2025版新高考版高考总复习数学 抛物线

2025版新高考版高考总复习数学9.4抛物线

五年高考

考点1抛物线的定义和标准方程

1.（2020课标I理,4,5分，易）已知A为抛物线Cy=2px3>0）上一点，点A到。的焦点的距

离为12,到y轴的距离为9厕p=（）

A.2B.3C.6D.9

答案C

2.（2021新高考11,3,5分,易）若抛物线/2〃必》0）的焦点到直线尸计1的距离为或，则片

（）

A.lB.2C.2V2D.4

答案B

3.（2022全国乙理,5,5分，中）设F为抛物线Cr=4x的焦点，点A在。上，点8（3,0）,若

|AQ=|8Q,则仁（）

A.2B.2V2C.3D.3V2

答案B

4.（2017课标〃文/2,5分，中）过抛物线Cj2=4x的焦点F,且斜率为遍的直线交C于点

在x轴的上方），/为C的准线，点N在/上且MN_L!,则M到直线NF的距离为（）

A.V5B.2x/2C.2V3D.3百

答案C

5.（2021全国乙文,20,12分，中）己知抛物线。2=2〃必》0）的焦点厂到准线的距离为2.

⑴求C的方程；

⑵已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足PQ'=9Q。求直线。。斜率的最大值.

解析⑴•••抛物线户2/状0»0）的焦点/到准线的距离为2,，p=2.・,•抛物线。的方程为

y2=4x

⑵第一步:设点写向量坐标，利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.

设点P（4x§,4松）,Q（孙》）,则PQ=（AI-4X^JI-4XO）,

VF（1,0）,AQF=（1,-yi）,VPQ=9炉，

与二5（9+4据）,

Xi-4/=9(1-Xi)

'整理得

71-4&=9(一%),%=施，

第二步:用参数X。表示必2,利用基本不等式求其最值.

.・.心产=4

*X19+4*6

当％。最大时的＞0,

・/_4_4_1

・・3F瓶工漏=9

沏°

当且仅当4加2时取此时X0三点P的坐标为（9,6）,因此“OQ的最大值为:.

X。23

考点2抛物线的几何性质

1.（2020深标川理,5,5分，中）设。为坐标原点，直线户2与抛物线C：）2=2pxS>0）交于D.E

两点，若OO_LO£则C的焦点坐标为（）

A.Q,0）B.（1,0）C.（LO）D.（2,0）

答案B

2.（2019课标II,文9,理8,5分，中）若抛物线户2Pxs>0）的焦点是椭圆手+~=1的一人焦

3PP

点，则p=（）

A.2B.3C.4D.8

答案D

3.（2018课标I理,8,5分，中）设抛物线C：）?-4.x的焦点为Q过点（-2,0）且斜率为|的直线与

。交于MN两点，则丽•丽二（）

A.5B.6C.7D.8

答案D

4.（多选）（2023新课标H,10,5分川|）设。为坐标原点，直线产-V5（r-1）过抛物线

©2=2〃.即>0）的焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，则)

A./?=2

o

B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切

DZOMN为等腰三角形

答案AC

5.（多选）（2022新高考11,10,5分，中）已知。为坐标原点，过抛物线Cy=2pMp>0）焦点/的

直线与C交于A,B两点，其中A在第一象限，点M（p,0）.若HP=|AM|,则（）

A.直线AB的斜率为2遥

B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\0F]

D.NOAM+/OBM<180。

答案ACD

6.（多选）（2022新高考I,11,5分，中）已知O为坐标原点，点A（l,l）在抛物线C*=2pW»0）

上，过点8（0,-1）的直线交。于P,Q两点，则（）

A.C的准线为产-1

B.直线人8与C相切

C.\OP\\OQ\>\OAf

D.|8P||8Q|>|8A|2

答案BCD

7.（2023全国乙理,13,5分，易）已知点A（LVJ）在抛物线C：）?二2川上，则A到。的准线的距

离为.

答案;

4

8.（2020新高考/,13,5分，易）斜率为6的直线过抛物线C：），2=4x的焦点，且与C交于从3

两点，则依弟.

答案y

9.（2021新高考/,14,5分，中）己知。为坐标原点，抛物线C）2=2/»S>0）的焦点为F,P为C

上一点,PF与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQ_LOP.若|"。|=6,则C的准线方程

为.

答案人二|

10.（2022全国甲，文21，理20,12分滩）设抛物线。：）?=2/戏（/>0）的焦点为七点。伉。），过F

的直线交C于MN两点.当直线MD垂直于x轴时,|M/q=3.

⑴求C的方程；

⑵设直线MD,ND与C的另一个交点分别为48,记直线MN,AB的倾斜角分别为火。当

a-P取得最大值时，求直线AB的方程.

解析⑴当直线MD垂直于人•轴时,|MF|=p《=3,，〃=2,JC的方程为/=4x

⑵解法一：设）,N（M>2）,A。38（X4洲,直线MN的方程为x=my+1,

.（X=my+I”。,

由"/得产4少4=0,

Ji=l6〃尸+]6>0恒成立，且y1y2=-4.

由斜率公式可得如归心=铝=+，

“1一犬2与—匕yi+yz

44

同理kAB=—^—.

直线MD的方程为4㈡，+2,代入）?=4x中可得），2•”士当,・8=0.

yi'>i

』2>。且W=8,所以”=2）2同理y4=2y\,

所以自产+=+=缙，

为+尸4为+y22

又因为直线MN,AB的倾斜角分别为a,p,

所以以肝匕"=竽=萼，

若要使a/最大，则夕£（04）.

设如产2心心,Q0,则tan（a/）噌詈意=去=段工房=今当且仅当卜匕即

K2&2k

公告时，等号成立，

所以当a-P最大时，设直线AB的方程为x=y/2y^-nl

由冗一+科得,2-4&>-4〃=0,

俨=4x

则>'3>,4=-4/?=4>'|y2=-16.

所以〃=4,所以直线A3的方程为x-V2y-4=0.

解法二:由题可知，直线MN的斜率存在.

设47（内沙）声（孙），2）工（13,）。8（乩/4）,直线MN：）=k（x-l）,由｛；2O'得

（2炉+4）入+标=0,

所以X1X2=1,则）仇二-4.

直线MD：产」匕（『2）,代入抛物线方程可得x.=4,同理/加=4.

%1-2

结合抛物线方程可得）例=8,所以”=2）2同理可得y4=2y\,

所以乂户匕在=第=*=产、=*

X4-X32（%2-％1）2

下同解法一.

11.（2023全国甲理,20/2分，难）已知直线x-2y+\=0与抛物线62=2/汹》0）交于A,B两

点,依阴=4代.

⑴求〃；

⑵设厂为。的焦点,MN为。上两点，旦询•前=0,求4WFN面积的最小值.

解析⑴设A（x\,y\）,B（X2,y2）,

喉］£1=°,消去K得〉“），+2p=0,

•・•直线与抛物线有两个交点A乃,・・・/=16〃2.8/»0,

解得P*或内0（舍）.

由根与系数的关系可知，

y+），2=4/””=2〃,・,・|AA|=J1+*|y1-y21=V1+4・4%+丫2尸一4yly2=炳-

J16p2-8P=4-/15.

解得p=2或p=-|（舍）.

p=2.

⑵由（1）知，抛物线的焦点为F（l,0）.

M

由题意知直线MN的斜率不可能为0,

设MN的方程为x=my-tlM(X3,y^lN(X4ly4),

联立£2一"消去X得k-4〃y4E

J=16/772+16r>03Pm2+t>0,

由根与系数的关系得力+丫4=4〃“3y4=4。

,:而•丽:0,:.fe-lJ'3)tV4-hy4)=0/即(抬・1)(x4-1)+y3y4=(加g+b1)(叼4+b1)+烟4

=(in2+1))，3以+加(卜1)。3+)，4)+(卜1>

=(zM2+l)(-4r)+m(r-1)4〃+(r-1>=0,

即-4rn2t-4t+4m2t-4m2+t1-2：+1=0,即4/z/2=?-6z+1.

设厂到MN的距离为d,则仁兴劣，

vl+m2

又+m21y3—y4\=V1+m2•。仇+%尸-4y3y4=Vl+m2•

V16?n2+16t=4V1+m2•y/m2+t,

\MN\'d=Ix4V1+m2•Vm2+t•J：；%=2Vm2+t­|t—1|=

V4m2+4t-|r-l|

=Vt2-2t+l|r-l|=(/-l)2.

・.・462二人6什1K),解得e3-2班或£>3+2企，

二当且仅当仁3-2企时,5力硒取得最小值12-8V2.

即△MBV面积的最小值为12-8V2.

三年模拟

综合基础练

1.(2024届海南海口中学检测,5)已知抛物线G，2=2pM/»0)的焦点为£若直线与C交

于AB两点，且|A8|=8,则|AF|二()

A.4B.5C.6D.7

答案B

2.（2024届湖南长郡湘府中学开学检测,7）已知抛物线炉=18x的焦点为凡准线为I点P为

C上一点，过P作/的垂线,垂足为A,若A尸的倾斜角为150。,则|P年（）

A.6B.5C.4D.3

答案A

3.（2023四川成都二模,4）已知点"0,4）是抛物线C：f二”）。〉。）的焦点，点P（2,3）,且点M

为抛物线C上任意一点则MF|+|MP|的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

答案C

4.（2024届重庆巴蜀中学适应性月考（二）,7）已知点尸为抛物线产28X的焦点，过点尸的

直线交抛物线。于A,8两点。为坐标原点，若万？=3而，则△AO8的面积为（）

A.3B.2V3C.V3D.—

答案C

5.（2023湖北武汉四调,6）设抛物线/=6A-的焦点为Q准线为I.P是抛物线上位于第一象限

内的一点，过尸作/的垂线,垂足为。，若直线。尸的倾斜角为120。,则|PQ二（）

A3B.6C.9D.12

答案B

6.（多选）（2024届广东普宁二中第一次月考,10）设尸（0,历）为抛物线C：f=2〃），S>0）的焦

点,0为坐标原点,4为C上一一点，且|AF|=9,则（）

A./?=8

B.F（0,4）

C.直线A尸的斜率为竟

D.AA。”的面积为8遍

答案ABD

7.（多选）（2024届云南昆明第一中学月考,9）已知抛物线C：），2=4工的焦点为£准线为/,点A

口,线段A/交抛物线C于点以过点8作/的垂线,垂足为H,若包=3而，则（）

A.IBHIB.\AF\=4

C.|而I=3\BH\D.\AF\=4|丽I

答案BC

8.（2023山东潍坊一模）已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4,请写

出一个满足条件的C的标准方程:.

答案f=16y（答案不唯一）

9.（2023湖南益阳二模』3）已知抛物线C），2=4.I的焦点为尸,过点P（-l,0）的直线/与C交于

不同的两点MM若|NF1=2|尸凡则|MF|=.

答案:

10.（2023甘肃陇南一模,14）设尸为抛物线y2=Sx的焦点A5c为该抛物线上不同的三点，

若谆+而+定=0F,0为坐标原点，则|可|+|而|+\FC\=.

答案14

综合拔高练

1.侈选）（2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,12）设抛物线C：），2=2pMp>0）的焦点为

匕点M在C.匕|MF|=5,若以'为直径的圆过点（0,2）,则抛物线。的方程为（）

Ay=4xB.）3=8X

cy=16xD.〉2=2X

答案AC

2.（2024届广东南粤名校素养评价,4）抛物线），2=2pMp>0）的焦点为F点M在抛物线上，旦

的延长线交），轴于点N,若M为线段KV的中点，则p=（）

A.2B.2V2

C.4D.6

答案C

3.（2023福建厦门双十中学模拟,6）已知抛物线C：），2=8工的焦点为Q动点M在C匕圆M

的半径为1,过点尸的直线与圆M相切于点N,则前•丽的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

4.（2023山东青岛二模,7）已知O为坐标原点，直线/过抛物线D：），2=2p.®>0）的焦点£与

。及其准线依次交于A典。三点供中点/?在A,C之间），若|AF|=4〃C1=2|8凡则AOAB的

面积是（）

A.V3B.誓C.2V3D.卓

答案B

5.（2024届浙江名校协作体返校联考,5）抛物线y2=4x的焦点为匕过点M（连,0）的直线与

抛物线相交于A.B两点，与抛物线的准线相交于点C.若[8f]=3,则震=（）

.345「6

A.—Bn.-Cr.—D.-

4567

答案A

6.（多选）（2023辽宁鞍山统考,12）已知抛物线的焦点为£准线为/,过尸的直线与

抛物线。交于4、8两点，则下列说法正确的是（）

A.若尸（1,0）,贝IJ/二厂4

B.若秋1,0）,则弦AB最短长度为4

C.存在以AB为直径的圆与/相交

D.若直线4R产V5（%一匀,且4点在x轴的上方，则彳了=3而

答案BD

7.（2024届广东深圳开学模考,15）过抛物线仁产%:焦点尸的直线/交抛物线C于A,B两

点，且而=3而，若M为A8的中点，则M到），轴的距离为.

答案|

8.（2024届广东仲元中学月考,15）已知抛物线C：y2=2*S>0）的焦点为F.0为坐标原点,C

的准线/与,r轴相交于点B.A为C上一点，直线40与直线/相交于点E,若NBOE=

N8E£Hf]=6,则C的标准方程为.

答案r=8x

9.（2023江西九江一模,14）已知点A.B分别是抛物线C：V=-4x和圆ELr+/-2A+4y+4=0h

的动点，点A到直线l：x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为.

答案2V2

10.(2024届广东四校第一次联考,16)过尸(机厂2)向抛物线f=4y引两条切线尸。,PR,切点分

别为R,Q,又点A(0,4)在直线QR上的射影为凡则焦点F与"连线的斜率的取值范围

是.

答案(-oo,-V3]U[V3z+oo)

11.(2023河北唐山二模)已知抛物线Cy2=2pxS>0)的焦点为F,A为C上一点，〃为准线I

上一点丽=2FA,\AB\=9.

(1)求。的方程；

⑵石(项厂2)是。上的三点，若褊山总产1,求点石到直线MN距离的最大值.

解析⑴因为而二2"所以|,44阴=3,

«5

由乔=2万,为尸-5口杉可得x产p,

由抛物线的定义可知M用P+勺3,解得p=2.

则C的方程为r=4x

⑵因为石(孙-2)在抛物线。上,所以刈二1,

设直线MN的方程为x=ty+n,M(x\,y\),N(X2,y2),

将x=ty+n代入)?=4x,得)2-4n-4/?=0,

则yi+y2=4r,y1>'2=-4/7,

々EM=匕彳=患上=同理kEN=-^—,

必-1y1_1yi-2y2-2

kR/kF产上+3="GF=二

yi-2y2-2必力-2d+、2)+4-4n-8t+4

整理得片6+5,则直线MN的方程为户96+5,

所以直线"2过定点7(5,6).

当石兀LM/V时，点E到直线MV的距离最大，

且川大距离为|E71=J(5-1尸+(6+2"=4V5,

经检验符合题意.

12.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,21)已知抛物线C：f=2p.v(/»0),F为。的焦点，过点

产的直线/与C交于“，/两点，且在“，/两点处的切线交于点T,当/与)，轴垂直时,|H7)=4.

⑴求C的方程;

⑵证明：|尸/||切=1叼2.

解析⑴由题意知40,将产々代入『=2〃），,解得广土p,所以当/与），轴垂直

时，附/]=2〃=4,所以〃=2,

故抛物线C的方程为f=4），.

⑵证明:根据题意知直线/的斜率存在，由⑴知尸（0,1）,

设直线/的方程为y=kx+1,H(x\,y\),/(X2j?2),

联立i消)'得F4米-4=0，

所以ZJ=(-4/:)2+16>0,x\+x2=4k,x\X2=-4.

对产点d求导，得)，'=*所以kTHkn=^xl-^x2=卜(-4)=-1,所以THLT1.

由:落…)'得忧27所以侬川

(y-y2=1x2(x-x2)(y_T，

证法一:当k=0时,根据对称性得|77］=|叫=2,|m=2,所以问•田“HF7］2；

当上0时，依M〃尸［•仁L所以FTLHI,

K

所以△A77S2\F，7］所以篙=黑,

I卜"I\rI|

即|五。|阳二|F7