2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考）第03讲 复数（解析版）

第03讲复数

（9类核心考点精讲精练）

I「•考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第2题，5分复数的四则运算无

2024年新H卷，第1题，5分复数的模无

2023年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共怩复数无

2023年新H卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的儿何意义无

2022年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共腕复数无

2022年新H卷，第2题，5分复数的四则运算无

2021年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共恢复数无

2021年新H卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的儿何意义无

2020年新I卷，第1题，5分复数的四则运算无

2020年新H卷，第2题，5分复数的四则运算无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解・、掌握发数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、

及纯虚数

2.能正确计兑复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共期复数

3.熟练掌握曳数的几何意义即复:数与曳平面上点的对应美系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共航复数、模长运算、几何意

义，题型较为简单。

•考点梳理一

知识讲解

1.复数的定义

我们把形如。+/水的数叫做复数，其中i叫做,满足i?=-虚数单位的周期

为

【答案】虚数单位-I4

2.复数通常用字母z表示，即2=。+与(a,〃eR),其中的。与〃分别叫做复数z的与.

【答案】实部虚部

3.对于复数z=〃+加(a〃eR),复数z=a+加(a,》eR),z为实数o；z为虚数u>

为纯虚数0:z为非纯虚数O.

即复数z=a+〃i（«/，GR），

实数e=0)

a=0

【答案】b=0底()纯虚数g=o)

b^O虚数()工0〉

非纯虚数(a。0)

4.在复数集C={a+Wa,/)wR}中任取两个数。+历，c+&(a/,c,dwR),规定“+bi与c+Ji相等当且仅

当__________,即复数相等：a+bi=c+M(a,瓦c,dwR).

­【答案】.a=c《fa八=c〃

b=d[b=d

5.共匏复数

(1)定义：当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互为共物复数.虚部不等于0

的两个共轨复数也叫做共规虚数.

(2)表示方法：复数z的共加复数用5表示，即如果z=〃+加，那么5=.

【答案】相等互为相反数a-b\

6.复数的几何意义

复数z=u十,i(a,bGR,i为逑数单位)|

----对%\\^一对应

复平面内的晟日丽<一一对应4平需向量该起点为原点0)

为方便起见，我们常把复数z=a+/力说成点Z或说成向量反，并且规定，一的向量表示同一个复数.

【答案】相等

7.复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做,x轴叫做，轴叫做.实轴上的点都表

示:除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

夏平面

【答案】复平面实轴虚轴实数

8.复数的模

向量历的模称为复数2=4+加的模或绝对值，记作或,即|2|=|〃+例|=,其中。力WR.如

果6=(),那么z=a+历是一个实数小它的模就等于.

【答案】|z|\a+bi\sla2+bz\a\

9.复数的加、减法运算法则

设Z)=a+hi,z2=c+di(a,b,c,dER),则zt+z2=，z「z：

【答案】(a+c)+(〃+d)iS-c)+e-d)i

10.复数加法的运算律

对任意马修NwC,有

(1)交换律：21+Z2=.(2)结合律：(ZI+Z2)+Z3=

【答案】22+Z|马+缶+4)

11.莫数的乘法

(1)复数的乘法法则

设马=4+历,Z2=C+"i(。也C,4eR)是任意两个复数，那么它们的积

(a+bi)(c+ch)=ac+bci+ad\+bdr=.

(2)复数乘法的运算律

对于任意卬%Z3WC,有

交换律3=_____

结合律(乎2/3=_

乘法对加法的分配律zQ+z；)=

【答案】(ac-bd)+(bc+ad)iz2zt式马马)2+.

12.设4，z?的三角形式分别是4="cos4+isin4),Z2=4(cosq+isin2),

那么，Z]Z?==.

这就是说，两个复数相乘，枳的模等于各复数的模的枳，枳的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘,

辐角相加.

【答案】/j(cos4+isinq).弓(cos^+ising)径[cos(q+g)+isin(a+名)]

13.设ZB的三角形式分别是4=/;(cosa+isina),Z2=4(cosa+isina),且？2工0,那么，—=

一?

*

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减

去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.

【答案】-cos(a—%)+i$in(a-q)

*2

考点一、复数的四则运算

在典例引领

1.(2024•全国•高考真题)设z="，则z・彳=()

A.-iB.1C.-1D.2

【答案】D

【分析】先根据共施复数的定义写出口然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，W=-0i，故z2=—2i?=2.

故选：D

5(心)

2.(2023•全国•高考真题))

(2+i)(2-i)

A.-1B.1C.1-iD.l+i

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

【详解】5(,)Eg

(2+i)(2-i)5

故选：C.

即时检测

1.（2024•天津•高考真题）己知i是虚数单位，复数+2i）=

【答案】7-底

【分析】借助复数的乘法运弟法则计穿即可得.

［详解】（6+i）•（石_止5+6_26+2=7_后.

故答案为：7-后.

2.（2。23・全国・高考真题）设2=号,则三（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共挽复数的定义确定其共挽复数即可.

【详解】由题意可得z=2：,2_=今D=4z!=i-2i,

1+i+il-l+ii-1

则2=1+21.

故选：B.

3.（2024•河南•三模）已知i为虚数单位，“2=（）

（I）-

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.

(l+i)]("i『(l+i)_2i(l+i)

【详解】

(1-i)2-2i-2i

故选:D

考点二、求复数的实部与虚部

典例年

1-1

1.（2024•全国•模拟预测）己知z=；二，贝IJz的实部是（）

1+1

A.-iB.iC.0D.1

【答案】C

【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.

【详解】因为2===7?二=所以z的实部是0.

1+1（1+1）（1-1）

故选：c.

2.（2024•黑龙江•三模）若匕=i，则z（5-l）的虚部为（）

1-1

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】A

【分析】先利用乘法运和法则化简复数z,然后化简z（彳-l）得3-i,即可求出其虚部.

【详解】因为存=i,所以z=-2+（l-i）i=-l+i,所以N=-l-i,

所以z仁-1）=（—1+D（—2—i）=3-i,则z（5—l）的虚部为—I.

故选:A

♦♦即时检测

1.（2024•重庆•三模）设复数z满足2z-泛=1,则z的虚部为（）

A.1B.-1C.3D.一3

【答案】A

【分析】设复数z=4+5（dbwR）,根据题意，列出方程，结合复数相等，求得b的值，即可求解.

【详解】设复数z=a+历QbwR）,

因为复数z满足2z—五=1,可得%+助i-i（a-〃）=1,

即为L〃+（力—a）i=l,则2a-人=1,2h-a=0,解得〃=g,

所以复数z的虚部为;.

故选：A.

2.（2024•陕西•二模）复数2=中+尸）仔-2i）的实部为（）

A.1B.3C.-2D.-1

【答案】B

【分析】通过复数的运算将复数化简成〃+行的形式，即可得到实部.

【详解】由z=i（l—i）（l—2i）=（l+i）（l—2i）=3—i,可得复数z的实部为3,

故选：B.

3.（2024•江西鹰潭•二模）已知z=&i。-，则［的虚部为（）

l-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

【答案】D

【分析】利用友数的乘力运第和四则运算法则求出狂数Z,继而得三的虚部.

【详解】由2=11<=1^^=空=Y")=-2(i)=-2-2"

1-i1-i1-i(l-i)(l+i)

则W=-2+2i，三的虚部为2.

故选：D.

考点三、复数相等

典例髀

1.(2023•全国•高考真题)设a€R.(a+i)(l—ai)=2,,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详解】因为伍+0(1_5)="一m+i+4=2«+(1—办=2,

,2a=2

所以《2八，解得："=1•

\-a=0

故选：C.

2.(2022•浙江•高考真题)已知a,0wR,a+3i=S+i)i(i为虚数单位)，则()

A.a=1,〃=-3B.a=—\,b=3C.a=-\,b=-3D.a=\,b=3

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件可求〃，氏

【详解】a+3i=—l+万，而。力为实数,故a=-l,〃=3,

故选：B.

即时检测

1.(2024•河南•模拟预测)已知i为虚数单位，a,beR,满足(a—2i)i="+i,则”+匕=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简(〃-2i)i,再根据复数相等的充要条件得出方程组，求出。、力的

值，即可得解.

【详解】因为(〃-2i)i=2+ai,

又(a—2i)i=〃+i且a/eR,所以|二：，故a+b=3.

It?=z

故选：D.

2.(2024•安徽合肥•三模)已知z(i-3)=5+2,则2=()

42.42.

AA.—+—inB.-----1

9999

c42.42.

9999

【答案】D

【分析】设z=a+历3〃R),则2=0-兄根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之

即可求解.

【详解】设2=〃+/水a/eR),则一加，

因为z(i—3)=彳+2,所以(.+历)(i—3)=a-历+2,

即-&L〃+(a-3b)\=a+2-b\,

-3a-h=a+2

所以

a-?>h=-b

49

所以z=-§

故选：D.

3.(2024•河北保定•三模)若复数z满足z-W="，则实数/〃=()

3-1

A-7B.；c.D.

【答案】B

【分析】设z=〃+历(abwR),根据复数相等，即可列式求

【详解】设2=。+历(a,bwR),则W=a-历,所以z±=2历,

由z-z=^4，得2/?i(3-i)=〃i+i,则力+6/?i=/〃+i,

3-i

所以僵2解得6

6b=1I

m=­

3

故选：B.

考点四、复数的分类及纯虚数概念考查

典例眄

4-2i“■八

1.(2024•河北•二模)已知复数Z=7_7+M(“GR)是实数，贝IJ〃=()

(1+1)

A.V9B.-V2C.-2D.2

【答案】D

【分析】根据复数的四则运算法则计算得到z=-l+(a-2)i,再根据实数的定义求解即可.

4-2i4-2i

【详解】2=西+小=17五=T+5—+S—2)i

因为Z是实数，

所以〃一2=0,即a=2.

故选：D.

2.(2024•河南•三模)已知复数震(“GR)为纯虚数，则〃的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算求出z,根据复数为纯虚数，列出相应等式和不等式，即可求得答案.

r洋例1]+ai_(l+ai)(l-i)」+a+〉T)i

"""l+i(l+i)(I-i)2，

1+«=0

由题意得।八，所以。=-1,

a-l*0

故选：C.

即时检测

1.(2024•辽宁大连•二模)设xwR,则“x=l”是"复数z=(V-l)+(x+l)i为纯虚数"的()

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由复数z为纯虚数求得工的值，再根据充分必要条件关系判断.

【详解】因为复数Z为纯虚数，所以＜,■，解得X=l,

所以x=l是复数Z为纯虚数的充要条件.

故选：A.

2.（2024・辽宁•模拟预测）若复数学为实数，则实数优等于（）

【答案】D

【分析】由复数的除法把誓化简，表示成复数的代数形式，由虚部为0,求小的值.

2+i

，〃+i_(/〃+i)(2-i)

【详解】为实数,

2+i(2+i)(2-i)

则2-〃?=0,即〃2=2.

故选：D.

考点五、复数的几何意义

典例引领

1.（2023•全国♦高考真题）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3—i）=3+8i—3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第•象限.

故选：A.

2-i

2.（2U21・全国•高考真题）复数;不在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法可化简2与-i，从而可求对应的点的位置.

1-31

【详解】2^=（2—现1+叽竺上所以该复数对应的点为

I~~3i10102X****/

该点在第一象限，

故选：A.

3.（2024•山西•三模）已知复数。+方）-川（3-i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数/〃的取值范围

是.

【答案】（YO，-2）

【分析】整理得到不等式组，解出即可.

【详解】由于(1+2i)一机(3-i)=(l-3〃!)+(2+m)i,

1—3/〃>0

故点(一心+⑼位于第四象限'因此2+，“。'解得'"2

即〃?的取值范惘是(YO,-2).

故答案为：(-8,-2).

即电性测

1.(2024•山东•二模)已知复数z满足(l-i)z=3+i,则5在复平而内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】由题意求出z,进而解出工，判断N在复平面内对应的点所在象限即可.

3+i(3+i)(l+i)

【详解】由题意知：z====l+2i,

l-i:(1-10)(1+<i)

所以之=1-21所以彳在复平面内对应的点(1,-2)位于第四象限.

故选：D.

2.(2024•江西•模拟预测)在复平面白，复数z对应的点的坐标为(1,-1),则©=()

42.、24.-42.卜24.

AA.----1B.-----1C.-+-1D.-+-I

55555555

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数z对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式，再结合复

数的四则运算法则，即可得解.

【详解】因为复数z对应的点的坐标为(1,-1),所以z=l-i,

所以z2=(「if=_2i,所以上二一二=.2i(l+2i)=±一刍

FI>ml-2il-2i(l-2i)(l+2i)55，

故选：A.

3.(2024•江西•模拟预测)若复数z的共筑复数.茜足产23之=]_23贝Uz在复平面内对应的点的坐标为()

A.(2,1)B.(-2,1)

C.(-2,-1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得W=2+i，得到z=2-i，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由严吗=l-2i，可得z=V=—=2+i,则z=2—i,

i-i

则z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1).

故选：D.

考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题

典例引领

1.(2024•全国•高考真题)已知z=-l-i,则同=()

A.0B.1C.yJ2D.2

【答案】C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若z=-l-i,则|Z|=J(T)2+(_1)2=&.

故选：C.

2.(2023•全国•高考真题)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.>/5D.5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2+i2+2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i，

则|2+i?+2i1=|1-2i|=正+(-2)=卡.

故选：C.

3.(2024•广东揭阳•二模)已知复数z在复平面内对应的点为(4/)，且|z+i|=4,则()

A./+(力+1)2=4B.6/2+(/?+l)2=16

C.(a+l『+/=4D.(〃+11+力2=16

【答案】B

【分析】借助导数的几何意义可得z=a+加，再利用模氏公式即可得.

【详解】由题意得z=a+》i,所以|〃+S+l)i|=4,则/+(〃+l)2=16.

故选：B.

I即时检测

1.(2024•福建南平•二模)若复数z满足z+i=2i(z—i),则|z|二()

A.1B.41c.D.2

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.

【详解】由题意可知，复数z满足z+i=2i(z-i),

所以|z|=Jg)2+(|)2=1.

故选：A.

2.(2024・贵州毕节•三模)若复数z满足(l+iZ+i^Nng2024—4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分£】HI的乘法和除法运算化简即可求出z=Y-3i,再由复数的模长公式求解即可.

【详解】因为(1+[2+/)々=3产”-41则(1-1+讣2=3-40

故比J(_4『+(-3『=5.

故选：B.

3.(2024•辽宇•二模)已知i是虚数单位，复数z满足|z-i|=l,则卜-苏|的最小值为()

A.>/3-1C.6+1

【答案】B

【分析】利用且数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.

【详解】|z-i|=l的几何意义是复数z对应的点Z到点4(0,1)的距离为1,

即点Z在以点A(0,l)为圆心，1为半径的圆上，

Iz-万|的几何意义是点Z到点卜(60)的距离.

如图所示,故|z-61rato=|四=|阴一1=2-1=1.

故选：ti.

考点七、复数的三角形式

典后磔

1.（2024嘿龙江哈尔滨•三模）复数z=〃+万（a,%R.i是虚数单位）在复平面内对应点为Z,设「=|国|/是

以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z=a+加=«ose+isin。），把Ncos〃+isine）叫

做复数〃+方的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

/厂、3/、3

[r（cos6^+isin^）r=^（cos/j^+isin/z^JpieN*）,—i=|cos—+isin—=cos27t+isin2n=1,

71..Tl

(l+i),—+isin—4（cosa+isin7i）=-4,复数二满足：z=l+i，则z可能取值为（）

44

B.V2cos,+isin,)

【答案】D

【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得z=V5即

可得解.

【详解】设z=r（8S<?+isin。）,

=l+i=&(cos：+isi吟)=

则z,/(cos30+isin30),

所以r=蚯，30=2E+；/wZ,即。=等+展/eZ,

所以z=V5cos（竿十图+isin（华+目>eZ

故2=2时，。=詈・故z可取啦（cos詈+isin詈）

故选：D

【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再

利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.

2.（2024•内蒙古赤峰•一模）棣莫弗公式（cosx+i-sinx）"=cos（nx）+isin（nx）（其中i为虚数单位）是由法国

数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（8s1+i-sin]j在更平面内所对应的点位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.

r.冗\27c27t1.

【I手解】cos—+i-sin-=cos——+i-sin——=—+—1，

I33)3322

在复平面内所对应的点为在第二象限.

故选：B.

即时检测

1.（2024・陕西商洛•模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数

Z]=Mcosq+isin4）,4=z;（cos6Z,+isin64）（/；,/；>0）,则z）z2=rxr2[cos（q+6/,）+isin（^+幺）]•设

z=」-走i,则却1•的虚部为（）

22

A.-且B.BC.1D.0

22

【答案】B

【分析】变形复数z,根据题中定义进行计算，即可判定.

4兀..4n

【详解】z='1=cosIism

233

所以丹=cos处世+isin也型竺

33

所以z20”的虚部为巫.

2

故选:B.

2.（2023•全国•模拟预测）已知复数z=cos盖+isin盖，则（z—*2?—1）…（z2022_]）=（

)

A.2022B.2023C.-2022D.-2023

【答案】B

t分析】根据题意结合复数运算可得上的方程收T=0的根为Lz,z2,..、z2g,进而整理可得

(x-z)(x-z2)-(x-z2022)=l+x+-+x2022,取X=1即可得结果.

【详解】设z=cos^--+isin---,/JGN./z<2022,

"20232023

2023

则z,产----+isin----=cos(2n-7t)+isin(2n-7t)=I

20232023

由题意可得：zo=l,z„=z\neN\n^2O22

可得关于X的方程产-1=0的根为l,Z/2,…,2畋2,

故产T=(x-l)(x-z)(一)…卜—2022),

Y2g_i

整理得(x—2心—Z?)……+—22,

即。1乂4-巧••G-Z2O22)=l+%+…+X2022,

令x=l,可得(l—z^l—z2)…0_22侬)=1+1+…+1皿=2023,

H2022为偶数，所以(z-l)(zJl)L匕皿2-1)=2023.

故选:B.

考点八、欧拉公式

典后磔

1.(2024・四川绵阳•模拟预测)欧拉公式/=cos6+isin6把自然对数的底数e,虚数单位i,cos®和sin。联

系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥".则e加+1=()

A.-1R.0C.1D.i

【答案】B

【分析】把。=兀代入欧拉公式即可。

【详解】eiiT+1=cosn4-isin7r+l=-1+1=0.

故选:B

2.(2022•重庆北碣•模拟预测)欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.由《物

理世界》发起的•项调查表明，人们把欧拉恒等式"e"'+1=0"与麦克期韦方程组并称为“史上最伟大的公

X.

式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：/=cos9+/sing的一种特殊情况.根据欧拉公式，er+eT，-()

A.—B.—C.&D.6

22

【答案】C

【分析】化简宜数a+e亲，利用复数的模长公式可求得结果.

V•V

7洋’础也n..兀5乃..5乃1—>/31+>/3

【I手解】e-+e，'=cos—+isin—4-cos—+isin—=--------+--------

336622

因此,=>/2.

故选：C.

♦♦即时检测

1.（2023•云南昆明•一模）欧拉公式：/=cos6+isine将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中

占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数屋在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断

【详解】出题意可得：Ti=cos3+i-sin3对•应的点为（COs3.sin3）,

田3《争兀则cos3<0,sin3>0,

故（cos3,sin3）位于第二象限.

故选：B.

2.（2024・浙江绍兴•模拟预测）已知，=cosJ+isin。，则在下列表达式中表示sin。的是（）

【答案】A

【分析】根据题设c冶的表达式求出1⑷的表达式，再代入选项逐一检验即得.

【详解】因e'°=8s6+jsin6,则c*=cos（-6）+isin（-。）=cos6-isin。，

丁卜工Acos〃+isin0—(cos。一isin。)2s\n0i.士触人造下必

对于A,-----------=---------------------------------------=-----------=sin®n,故A项正确：

2i2i2i

e,a+e~l(,cos+isin+(cos<9-isin0)2cos。.TRtitM

对J•BD,-----------=---------------------;------------------=---------=-COS。•1,故wB项错误；

2i2i2i

⑷-3"ei(,-e-i<,cosO+isinO-(cosO-isinO)2sin9i..广的4p

对于C,-----------=--------------=------------------------------------------=-------------二一sinn",故(：项错1k底；

2i2i2i2i

iO.TO

对于D,由B项知，+e=cos6・i,故D项错误.

2i

故选:A.

考点九、复数多选题

典后磔

1.(2024•福建福州•三模)已知复数卬Zz,下列结论正确的是()

A.若4=z2,则z；=z；B.zi-z2=zl—z2

C.若平2=°,则4=°或Z2=°D.若ZIW0且4=，2，则Z|Z2=|z/

【答案】BCD

【分析】通过列举特殊复数验证A：设+阮(a/cR),则z?=a-阮(4〃GR),通过复数计算即可判断

B：曰44=0得忆忆|=0,即可判断C：设马=〃+此®此R),通过复数计算即可判断D.

【详解】对于A,设马=l+i,则Z2=l-i,所以z；=(】+i)2=2i,而z：=(l-i)2=-2i,

所以Z：HZ)故A不正确；

又寸于B,设4="+b\(a.bGR),z,=c+di(c,deR),

则4-4=(q_c)-@_d)i=(a-历)一(c_/)=Z]一其,故B正确:

对于C,若zrZ2=0,所以H=0,所以㈤同=0,

所以㈤=0或㈤=0,所以z「Zz至少有一个为0,故C正确.

对于D,设Z|=a+/?i,(a,〃wR”J+b2/0),则々=a-阮卜//eR),

222

所以z―=(4+〃i)(a-为)=〃+从，jfj；|Z||=rt+/?,

所以I>2=|z/，故D正确.

故选：BCD.

2.(2024•福建莆田•三模)若z是非零复数，则下列说法正确的是()

A.若z+W=O,则:=iB.若z-5=2|z|,则|z|=2

C.若4=z,则Z1=zD.若|z+zJ=0,则Z].5+|z「=0

【答案】BCD

【分析】利用共规发数的定义可判定A、C,利用星数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.

【详解】对于A,由z+W=O,得三=-1,则A错误.

Z

对于B,因为z2=，，所以|z「=2忖，解得目=2或忖=0(舍去)，则B正确.

对于C,设z=a+加((i,beR,且他。0),

则z）=z=ai,所以马=4+加=2,则C正确.

对于D,由|z+Z||=O,得Z[=-z.

设z=〃+》i（a,beR,且〃〃工0）,则马立二力/=Y片+〃?），

|z|12=«2+/?2,从而Z]-Z+lzF=0,则3正确.

故选：BCD

3.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知复数卬z?满足：4为纯虚数，恒-1|=2目-4],则下列结论正确的是（）

A.zf=IzJ2B.3M卜21M7

C.|z「Z2|的最小值为3D.J「Z2+3i|的最小值为3

【答案】ABD

【分析】借助基数的基本概念与模长运算可得A：借助基数的几何意义”•算可得B；借助圆与直线的距离可

得C、D.

【详解】对A：F为纯虚数，.•.可设21=万（30）,."2=-〃2=-|靖，・.选项人正确；

对B：设马=，〃+〃i（/〃,〃eR）,,.,|Z2-1|=2|Z,-4|,

贝lj（加一+/P=4（，〃-41+4,72,即（加一5『+〃2=4,

则z?所对应点的轨迹是以（5,0）为圆心，以2为半径的圆，

.••33区区7,.•.选项B正确；

对C：・・・4为纯虚数，.•.4对应点在y轴上（除去原点）,

Z?所对应点的轨迹是以（5,0）为圆心，以2为半径的圆，

•••|z「引的取值范围为（3,田），.••k-zzl无最小值,选项C错误;

对D：•.•|Z|-Z2+3i|=|（b+3）i-Z2|,

表示点（0,万+3）到以（5.0）为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，

•.•伊+3川。*0）为纯虚数或0,（0力+3）在y轴上（除去点（0,3））,

.・・当〃=-3时区-马+3i|取得最小值3,国选项D正确.

故选:ABD.

即时检测

1.（2024•江苏南通•模拟预测）已知4，Z?都是复数，下列正确的是（）

A.若4=云,则z,eRB.若z,eR,则4=^

C.若|zj=|zj,则z；=z£D.若z：+勾=0,则|4|=%|

【答案】AD

【分析】根据共规复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算

及复数的模的计算公式即可判断D.

【详解】设4=a+bi,z2=c+Ji,(a,Ac,deR),

对于A,若z=W，则ZI=c1/i,故平2=/+4%R,故A正确；

对于B,当Z]=z?=i时，乎？=TeRz?=—iW4,故B错误：

对于C,当马=l,Z2=i时，z；=l,z；=-l,故C错误；

对于D,若z：+z；=O,则z：=Y，所以团=H|=|同,

222222

忖卜卜J_b+2abi\="a?一+4〃泞=而+〃)=a+b=|z1|»

同理园=|zj,所以㈤2=Z『,所以同=同,故D正确.

故选：AD.

2.(2024•山东济宁•三模)己知复数卬4，则下列说法中正确的是()

A.忆马|=|讣㈤B.k+ZzITzJ+IW

C."平2€R"是"马=『的必要不充分条件D.明|=忆|〃是"Z；=Z；”的充分不必要条件

【答案】AC

【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.

【详解】A：设Z1=4+历,Z2=C+4i(a,5,C,deR),||lljz)z2=(a+hi)(c+(h)=(ac-M)+(atl+l)c)i,

所以忆z2|=yj(ac-bd)2+(ad+be)2=>ja2c2+b'd-+(rd~+b2c2,

㈤忆=777仄户方=夜不必G77P7,则上仔2|=匕|%],故A正确：

B：设Z1=a十历，z2=c+eR),则z[+z2=(a+c)+S+4)i,

所以14+爸I=J("+c)2+(1+d)，=7«:+b2+(r+d2+2(ac+b(l),

2222

|z,I+|z2|=>la+b4-\/c+cl,则％+22国马|+卜2|,故B错误；

C：曰选项A知，zp=(“+加Xc+%)=(优一加/)+(a」+反)i，z2=c-d\»

又z^wR,所以加+历=0,不一定有•；[：.，即推不出4=瑟；

一.\a=c

由4=z,.得〃+/百=。—d,贝U《，.则〃/7+从=0,即2握2eR,

[b=-d

所以“ZReR"是"e=『的必要不充分条件，故C正确：

2222

D：设Z1=a+bi,z2=c+(i\(a,b,c,d€R),plljzf=(a-b)+2aln,z^=(c-J)4-2cdi,

若[A=*2],则“J+〃」=Jc?+4。,a2+b'=c2+d21推不出z；=z；：

若Z；=Z；,则忖卜体I，

又团=yl(a2-b2)2+4a2b-==a2+/=,「，

同理可得同=上『,所以|z『=|4,同=同；

所以"|zj=㈤"是"z；=z；〃的必要不充分条件，故D错误.

故选：AC

3.(2024•重庆渝中•模拟预测)已知方程z2+2z+3=0的两个复数根分别为Ze，则()

A.zt=Z2B.Z|+Z2-2

C.z)z2=|z)|*D.|