2025年大学数学联赛积分技巧与实战演练集锦

高等数学竞赛不定积分

不定积分的概念与性质

1、设/'(sin2x)=cos2A+tan2x(0<x<I),求J\x)

2、设r(lnx)=l+x,求f(x)

3、己知了'（T）=1］,试求函数/*）

运用基本积分法求不定积分

一、运用凑微分法求不定枳分

1、求下列不定分；

rcos2x，/、r1，/_、rdx/

(1)-----------dx(2)---------dx(3)——----------(4)

Jl+sinxcosxJx~+2x+5Jsin-x+2cos-x

rsin^-cosx.

------------7公

J(cosx+sinx)

2、求下列不定积分

_3

(1)Jy/(x2+x)e'(x2+3x+\)exclx(2)j(xlnx)2(lnx+l)tZr

1

arctan—

rcos2x-sinxf\nx+2

(3)J_____x_dx(4)-------------：——dx(5)------------；-dx

1+x2JcosXl+cos.res,nx)Jxlnx(l+xln-x)

二、运用第二换元枳分法求不定枳分

I、三角代换求下列积分

⑴r_xdx⑵［上匚⑶［正Edx⑷

J（/+i）VT7x匕+了?

2、倒代换（即令x=l）求下列积分

t

dx

(2)

x(x1+2)

3、指数代换（令则dx=」一•包）

Inat

⑴屋

4、运用分部积分法求不定积分

(1)j(x2+l)e2scbc(2)j(x3+2x4-5)cos2,izZr

(3)farccoartZv(4)|x3(lnx)2dx

(5)Jexcosxdx

5、建立下列不定积分的递推公式

(1)/，，=J⑵/“=Jtan"xdx

有理函数的积分

1、求下列不定积分

/、dx

rx+2,(/2)、r[dx

(1)-----------dx7⑶J

JJC+4x4-3Jx(x-l)2(l+2xXl+x2)

2、求下列不定积分

xl\dx

dxrd〃T

(i)f--dx(3)[+；公(4)f

x(2+”)Jx"+1x8+3x

简朴无理函数积分

Jx(x+1)

I、f储i2、Jdx

J4+秋\l-x+Jx+1

三角有理式积分

1JJl+sins力;rIrsinx.

2、-------dx

J1+sinx

M+sinx,56

4、--------dx5、jsin4xcos2xcos3x4£r6^jsinxcosxdx

J1+COSX

具有反三角函数的不定积分

rx~.carccosx,

I、-----arctanxax2、,_dx

J”J7o7?F

抽象函数的不定积分

f/U)f2Mf\x)

[TM"'(X)F7田

分段函数的不定积分

1,x<0;

例如：设/(x)=«x+l,0<x<1;求

2x,x>\

高等数学竞赛定积分

比较定积分大小

1、比较定积分JInxdx和，(Inxfdx的大小

2、比较定积分[>(l+x)公和《与詈公的大小

运用积分估值定理解题

一、估值问题

5n

1、试估计定积分P(l+siMx)dr的值

4

2、试估计定枳分j^xarctanxdx的值

二、不等式证明

1、证明不等式：1W^ex'dx<e

Jo

2、证明不等式：2«r"+帖办/

L3

三、求极限

1、lim0“dx2、lim['Aedx

w->00Jo|+X，n->xJO]+e'

有关积分上限函数及牛顿•莱布尼兹公式问题

1、求下列导数：

(1)FW=r-r==：

J*

(2)由方程"力+「哭力=1确定的陷函数)，=/(x)的导数今

2.设/(.r)在[0,+⑹上持续且满足，"'/(/)，〃=x,求/(2)

]r16v18

3、设/(x)为有关x的持续函数，且满足方程5/")力=力++q+。，求

/3)及常数C.

4、求下列极限:

fte1sintdt「(1-cos产)力

(1)lim^---------(2)lim西------------

6r

—oxex->(r_

x

5、设了(X)是持续函数，且/(x)=x+2］：/⑺4,求f(x).

6、已知/'*)£/(x)dx=8且/(0)=0,求及/(x)

定积分的计算

一、分段函数的定枳分

kx,0<x<一

1、设/(x)=</2；求①⑴=('/•⑺力

—<xW

2

2、求定积分［max(x,/)dx

二、被积函数带有绝对值符号的积分

1、求下列定积分；

(1)jf|lnx\dx(2)£t\t-x\dt

2、求定积分，丁Jcosc-cos'xdi的值

~2

三、对称区间上的积分

.3

1、设f(x){t［-a,a］上持续，计算［'|x|(x2+SinA)dx

JTl+cosx

2、设/(x)在(一8,+8)上持续，且对任何x,y有/(x+y)=/U)+/(')，计算

［+\)f(x)dx

3、计算积分公

/1+"X

4、设/(x),g(x)在区间＞0)上持续，g(x)为偶函数，且/(x)满足条件

/(A)+/(-X)=A(A为常数).

(1)证明：f(x)g{x}dx=A^g(x)dx

⑵运用(1)的结论计算定积分j\|sinXarclan/dt

~2

四、换元积分法

1、求下列定积分:

,，、r|arcsinVx,小y2G---石sin10x-cos10x,

(1)(dx(2)yj\-eixdx(3)2------------------dx

4JX(\-x)Jo4-sinx-cosx

五、分部积分

1、设/(x)有一种原函数为"二求(幻心

X力

2、£arcsinx

r>ln(l+x)

3、b(2-x)2dx

积分等式的证明

一、换元法(合用于被积函数或其重要部分仅给出持续条件)

1、若函数/")持续，证明：

[2

(1)[)dx=-£xf(x)dx

(2)Jf(x)dx=(/?-f[a+S-a)x]dx

(3)[—dx=[^—!—dx

Jr\+x-1+x2

.3

2、设/(x)持续，求证「M'(sinx)必:=并计算Cjdx

3、设/(1)持续，且有关x=7对称，a<T<b,z证明：

rbMf2T-b

£f(x}dx=2力/。心+Jf(x}dx

(提醒：/(x)有关7对称，即/(T+x)=/(T-x))

二、分部积分法(合用于被积函数中具有:(x)或变上限积分的命题)

例：设厂(幻持续，F(x)=[f(t)f\2a-t)dt,证明：

F(2a)-2F(a)=f\a)-f(0)f(2a)

三、构造辅助函数法(合用于证明在积分限中至少存在一点J或凡使等式成立的命题)

解题思绪：(1)将彳或与改成工，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数

F(x)或Fr(x)o

(2)验证/(X)满足介值定理或微分中值定理的条件。

(3)由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。

1、设/(x),g(x)在上持续，证明：至少存在一点自£(〃,〃)，使得：

=gC)［：fMdx

2、设/(x)在［〃,加上持续，在(。力)内可导，f(a)=a,r/(x)dv」32-a2).求证:

Ja2

在①,㈤内至少存在一点J使f")=/©-&+1

四、积分不等式的证明

常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性,

积分与微分中值定理。

I、设/a)在以上持续，且严格递增，证明：

(a+/?)£f(x)dx<2^xf(x)dx

2、设/(x)在［0,+8)上持续且单调减少，()<〃</?,求证:

a^f{x}dx<b^J\x)dx

3、设/(幻在［a,切上可导，且广。)“知,/3)=0.证明：

eb-

［j\x)dx<-(b-ay

广义积分

1、求下列广义积分

(1)Cxe^dx(2)「2公

2

JoJ-oox+4X+9

⑶「J心(4)

4xjl-(lnx)2Jo(i-A)-

2、证明：无穷积分「”与(〃>())当〃>1时收敛，当0<〃<1时发散.

3、当〃>0时，］华是认为工=()瑕点的瑕积分，证明它在。<〃<1时收敛，在pNl

X

时发散.

高等数学竞赛导数与微分练习

运用导数定义解题

1、设函数g(x)h*-2)Fin口'"'2;又/“)在，=。处可导，求复合函数

0,x=2.

y=/(g(x))在x=2处的导数。

2

2、已知/'")在/处可导，求lim才/(7+—)一/(七)]

—8X

—X3x<1

3、设/3)=3'求/*)在点x=l处的导数广(1)

X2x>1,

/(«+—)

4、设函数/(x)在x处可导，且/(。)工(),试求lim[------L]"

…/⑷

2

c沿〃八_八片小一①他咱r11+2/，)-，1+/(1+sinx)

5、设/(I)=0,/(1)=6,求极限hm-----------------------------

―。Incosx

6、设/(x)在R上有定义，且((0)=1,又f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,求/(x)

导数在几何上的应用

1、设函数)，=/(©由方程/"'—cos(肛)=e—l确定，求曲线y=/(x)在(0,1)处的法

线方程

2、已知/(幻是周期为5的持续函数，它在x=0的某个领域内有关系式

/(I+sinx)-3/(1-sinx)=8x+a(x),

其中a(x)是当A>0时比x高阶的无穷小.日/(元)在x=1处可导.求曲线)，=/(%)在

点(6,/(6))处的切线方程.

运用导数公式及求导法则求导

V

1、已知)，=(^)、，求)/

1+X

2、若/⑺=lim«l+')2",求广⑺

x-xX

3、若y=l)/(x)=lnx3,求学

x+