2025届江西省某中学高考适应性考试数学试题

2025届江西省师大附中高考适应性考试数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线C：［一二二1(4>0,/?>())的右焦点与圆—2月+)，2=5的圆心重合，且圆M被双曲

a~b~

线的一条渐近线截得的弦长为2人，则双曲线的离心率为()

A.2B.V2C.>/3D.3

2.将函数Wx)=s加3x一百cos3x+l的图象向左平移g个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：

6

①它的性象关于直线尸,对称；

②它的最小正周期为年；

③它的国象关于点(?■,1)对称；

18

④它在［与5乃,1守97r］上单调递增.

其中所有正确结论的编号是()

A.®®B.®®C.①②④D.②③④

3.设42,—1),8(4,1),则以线段A8为直径的圆的方程是()

A.1—3)2+)3=2B.(x-3)2+y2=8

C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=8

4.己知〃+2i=l-初其中i是虚数单位，则z=a—句对应的点的坐标为()

A.(1,-2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(2,1)

2222

5.连接双曲线G：「-2=1及C,:与-=二1的4个顶点的四边形面积为耳，连接4个焦点的四边形的面积为S2,

a~b--b~a~

S,

则当U取得最大值时，双曲线G的离心率为()

A.在

c.GD.y/2

2

6.关于函数/（x）=sin|x|+1cosx|有下述四个结论：（）

②/(x)在区间(go)

①/"）是偶函数;上是单调递增函数;

③/（工）在R上的最大值为2；④/在区间［-2匹2句上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是（)

A.®@®B.®®C.①④D.②④

7.已知定义在R上的奇函数/（1）和偶函数g（x）满足/Q）+g（x）=优-。-+2（。＞0且〃工1）,若g（2）=〃，则

函数/（/+2x）的单调递增区间为（）

A.(-1,1)B.(-co,l)C.—D.(-l,+oo)

8.在AA/C中，角ARC的对边分别为a,^c-acosB=（2a-b）cosAt则的形状为（）

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等腰或直角三角形D.钝角三角形

9.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且&二一3,S12=24,若《+%=。（z；7eN\且IWiv/）,贝卜的取

值集合是（）

A.{1,2.3)B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10)

10.在AA5C中，分别为NA,N仇NC所对的边，若函数+笈2+卜/十/一〃@工

+1有极值点，则D4的范围是（）

A.、畛

7T7T

7"D.

1+T

11.已知函数/(x)=ln-----+x+l且〃。)+则实数。的取值范围是（）

1-x

(1)

A.一31则C.D.加

12.在复平面内，复数，（2+i）对应的点的坐标为（）

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,—1)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面向量。，b，c满足仍1=2,a>人的夹角等于且（。一。）•（〃一°）=0,则|c|的取值

范围是.

14.若函数］，X~°八，则的值为_____.

log3X,X>033

15.已知:父去=〃，贝！J（5-2）（X+1）”展开式/的系数为.

16.己知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，且为+%=4+3,贝”产.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

丫23

17.（12分）已知椭圆C:1■+方=1（。>〃>0）过点（I,1且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为

2G

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）设.4是椭圆的左顶点，过右焦点尸的直线4,与椭圆交于尸，。，直线AP,与直线4：犬=4交于M,N,

线段MN的中点为£.

①求证：EFA.PQ,

S

②记VPQE,4PME,▲QNE的面积分别为加、S,、&，求证：丁七｛为定值.

"1"

22

18.（12分）已知点3（0,—2）和椭圆M：》f=1.直线/:尸丘+1与椭圆M交于不同的两点p,Q.

（1）当女二1时，求△P8Q的面积；

2

（2）设直线总与椭圆M的另一个交点为C,当C为心中点时，求攵的值.

2

19.（12分）AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知AABC的面积为，一.

4sinA

（1）求sinBsinC；

（2）若10cosBcosC=-l,Q=JL求AABC的周长.

20.（12分）2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机

选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：［20,30）,［30,40）,…，［70,80］,并绘制了如图所示的

频率分布直方图.

才率/研训

0.035

0.030

0.025

0020

0.015

0.010-

0.005-

〃2(>504050607080彳他岁,

(1)现从年龄在120,30),[30,40),[40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进

行座谈，用X表示年龄在130.40))内的人数，求X的分布列和数学期望；

(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30,50)

的概率为P(X=Q(k=0,l,2,…,20).当尸(X=幻最大时，求k的值.

22

21.(12分)已知6(-1,0),后(1,0)分别是椭圆。：二十与=1,(〃>/2>0)的左焦点和右焦点，椭圆。的离心率为

ab~

好，4B是椭圆C上两点，点M满足=!B4.

52

(1)求。的方程；

⑵若点M在圆f+)，2=l上，点。为坐标原点，求的取值范围.

22.(10分)设函数/(尤)=5—,+4—以一2|.

(1)当。=1时，求不等式7(x)20的解集；

(2)若/(x)Wl恒成立，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】

由已知，圆心M到渐近线的距离为耳，可得6=/幼，，又c=2=/+〃，解方程即可.

yjcr+b-

【题目详解】

由已知，c=2,渐近线方程为法±©=(),因为圆例被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2五，

所以圆心M到渐近线的距离为W一(及了=6=1+7=~=bf故。=户丁=1，

c

所以离心率为e=,=2.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.

2、B

【解题分析】

根据函数)，=4411(公丫+8)图象的平移变换公式求出函数g(x)的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相

关性质求解即可.

【题目详解】

因为人幻=$加3x-73cos3x+l=2si〃(3x-；)+l,由>'=Asin(a>X+^)图象的平移变换公式知，

函数g(x尸2si〃[3(x+J)・f]+l=2H〃(3x+J)+l,其最小正周期为7=4，故②正确；

6363

令力+卜江+/得后舁/匕)，所以门署不是对称轴，故①错误；

令3工+?=而，得产竺二(AWZ),取代2,得尸?，故函数g(x)的图象关于点(?，1)对称，故③正确；

63181818

人不兀乃加2k冗2乃2k兀7t_51()乃134__16万19乃

Ikn-—<3x+—<2k7r+—,k^Zt------—£r<——,取4=2,得一^—SrW—^―,取々=3,4#——<r<——,

26239399999

故④错误；

故选：B

【题目点拨】

本题考查了=431(〃求+3)图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和

整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题

型

3、A

【解题分析】

计算43的中点坐标为(3,0),圆半径为r=加,得到圆方程.

【题目详解】

A3的中点坐标为：(3,0),圆半径为r二网=业*1=上，

22

圆方程为(X—3)2+)，2=2,

故选：A-

【题目点拨】

本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.

4、C

【解题分析】

利用复数相等的条件求得a.b,则答案可求.

【题目详解】

由a+2i=1—，得a=I,b=-2.

「.z=a-初对应的点的坐标为(。，-b)=(1,2).

故选：C.

【题目点拨】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题.

5、D

【解题分析】

先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积,

S.

利用重要不等式求得亍取得最大值时有a=b,从而求得其离心率.

【题目详解】

2222

双曲线与一与=1与二一5=1互为共扼双曲线，

a2b2b2a2

四个顶点的坐标为(±〃,0),(0,±〃),四个焦点的坐标为(±c,0),(0,±c),

四个顶点形成的四边形的面积岳=gx2ax2b=2ab,

四个焦点连线形成的四边形的面积工=2cx2c=2c?,

-2

S.Zabcib,ab1

所以=万<---=一

-lab2

S,f—cr~

当在取得最大值时有。=〃，c=6a，离心率e=—二，2,

Cl

故选：D.

【题目点拨】

该题考直的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共枢双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式

求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.

6、C

【解题分析】

根据函数/(力的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.

【题目详解】

/(X)的定义域为R.

由于/(-力=/(刈，所以/(x)为偶函数，故①正确.

士工/兀\.兀兀V3+1r(兀、.冗乃V3+V2r｛乃、,r(乃、g、l

由于/——=sin—+cos—=-----,/——=sin—+COS—=--------,f--</--»所以在

662I4j442I6；V4；

区间卜三。)上不是单调递增函数，所以②错误.

当工20时，/(x)=sinx+|cosx|=sinx±cosx=&sin<>/2,

且存在x=巳，使f工=sin—+cos—=>/2.

444

所以当x20时，/(x)<V2；

由于/(1)为偶函数，所以xwR时

所以/(1)的最大值为正,所以③错误.

依题意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,当0<x«2〃时,

.八，乃一3期

sinx+cos工，0<尤W—,或一<X<2TT

小)=22

.713乃

sinx—cosx,一<x<——

22

所以令sinx+cosx=0,解得x=?，令sinx-cosx=0,解得工二号.所以在区间(0,2可，/(x)有两个零点.

由于/(目为偶函数，所以/("在区间［-2］,0)有两个零点.故/(”在区间［-2万,2句上有4个零点.所以④正确.

综上所述，正确的结论序号为①

故选：C

【题目点拨】

本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

7、D

【解题分析】

根据函数的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，进而求出a,再根据复合函数的单调性，即可求出结论.

【题目详解】

依题意有/Cr)+g(x)-优一+2,①

f(-x)+g(-x)=ax-ax+2=-f(x)+g(x),②

x

①-②得f(x)=a-a-\g(x)=2t又因为g(2)=a,

所以a=2,/(x)=2'-2T,fM在R上单调递增，

所以函数/(f+2x)的单调递增区间为(-1,48).

故选:D.

【题目点拨】

本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.

8、C

【解题分析】

利用正弦定理将边化角，再由7n(A+8)=sinC,化简可得sinBcos4=sinAcos4,最后分类讨论可得：

【题目详解】

解：因为c-ocos8=(2a—〃)cosA

所以sinC—sin4cos3=(2sinA-sin4)cosA

所以sinC-sinAcosB=2sin4cos>4-sinBcosA

所以sin(A+4)—sinAcos4=2sin/cos八一sinBcosA

所以sinAcos+sinBcosA—sin4cos〃=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

当以此4=0时人=囚，AA8C为直角三角形；

2

当cosAwO时sinA=sin8即A=8,MBC为等腰三角形；

・•・MBC的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：C.

【题目点拨】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

9、C

【解题分析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足q+%=。的i的取值集合.

【题目详解】

设公差为d,由题知内=-3=>4+3〃'=-3,

$2=24=12“+J*"d=24,

2

解得q=-9,d=2,

所以数列为-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,1L,

故ie{l,2,3,4,5}.

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.

10、D

【解题分析】

22

试题分析：由已知可得/'(/)=x+2AT+[J+c-ac)=。有两个不等实根

=>A=4b2-4(a2+c2-ac]>0=>a2+c2-b2<ac=>cosB=--------------<—=>5G二,兀.

')2ac2U)

考点：1、余弦定理；2、函数的极值.

【方法点睛】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑

思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为

f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有两个不等实根，从而可得

A=4b2-4(a2+c2-ac\>0=>w2+c2-b1<ac=>cosB=a+C———<—=>三,兀

v7lac2U

IKB

【解题分析】

构造函数/a)=/(x)—i,判断出网a的单调性和奇偶性，由此求得不等式/(。)+“。+1)>2的解集.

【题目详解】

-

1+Y1+V

构造函数*x)=/(x)—l=ln；'+x,由;」>()解得所以尸(x)的定义域为(T1),且

1-X1-X

1Iy1_J-(1_y\

F(-x)=ln--;--x=-ln----x=-In---+x=-F(x),所以产(工)为奇函数，而

1—X1+XII+X)

1V(2、

F(x)=ln--+x=ln-1+--+x所以尸(x)在定义域上为增函数，且尸(0)=lnl+0=0.由

1—X\1—A/f

a+a+\>0

/(〃)+/(々+1)>2得/(〃)-1+/(〃+1)—1>0,即/(〃)+/5+1)>0,所以一1<。<1n—；<a<0.

-1<4+1<1

故选：B

【题目点拨】

本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.

12、C

【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

【题目详解】

解：复数i(2+i)=2i-1对应的点的坐标为(-1,2),

故选：C

【题目点拨】

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

V?-V3V7+6

13、

22

【解题分析】

lr-c?+1

计算得到la+〃l=J7,c2=V7kk^a-b解得。。W=正同，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

【题目详解】

由(匕一[)•(〃-[)=0可得c2=Cdb*c-a-b=\d+b\*\c\cosa-1x2cosy=Ia+/?\*\c\cosa-La为a+〃

与C,的夹角.

再由(。+8)=c/+力2=l+4+2xlx2cos(=7可得+8|=近，

c2+\

：・于=、，|C\cosa-1,解得cosa-⑺/-.d.

V()<«<?r»•*.-\<cosa<\tA]；W1,即同？一V7Ic|+l<0,解得<\c\<

币-△"+石

故答案为

-2-，2

【题目点拨】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

14、」

2

【解题分析】

根据题意，由函数的解析式求出/(log4g)的值，进而计算可得答案.

【题目详解】

根据题意，函数/(幻=?0八,

log3x,x>0.

则/。。氏1)=/(-log43)=/(-log2G)=6,

则/[1/(log41)]=/(当=log.?4=一；；

JJJJ

故答案为：

2

【题目点拨】

本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

15、-8

【解题分析】

先根据定积分求出〃的值，再用二项展开式公式即可求解.

【题目详解】

因为卜3公=(4/14

=1X2=4

o14儿4

所以〃二4

(x+1)4的通项公式为=C：x/，/=C；Z

当r=2时,7；=C；xl4-r.xr=C；x2=6x2

当〃=3时，7；==4x3

故+展开式中/的系数为4+(-2)x6=—8

故答案为：-8

【题目点拨】

此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.

16、27

【解题分析】

根据等差数列的性质求得。5，结合等差数列前〃项和公式求得S9的值.

【题目详解】

因为为等差数列，所以4+%=4+区=。6+3,解得%=3,

所以Sg=岂竽^=等％=9%=27.

故答案为：27

【题目点拨】

本小题考查等差数列的性质，前〃项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)三+二=1；(2)①证明见解析；②证明见解析

43

【解题分析】

19।

L方以

(1)解方程•be=6即可;

a2=b2+c2

(2)①设直线4：x=〃zy+l,0(X，y),。(巧，%)，将七点的坐标用〃?表示，证明心F“Q=-1即可；②分别用

m表示YPQE,△丹1/£,,ONE的面积即可.

【题目详解】

19,

—4-----=1

a'4b~

(1)be->/3

a~=b~+c~

解之得：a2—4,Z?2=3,c2=1

v.22

的标准方程为：—+^v-=1

43

(2)①A(—2,0),F(l,0),

设直线4：x=冲+1

代入椭圆方程：3("少+I)2+4/=12=>(3〃/+4)/+6〃少-9=0

设P(X，Y)，。(乙，月)，

-6m-9

。十%=22>，

3m+43m+4

直线AP:y=^^(x+2),直线AQ：y=^^(x+2)

玉+2x2+2

M(4,3)，N(4,-^)

%+2%+2

22^1+2x2+2)Imy\+3my2+3)

0-9-18/7?

=3x2，孙乃+3(y+yj=3*功3〃d+4+3m2+4

222

iny]y2+3m(y}+y2)+9'9m।18/??[f)

3m2+43ni2+4

r-36/72、

=3x----=一〃37

36

3AWI

E(4,-3/z?),k^F---m,k=—,L•k=-1,EE±PC.

3P0mPQ

小36宿十36(3团2+4)]2(苏+1),

②|PQI=J〃P+1|EF|=3V??2+1

3nr+43/+4

118(/H2+1W/W2+1

S=-IPQ11叩=二——9--------

'23〃/+4

1

S2+S3=^ME4-X,+^E4-X2=^-|A/^|(8-X,-X2)

24

J%』3〃心+%))=；器-福卜玛

=108「一q

"rX必+3机(X+%)+93〃！+4

I36m2+36

V(3/n2+4)2+3/n3+4

加2+136\bn2+1[tn24-1)

=108x------Z---------

303m'+43m2+4

3疗+4

所以

【题目点拨】

本题考杳了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关

系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.

18、⑴S-占当或人当

【解题分析】

(1)联立直线/的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形P8。的面积.

(2)法一：根据P,3的坐标求得。的坐标，将RC的坐标都代入椭圆方程，化简后求得P的坐标，进而求得上的值.

法二：设出直线相的方程，联立直线屋的方程和椭圆的方程，化简后写出根与系数关系，结合玉求得P点

的坐标，进而求得k的值.

【题目详解】

⑴设P(%,y),e(x2,y2),

若攵=3,则直线/的方程为），=gx+l,

上+《=1

42

由J，得3工2+4工一4=0,

）'丁+1

一

2

解得玉二-2,x2=-,

设直线/与）'轴交于点4（0,1）,则M4=3且

s眸=；|A8k（闻+网）=-x3xf-+21=4.

2（3）

（2）法一：设点。（七,%）

i

x3=2

因为P（%，x），研。，―2）,所以

—2+y

石了

又点*%/），。（七,为）都在椭圆上，

K+£=i

42

所以-2+X

2

4~T

714V14

x,=-----

解得《2或~2~

1

二-

y2

亚或心血.

所以攵

1414

法二：设。（刍,%）

显然直线相有斜率，设直线号的方程为》二%/-2

土2_=1

由542一,得（2%：+1卜2_8幻+4=0

y-k1x-2

A=16（2^2-l）＞0

8K

所以

4

xx,=­；—

132年+1

又工3=]

姮V14

x二一'-2

解得〈F或，

3V1473V14

匕=---

14'14

V14V14

x=

l%=

所以J或，

3i=-2y二2

所以人亚或人一Ml

1414

【题目点拨】

本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

19、(1)；(2)72+77

【解题分析】

(D根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；(2)根据两角余弦公式可得cosA,即可求出sinA,再根据正弦定

理可得加，根据余弦定理即可求出人+c,问题得以解决.

【题目详解】

(1)由三角形的面积公式可得又.=:。八亩8=」一，

24sinA

2csin8sinA=a,

由正弦定理可得2sinCsin8sin4=sirM,

,/sinAw0,

.'.sinBsinC=—；

2

(2)10cosBcosC=-l,

n「1

・・COSJDcosC=,

10

cos(/y+C)=cos"cosC-sin/sinC=--,

5

43•44

/.cosA=—,sinA=—,

55

i2

则由二力csinA=1一-,可得：bc=-f由〃2+C'2一々2=»ccosA,

24sinA16

-I931

可得：厅+L=」

o

Qi75

.•.S+C)2=g+§=7,可得：/7+c="，经检验符合题意，

oo

二•三角形的周长Q+/?+C=3+J7.

(实际上可解得〃=2疗-6,c=2五+6符合三边关系).

44

【题目点拨】

本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，

考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题.

3

20、(1)分布列见解析,研=:

4

(1)7

【解题分析】

(1)根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；X的可能取值为0,1,1,由离

散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.

(D先求得年龄在［30,50)内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出P(X=Q=C；o(0.35/(1-0.35)25-\

P(X=k)

令"而FT化简后可证明其单调性及取得最大值时女的值.

【题目详解】

(1)按分层抽样的方法拉取的8人中,

0.005

年龄在［20,30)的人数为x8=1人,

0.0054-0.010+0.025

0.010

年龄在［30,40)内的人数为x8=2人.

0.005+0.010+0.025

0.025

年龄在［40,50)内的人数为x8=5人.

0.005+0.010+0.025

所以X的可能取值为0,1,L

3

C6C2°_5

所以&X=0)=

21

尸（X=l）二号c）c15

28

2

P（X=2）=-C^'C^=—3,

C；28

所以X的分市列为

X011

5153

P

142828

51533

fX=0x—+lx—+2x—=-.

1428284

(D设在抽取的10名市民中，年龄在[30,50)内的人数为X,X服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在

[30,50)内的频率为(0.010+0.025)x10=0.35,

所以X~B(20,0,35),

所以P(X=A)=C：o(0.35)气1—0.35)21伙=0.1.2,.20).

讲仁P(X=Q二或(0.35)“1-。35严"=“21-Q

设P(X*1)一。\(0.35产(1-0.35产L13%(S)'

若r>l,则左v7.35,P(X=k-l)<P(X=k)t

若1<1,则％>735,P(X=k-l)>P(X=k).

所以当％=7时，P(X=k)最大,即当P(X=R)最大时，k=7.

【题目点拨】

本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.

【解题分析】

(1)根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中4,。"的关系，即可求得。力,。的值，进而得椭圆的标准方程.

(2)设出直线48的方程为)，=依+机，由题意可知M为|4目中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出

%+七,*M，由判别式/>0可得5M+4>机2；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简0408可得

______1_2

OAOB=\一一AB\代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M的坐标，代入圆的方程化简可得

4

愕，+4）/（20/-8）

2,代入数量积公式并化简，由换元法令/=公+1，代入可得OA-OB=l-20x

m（51）（251—9）

25^+16

1__________/(20/-8)

再令s=-及3=5-25,结合函数单调性即可确定25的取值范围，即确定一/八、的取值范围,

t9。+—+50(5r-l)(25r-9)

因而可得OAOB的取值范围.

【题目详解】

(1)M-LO),F2(1,0)分别是椭圆C：W+耳=1,3>r>0)的左焦点和右焦点,

ab~

则c=l,椭圆。的离心率为好,

5

则e=£=,=解得〃=，

aa5

所以庐=。2_‘2=5-1=4，

所以。的方程为三+工=1.

54

(2)设直线A8的方程为丁=依十机，点M满