2025届高三上期末数学分类汇编集合的概念与运算含答案

2025届高三上期末数学分类汇编集合的概念与运算含答案一、单选题（每题2分，共20分）1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则a的值为（）（2分）A.-1B.1C.2D.3【答案】C【解析】A={1,2}，若B⊆A，则B={1}或B={2}或B=∅。若B={1}，则a=2；若B={2}，则a=2；若B=∅，则Δ=a²-4＜0，无解。综上，a=2。2.集合M={x|x=2k，k∈Z}与N={x|x=3k+1，k∈Z}的关系是（）（2分）A.M⊈NB.N⊈MC.M=ND.M∩N=∅【答案】B【解析】取k=0，得M中元素1∈N，故N⊈M。3.已知集合A={x|x²+x-6＜0}，B={x|x=2a-1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）（2分）A.(-∞，-2)∪(2，+∞)B.(-2，2)C.(-3，1)D.(-2，1)【答案】D【解析】A=(-3，2)。若B⊆A，则-3＜2a-1＜2，解得-1＜a＜2.5，即a∈(-1，2.5)。结合选项，选D。4.集合C={x|sinx=1}与D={x|cosx=-1}在[0，2π]区间内的补集分别是（）（2分）A.{0}和{π}B.{π/2，3π/2}和{π/4，3π/4}C.{0，π}和{π/2，3π/2}D.{π/2，3π/4}和{π/4，3π/2}【答案】C【解析】C={π/2}，D={π}，补集分别为(0，π/2)∪(π/2，π)={0，π}和(π/2，3π/2)。5.若集合M={x|ax²+x+1=0有实根}，则实数a的取值范围是（）（2分）A.a≤0B.a≥0C.a∈RD.a∈(-∞，-1]∪[0，+∞)【答案】D【解析】若a=0，方程为x+1=0有解；若a≠0，Δ=1-4a≥0，解得a≤1/4。综上，a∈(-∞，-1]∪[0，+∞)。6.集合{x|x²-5x+6=0}与集合{1，a，b}满足x∈A∪B，则a+b的值为（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】A={2，3}，B={1，a，b}，若x∈A∪B，则a，b∈{2，3}，故a+b=5。7.关于x的不等式|2x-1|＜a的解集为（）（2分）A.(-∞，a/2)∪(1-a/2，+∞)B.(-a/2，1+a/2)C.(-∞，a/2)∪(1+a/2，+∞)D.(a/2，1-a/2)【答案】B【解析】|2x-1|＜a⇔-a/2＜x＜1+a/2，解集为(-a/2，1+a/2)。8.集合{x|y=lnx}的补集在R上的表示是（）（2分）A.(-∞，1)∪(1，+∞)B.(0，1)∪(1，+∞)C.(0，+∞)D.(-∞，0)∪(0，+∞)【答案】B【解析】原集为(0，+∞)，补集为(-∞，0]∪{1}，即(0，1)∪(1，+∞)。9.已知集合A={x|mx-1=0}，B={x|x²-2x+p=0}，若A∩B={1}，则p的值为（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】A={1/m}，B={1，q}，由A∩B={1}，得1/m=1，即m=1。此时B={1，q}，由x²-2x+p=0，得1²-2×1+p=0，p=1。10.若集合P={x|ax-1=0}，Q={x|x²-3x+2=0}，若P∪Q=Q，则实数a的取值范围是（）（2分）A.{-1}B.{1}C.{-1，1}D.{0}∪{-1，1}【答案】D【解析】Q={1，2}。若P∪Q=Q，则P⊆Q。若P=∅，则a=0；若P={1}，则a=1；若P={2}，则a=1/2，舍去。综上，a∈{0}∪{-1，1}。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若A∩B=A，则A⊆BC.{x|x²=1}={1}D.若A⊆B，则A∪B=BE.集合{x|x=2k，k∈Z}是整数集的子集【答案】A、B、D、E【解析】A正确；若A∩B=A，则A⊆B；C错，{x|x²=1}={-1，1}；D正确；E正确。2.关于x的不等式|3x-2|＞a的解集为（）（4分）A.RB.(-∞，2-a/3)∪(2+a/3，+∞)C.(2-a/3，2+a/3)D.∅（a≥0）E.(-∞，2-a/3)∪(2+a/3，+∞)（a＜0）【答案】B、D、E【解析】|3x-2|＞a⇔x＜2-a/3或x＞2+a/3。若a≥0，解集为(-∞，2-a/3)∪(2+a/3，+∞)；若a＜0，解集为R。故B、D、E正确。3.集合A={x|x²-px+q=0}，B={x|x²-2x+r=0}，若A∪B={1，2，3}，且A∩B={2}，则p，q，r的值分别为（）（4分）A.p=-5，q=6，r=1B.p=-4，q=3，r=2C.p=-3，q=2，r=1D.p=-5，q=2，r=1【答案】A、B【解析】由A∩B={2}，得2是两方程的根。设A={2，a}，B={2，b}，由A∪B={1，2，3}，得a=1，b=3。代入方程，得p=-5，q=6，r=1；p=-4，q=3，r=2。故A、B正确。4.关于x的不等式|ax-1|＜1的解集为（）（4分）A.(0，2)B.(1-1/a，1+1/a)C.(1/a，2)D.(-∞，1-1/a)∪(1+1/a，+∞)（a＜0）E.(1-1/a，1+1/a)（a＞0）【答案】B、E【解析】|ax-1|＜1⇔-1＜ax-1＜1⇔0＜ax＜2⇔0＜x＜2/a。若a＞0，解集为(1-1/a，1+1/a)；若a＜0，解集为(-∞，1-1/a)∪(1+1/a，+∞)。故B、E正确。5.集合N={n|n是30的约数}，M={n|n是60的约数}，则下列关系中正确的有（）（4分）A.N⊆MB.M⊈NC.N∪M=MD.N∩M=NE.N∩M={1，2，3，5，6，10，15，30}【答案】A、C、E【解析】N={1，2，3，5，6，10，15，30}，M={1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60}，故A、C、E正确。三、填空题（每空2分，共16分）1.集合{x|x²-4x+3=0}与集合{a-1，a²-3}的并集为{1，3}，则实数a的值为________，________。（4分）【答案】-1，0【解析】原集为{1，3}，若a-1=1，a=2；若a²-3=1，a=±2。若a=2，则并集为{1，2，3}，舍去。若a=-1，则并集为{1，3}；若a=0，则并集为{1，3}。综上，a=-1或0。2.集合A={x|mx-5=0}，B={x|x²-px+4=0}，若A∩B={4}，则实数m，p的值分别为________，________。（4分）【答案】5/4，5【解析】A={5/m}，B={2，2}，由A∩B={4}，得5/m=4，m=5/4。此时B={2，2}，由x²-px+4=0，得2²-2p+4=0，p=5。3.集合C={x|sinx=0}与D={x|cosx=0}在[0，2π]区间内的交集是________。（4分）【答案】{π/2，π，3π/2}【解析】C={0，π，2π}，D={π/2，3π/2}，交集为{π/2，π，3π/2}。4.关于x的不等式|2x-1|＞3的解集用区间表示为________。（4分）【答案】(-∞，-1)∪(2，+∞)【解析】|2x-1|＞3⇔x＜-1或x＞2，解集为(-∞，-1)∪(2，+∞)。四、判断题（每题2分，共10分）1.若集合A={x|ax+1=0}，B={x|x²-1=0}，若A∪B=B，则a的值为1或-1。（）（2分）【答案】（×）【解析】若a=0，A=∅，A∪B=B；若a≠0，A={-1/m}，B={-1，1}，由A∪B=B，得-1/m=-1或-1/m=1，a=1或a=-1。综上，a=0或a=1或a=-1。2.集合{x|x²-5x+6＜0}的补集在R上的表示是{1，2}。（）（2分）【答案】（×）【解析】原集为(1，2)，补集为(-∞，1]∪[2，+∞)，不是{1，2}。3.若集合M={x|x²-px+q=0}，N={x|x²+px+q=0}，若M∩N={1}，则p²+q=0。（）（2分）【答案】（×）【解析】设M={1，a}，N={1，b}，由M∩N={1}，得1是两方程的根。代入方程，得p=-1-a，q=a；p=-1-b，q=b。若a=b=1，则p=-2，q=1，p²+q=5≠0。故结论不成立。4.关于x的不等式|3x-2|＜a的解集为空集当且仅当a＜0。（）（2分）【答案】（×）【解析】|3x-2|＜a无解当且仅当a≤0。故结论不成立。5.集合{x|x=2k，k∈Z}是偶数集，集合{x|x=2k+1，k∈Z}是奇数集。（）（2分）【答案】（√）五、简答题（每题4分，共12分）1.已知集合A={x|ax-1=0}，B={x|x²-3x+2=0}，若B⊆A，求实数a的值。（4分）【答案】a=1/2【解析】B={1，2}。若B⊆A，则1和2都是ax-1=0的解，即a=1/2。2.解关于x的不等式|2x-3|＜a。（4分）【答案】若a＜0，解集为∅；若a=0，解集为∅；若a＞0，解集为(3-a/2，3+a/2)。【解析】|2x-3|＜a⇔-a/2＜2x-3＜a⇔3-a/2＜2x＜3+a/2⇔(3-a/2)/2＜x＜(3+a/2)/2。故解集为(3-a/2，3+a/2)（a＞0）。3.集合A={x|x²-px+q=0}，B={x|x²-2x+r=0}，若A∪B={1，2，3}，且A∩B={2}，求p，q，r的值。（4分）【答案】p=-5，q=6，r=1【解析】设A={2，a}，B={2，b}，由A∪B={1，2，3}，得a=1，b=3。代入方程，得p=-5，q=6，r=1。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知集合A={x|mx-1=0}，B={x|x²-2x+p=0}，若B⊆A，求实数m和p的关系。（10分）【答案】m≠0且p=1-4/m²【解析】若m=0，A=∅，B≠∅，矛盾。若m≠0，A={1/m}。若B⊆A，则Δ=4-4p=0，p=1。此时B={1}，1=1/m，m=1。若B≠∅，Δ≥0，p≤1。此时B={1，q}，1=1/m，q=1/m²，p=1-4/m²。综上，m≠0且p=1-4/m²。2.已知集合M={x|x²-4x+3=0}，N={x|x²-ax+2=0}，若N⊆M，求实数a的取值集合。（10分）【答案】{-1，-2，3}【解析】M={1，3}。若N⊆M，则Δ=a²-8≥0，a≤-2∨a≥2。若N=∅，Δ＜0，a∈(-2，2)。若N={1}，1+a+2=0，a=-3，舍去。若N={3}，9-3a+2=0，a=11/3，舍去。若N={1，3}，1+3+a+2=0，a=-4，舍去。若N={1，1}，Δ=0，a=±2∨a=0。若a=2，N={1}，舍去。若a=-2，N={1，-1}，舍去。若a=0，N={1，2}，舍去。综上，a∈∅。若N⊆M，则Δ=a²-8≥0，a≤-2∨a≥2。若N=∅，Δ＜0，a∈(-2，2)。若N={1}，1+a+2=0，a=-3，舍去。若N={3}，9-3a+2=0，a=11/3，舍去。若N={1，3}，1+3+a+2=0，a=-4，舍去。若N={1，1}，Δ=0，a=±2∨a=0。若a=2，N={1}，舍去。若a=-2，N={1，-1}，舍去。若a=0，N={1，2}，舍去。综上，a∈{-1，-2，3}。七、综合应用题（每题20分，共20分）已知集合A={x|x²-px+q=0}，B={x|x²-2x+r=0}，若A∪B={1，2，3}，且A∩B={2}，求p，q，r的值，并判断集合C={x|x²-px+q＜0}是否包含集合D={x|x²-2x+r＜0}。（20分）【答案】p=-5，q=6，r=1；包含【解析】设A={2，a}，B={2，b}，由A∪B={1，2，3}，得a=1，b=3。代入方程，得p=-5，q=6，r=1。此时A=(1，2)，B=(2，3)。C=(1，2)，D=(2，3)，D⊆C。故包含。---标准答案：一、单选题1.C2.B3