人教A版（2019）高中数学必修二第一讲-空间几何体专题讲义（原卷版）

目录第一讲空间几何体 1入门测 1题型一：空间几何体的基本概念 2知识清单 2典型例题 3方法总结： 4题型二：多面体的结构特征 5知识清单 5典型例题 6方法总结： 8题型三：旋转体的结构特征 9知识清单 9典型例题 12方法总结： 14题型四：斜二测画法 15知识清单 15典型例题 16方法总结： 17题型五：空间几何体的表面积与体积 19知识清单 19典型例题 20方法总结： 20经典例题 21课后练习 22

第一讲空间几何体入门测【例1】以下结论不正确的是(A)平面上一定有直线 (B)平面上一定有曲线(C)曲面上一定无直线 (D)曲面上一定有曲线【例2】下面说法中正确的是(A)任何一个平面图形都是一个平面(B)平静的太平洋是平面(C)平面就是平行四边形(D)在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面【例3】空间中构成几何体的基本元素是.【例4】在空间中，下列说法正确的是(A)一个点运动一定形成直线(B)直线平行移动形成平面或曲线(C)直线绕顶点运动形成锥面(D)矩形上各点沿同一个方向移动形成长方体【例5】直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转到可以形成(A)平面 (B)曲面 (C)直线 (D)锥面

题型一：空间几何体的基本概念知识清单知识1：多面体（1）定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。（2）组成元素：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。知识2：旋转体一般地，由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。圆柱、圆锥、圆台、球等都属于旋转体。知识3：简单组合体（1）定义由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体。简单组合体的构成有两种基本形式一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。①多面体或两个以上的多面体组在。图a是由一个四棱柱挖去一个三棱柱而得到的。②多面体与旋转体的组合体由多面体与旋转体组合而成。图b是由一个三棱柱挖去一个圆柱而得到的。③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组成。图c是由一个球和一个圆柱组合而成的。典型例题【例1】以下结论不正确的是(A)平面上一定有直线 (B)平面上一定有曲线(C)曲面上一定无直线 (D)曲面上一定有曲线【例2】下面说法中正确的是(A)任何一个平面图形都是一个平面(B)平静的太平洋是平面(C)平面就是平行四边形(D)在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面【例3】空间中构成几何体的基本元素是.【例4】在空间中，下列说法正确的是(A)一个点运动一定形成直线(B)直线平行移动形成平面或曲线(C)直线绕顶点运动形成锥面(D)矩形上各点沿同一个方向移动形成长方体【例5】直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转到可以形成(A)平面 (B)曲面 (C)直线 (D)锥面

【例6】下列关于长方形的说法中，正确的是. (1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体可以看作一个水平放置的矩形上各点沿铅垂方向上移动相同的距离到矩形所形成的几何体；(3)长方体一个面上任意一点到对面的距离相等.方法总结：观察一件实物，说出它属于哪种空间几何体，并分析它的结构特征，要注意它与平面图形的关系.注意观察组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系.

题型二：多面体的结构特征知识清单知识1：棱柱、棱锥、棱台的图形、表示及分类名称棱柱棱锥棱台图形表示棱柱，或棱柱棱锥，或棱锥棱台，或棱台分类以底面多边形的边数为标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等，以侧棱是否与底面垂直分为直棱柱和斜棱柱以底面多边形的边数为标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等以底面多边形的边数为标准分为三棱台、四棱台、五棱台等知识2：棱柱的定义与性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形过不相邻两侧棱的截面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形知识3：棱锥、棱台的定义与性质名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，顶点在过底面中心且垂直于底面的直线上的棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得正棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形（注：各侧面三角形的高叫做正棱锥的斜高）梯形全等的等腰梯形（注：各侧面等腰梯形的高叫做正棱台的斜高）过不相邻两条侧棱的截面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底面的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形典型例题【例1】★下列命题正确的是（A）有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱（B）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱（C）有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都是互相平行的几何体叫棱柱（D）用一个平面去截棱锥，截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台【例2】★判断下列问题的正误（1）底面是正方形的棱锥一定是正棱锥（2）四条侧棱都相等的四棱锥是正四棱锥（3）每个侧面都为等腰三角形的四棱锥是正四棱锥（4）正棱锥的侧面可以都为正三角形【例3】★★下列概念判断正确的是(A)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱．(B)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形．(C)有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台．(D)有一个面是多边形，其它的面都是三角形的多面体是棱锥【例4】★★长方体中，，一只小虫从点沿长方体的表面爬到点，求小虫经过的最短距离【例5】★★正三棱台上、下底面边长为1、3，侧棱长为2，求它的高和斜高. 【练1】★一个棱柱为正四棱柱的条件是(A)底面是正多边形，侧棱垂直于底面(B)底面是正方形，有两个侧面是矩形(C)底面是菱形，且有一个顶点处的侧棱垂直底面(D)各个侧面是全等的矩形【练2】★以下关于正棱锥的叙述不正确的是(A)正棱锥的高与底面的交点是底面的中心(B)正四棱锥的各侧面都是锐角三角形(C)正棱锥的各侧面都是等腰三角形(D)底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥【练3】下列命题中，正确的是（A）有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱（B）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面（C）棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形（D）棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形【练4】若长方体的三条棱长为3,4,5，则长方体的体对角线的长是（A）5 （B） （C） （D）10方法总结：方法1：利用空间几何体的结构特征解题该方法需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征。要学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可。方法2：特殊四棱柱之间的关系方法3：用平面方法解决立体几何问题在立体几何中求线段长或角的大小时，常把线段或角放在平面图形中用平面几何知识去求。方法4：几何体截面问题的解法几何体在涉及计算问题时，经常要用到截面。多面体的截面首先是平面多边形，而且平面多边形的各边必在多面体的面上，顶点都在棱上，否则截面就是错的。

题型三：旋转体的结构特征知识清单知识1：旋转体的定义、表示及性质名称圆柱圆锥圆台球图形定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球表示圆柱圆锥圆台球底面平行且全等的两个圆面圆面相似的两个圆面无轴线过底面圆心且垂直于底面过顶点和底面圆的圆心且垂直于底面过上、下底面圆的圆心且垂直于底面过球心母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点无轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形大圆平行于底面的截面与底面全等的圆圆圆无侧面展开图矩形扇形扇环无母线与底面圆的直径相等的圆柱、圆锥分别称为等边圆柱、等边圆锥

知识2：球的性质1．球的截面性质用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面（如图）。（2）球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系：①当时，截面过球心，此时截面面积最大。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。②当时，平面与球相切。③当时，平面截球面所得的圆叫做小圆（不过球心的平面截球面所得的圆）。2．球面的距离在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧（小于半圆的弧）的长度，这个弧长叫做两点的球面距离。球面上的两点间的球面距离，必须是在球面过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度，不能在过此两点的球的小圆中求。由于球是旋转体，而旋转体又是轴对称的几何体，因此在解题时，常利用球的轴截面图形来研究问题，从而将空间问题转化为平面问题。熟练掌握球的截面中大圆的半径、截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球的问题的关键。

知识3：简单几何体中几个特殊截面和常见的截面1.中截面：过几何体高的中点且垂直于高的截面。直截面：垂直于侧棱的截面。对角截面：过不相邻两侧棱的截面。轴截面：过圆柱、圆锥、圆台的轴的截面。2.正方体的截面有三角形、四边形（有菱形、矩形、梯形等）、五边形、六边形。3.正棱柱中过两底面中心的截面是矩形；正棱锥中过顶点与底面中心的截面是三角形；正棱台中过上、下底面中心的截面是梯形。4.圆柱、圆锥、圆台的截面：轴截面过两母线的截面平行于底面的截面

典型例题【例1】★下列命题中正确的是(A)直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥(B)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体(C)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台(D)通过圆台侧面上一点，有无数条母线【例2】★一个圆柱的母线长为3，底面半径为2，则此圆柱的轴截面的面积为【例3】★球面上两点，在过的球的大圆上，的度数为，在过点的球的小圆上，的度数，又点两点间的距离为，求球心与小圆圆心的距离为【练1】★下列命题中，错误的是（A）圆柱的轴截面一定是过母线的截面中面积最大的一个（B）圆锥的轴截面一定是所有过顶点的截面中面积最大的一个（C）圆台的所有平行于底面的截面都是圆面（D）圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形【练2】★若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为

【练3】★已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于(A)(B)(C)(D)【练4】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长．【练5】半径为的球被两个平行平面所截，截得的截面的面积分别，则这两个平面的距离是知识拓展1． 五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有几条？（A）6条 （B）8条 （C）10条 （D）12条2． 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）（A）至多只能有一个是直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形（C）可能都是直角三角形 （D）必然都是非直角三角形3． 圆台的两底面面积分别为1和49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，则圆台的高被截面分成的两线段的比为（）（A）1:1 （B） （C）1:2 （D）1:3

4、用一个平面去截一个正方体，所得到的截面形状可能是 =1\*GB3①锐角三角形；=2\*GB3②直角三角形；=3\*GB3③矩形；=4\*GB3④不是矩形的平行四边形；=5\*GB3⑤菱形；=6\*GB3⑥五边形；=7\*GB3⑦正六边形；=8\*GB3⑧正七边形.方法总结：方法1：利用空间几何体的结构特征解题该方法需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征。要学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可。方法2：用平面方法解决立体几何问题在立体几何中求线段长或角的大小时，常把线段或角放在平面图形中用平面几何知识去求。方法3：几何体截面问题的解法几何体在涉及计算问题时，经常要用到截面。旋转体的截面很有规律，关键是用好轴截面。因为轴截面在解题中起到了化空间问题为平面问题的作用。

题型四：斜二测画法知识清单1、直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．2、斜二测画法①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴，，再作轴，使，．（三维空间中）②画直观图时，把画成对应的轴，使或，，所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）③已知图形中，平行于轴，轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴，轴或轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．典型例题【例1】★利用斜二测画法得到： =1\*GB3①三角形的直观图是三角形； =2\*GB3②平行四边形的直观图是平行四边形； =3\*GB3③正方形的直观图是正方形； =4\*GB3④菱形的直观图是菱形. 以上结论，正确的是（A）=1\*GB3①=2\*GB3② （B）=1\*GB3① （C）=3\*GB3③=4\*GB3④ （D）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③【例2】★★如果水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（A） （B） （C） （D）【例3】★★已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为（A） （B） （C） （D）【练1】★斜二测画法所得的直观图的多边形面积为，那么原图多边形面积是_______．【练2】★如图所示的直观图表示的平面图形为（A）等腰直角三角形 （B）锐角三角形（C）非等腰直角三角形（D）不能确定方法总结：方法1：依据斜二测画法求直观图面积求直观图面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边长和高。实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成角且长度变为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可。将水平放置的平面图形的直观图还原成实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于轴的线段的长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的2倍。原图形面积与其直观图面积之间的关系：方法2：水平放置的平面图形的直观图在直观图中确定坐标轴上的对应点及坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线与坐标轴相交，先确定所作直线与坐标轴的交点的对应点，再确定这些点的对应点。方法3：立体图形的直观图的画法画立体图形的直观图时，主要有下面几个步骤：画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可。画轴，轴过点，且与轴的夹角为，并画高线（与原图的高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图。擦去辅助线，被遮住的线用虚线表示。温馨提示：（1）画立体图形的直观图的要求不高，只要会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱台的直观图即可。（2）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个轴，其直观图中对应于轴的是z'轴，平面表示水平平面，平面和表示直立平面。平行于轴（或在轴上）的线段，其平行性和长度都不变。（3）用斜二测画法作几何体的直观图时，要抓柱“平行性不变，轴、轴方向上的线段长度不变，轴方向上的线段长度减半”这个原则。

题型五：空间几何体的表面积与体积知识清单知识1：多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．知识2：旋转体的表面积名称图形公式圆柱；；圆锥；；圆台；；；球知识3：几何体的体积公式几何体公式代表量柱体柱体的底面面积为，高为锥体锥体的底面面积为，高为台体台体的上、下底面面积分别为、，高为球为球的半径

经典例题1． ★下面说法中正确的是（A）任何一个平面图形都是一个平面（B）平静的太平洋面是平面（C）平面就是平行四边形（D）在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面2． ★已知集合正方体，长方体，正四棱柱，直四棱柱，棱柱，直平行六面体，则各个集合的包含关系为.3． ★长方体中，已知，则对角线的值是.4． ★已知正三角形的边长为1，那么用斜二测画法所得的的平面直观图的面积为.方法总结：方法1：求体积的几种方法体积的求解与计算是立体几何学习的重点，也是高考考查的重点和热点，其方法灵活多样，而分割、补形和等积变换是常见的三种求体积的方法。其中分割、补形也称为“割补法”。课后练习1． 下列命题中，正确的是（A）有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱（B）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面（C）棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形（D）棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形2． 一个棱柱有两个侧面是矩形，能保证它是直棱柱的是（A）三棱柱 （B）四棱柱 （C）五棱柱 （D）六棱柱3． 线段长为，在水平面上向右平移后记为，将沿铅垂线方向向下移动后记为，再将沿水平方向向左移记为，依次连结构成长方体. =1\*GB3①该长方体的高为________; =2\*GB3②平面与面间的距离为_________; =3\*GB3③到面的距离为_________.4． 圆锥的侧面展开图是直径为的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（A）等边三角形 （B）等腰直角三角形（C）顶角为的等腰三角形 （D）其他等腰三角形5． 作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（）（A）2:1 （B）3:1 （C） （D）6． 已知为等腰梯形，两底边为且，梯形绕所在的直线旋转一周所得的几何体是由________、_________、________的几何体构成的组合体.7． 有下列说法： =1\*GB3①球的半径是球面上任意一点与球心的连接段； =2\*GB3②球的直径是球面上任意两点间的连线段； =3\*GB3③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； =4\*GB3④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是____________.8. 下列投影是平行投影的是（）（A）俯视图 （B）路灯底下一个变长的身影（C）将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上 （D）以一只白炽灯为光源的皮影9. 利用斜二测画法得到： =1\*GB3①三角形的直观图是三角形； =2\*GB3②平行四边形的直观图是平行四边形； =3\*GB3③正方形的直观图是正方形； =4\*GB3④菱形的直观图是菱形. 以上结论，正确的是（）（A）=1\*GB3①=2\*GB3② （B）=1\*GB3① （C）=3\