，两弦异侧时，其距离，且，则四边形ABCD面积，所以当时，有最大值为2，故D正确.12．##【分析】结合焦点到准线的距离与的关系求结论.【详解】由，得，解得，即抛物线的焦点到准线的距离为.13．或【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】由，所以，又由，所以，设公共点为，所以，由，即，解得或，当时，，解得，当时，，解得.14．.【分析】将正四面体放入正方体考虑，利用对称性，判断平面，，，满足的条件，建系求解即可.【详解】如图，将四面体放入正方体中，由对称性不妨设平面，，，分别过，由平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，从而过的中点，靠点的三等分点；过的中点，靠点的三等分点；如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为则，取，从而.15．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解；（2）利用结合条件与数列放缩化简可得.【详解】（1）设数列的公比为（）.因为，，成等差数列，所以，即，解得或（舍去）.所以.（2）由，得，两式相减，得，所以，则.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知得、，再应用线面垂直的判定证明结论；（2）由题设构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出对应平面的法向量，进而应用向量法求面面角的余弦值，即可得其正弦值.【详解】（1）因为，所以，因为底面是等边三角形，为的中点，所以，因为，平面，所以平面.（2）因为，平面平面，平面平面，而平面，所以平面.以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如下空间直角坐标系，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，得.设平面的法向量为，则，令，得.设二面角的平面角为，由图知为锐角，因为，所以，所以二面角的正弦值为.17．(1)(2)【分析】（1）根据二项分布的定义及条件，可得，代入期望公式，即可得答案.（2）分别求出按方式①和方式②，获得礼品A和礼品B的概率，结合条件，化简计算，即可得答案.【详解】（1）若按方式①发放礼品，则两次摸到的球的颜色不同，设两次摸到的球的颜色不同为事件C，则，由题意，每位顾客抽奖，按方式①发放礼品的事件相互独立，且概率相同，则，则X的数学期望.（2）由（1）得，按方式①发放礼品的概率为，按方式②发放礼品的概率为，若第一次摸到红球，第二次摸到黑球，即按方式①发放礼品A的概率，若第一次摸到黑球，第二次摸到红球，即按方式①发放礼品B的概率，设金额不低于100元的比例为p，则按方式②发放礼品A的概率，则按方式②发放礼品B的概率，因为礼品A与礼品B的份数的比例为，所以，解得.所以购物发票上的金额不低于100元的比例约为18．(1)(2)证明见解析；【分析】（1）根据题意解出即可求解；（2）①设点，利用椭圆上一点的切线方程得到点的坐标，结合二倍角的正切公式分别计算和，通过证明两者相等，结合角的范围得出角相等的结论;②根据等腰三角形、勾股定理求得.【详解】（1）由题意得：，解得，所以，所以，所以椭圆E的方程为；（2）①不妨令点在第一象限，设，所以切线的方程为：，又，令，解得，所以，又因为，，所以，所以，又，所以；②因为，所以，因为，所以，所以，在中，.19．(1)和的单调增区间均为，单调减区间均为；(2)答案见解析(3)【分析】（1）对求导，令可得其单调增区间，令可得其单调减区间，同理可得的单调区间.（2）求导得解析式，令，得的零点，分别讨论、、和四种情况，利用导数判断的正负，可得其单调区间，分析即可得答案.（3）结合的任意性，已知条件可转化为，分别构造函数和，可将不等式再转化为，得到在上单调性相同.利用导数求出和的单调区间，结合图形与条件，分析求解，即可得答案.【详解】（1）由，，得，因为恒成立，所以令，解得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以的单调增区间为，单调减区间为；由，，得，令，解得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以的单调增区间为，单调减区间为；（2），则，令，解得或或（）.当时，，恒成立，则当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以只有1个极小值点；当时，，恒成立，则当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以只有1个极小值点；当时，，当或时，，则单调递减，当或时，，则单调递增，此时有3个极值点；当时，，当或时，，则单调递减，当或时，，则单调递增，此时有3个极值点；综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点.（3）由，结合的任意性，可得，则有，所以有，即，设，，则，所以在上单调性相同.由，则，令，解得或，其中，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的单调减区间为，单调增区间为；由，则，因为恒成立，所以