2025届广西师范大学附属某中学高考数学试题模拟试卷一

2025届广西师范大学附属外国语学校高考数学试题模拟试卷（1）

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知圆G：（x-l）2+（y+l）2=l,圆（x-4）2+（y-5）2=9,点M、N分别是圆G、圆G上的动点，P

为x轴上的动点，贝的最大值是（）

A.26+4B.9C.7D,2石+2

2.下列命题是真命题的是（）

A.若平面1,。,y,满足piyt则a///；

B.命题VxwR,1-%2<1,则力：士0WR,I-Xy<1；

C.“命题为真”是“命题〃人“为真”的充分不必要条件：

D.命题“若（X—1）/+1=O,则X=0”的逆否命题为：“若XH0,则（X—1）/+IH（）”.

3.水平放置的ABC,用斜二测画法作出的直观图是如图所示的V4/TC,其中OW=O7T=2,0（'=&,则

、ABC绕4〃所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（)

C.(8/+3)江D.(16"+12)4

4.（x+l）（2x+l）（3x+l）…的展开式中汇的一次项系数为（）

A.戊B.C；+1C.C：-'D.g%

5.若集合A={xwN|x=J痢},〃=2也，则下列结论正确的是（）

A.{a}cAB.aqAC.{a}GAD.a^A

6.已知数列｛〃〃｝中，4=1"=2,且当〃为奇数时,4+2-〃“=2：当"为偶数时，〃“,2+1=3（〃“+1）.则此数

列的前20项的和为（）

3"-33"-3312-3312-3

A.--+90B.-----+100C.-——-+90D.--+100

2222

7.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，

有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学

拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝

时期专著的概率为（）

37八49

A.—B9—C.—D.—

510510

8.已知〃I,〃是两条不同的直线，a,6是两个不同的平面，给出四个命题：

①若a7=相，〃ua,ni_mt则②若加J_a,m工。,则a//£：

③若〃z//〃，〃?ua,alip,则〃〃/?；④若"z_La,〃?_!_〃，则a_L/7

其中正确的是（）

A.®®B.③④C.®@D.@@

x^-\

9.已知实数满足约束条件「亚丁八八，则2x-3），的最小值是

A-2y+2>0

2.r-.y-2<0

7

A.-2B.——C.1D.4

2

10.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人

脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸

识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）

A.480种B.360种C.240种D.120种

11.执行如图的程序框图，若输出的结果）=2,则输入的x值为（）

B.-2

C.3或一3D.3或一2

的图象大致是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在四面体ABCQ中，48=CO=a,AC=8O=后,AO=8C=5,E,尸分别是A28C的中点.则下述结

论:

①四面体48C。的体积为20；

?4

②异面直线AC,I3D所成角的正弦值为三；

25

③四面体A3CO外接球的表面积为50乃；

④若用一个与直线“垂直，且与四面体的每个面都相交的平面a去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多

边形截面面积最大值为6.

其中正确的有.（填写所有正确结论的编号）

14.已知〃=（1,3）,人=（-2』），求（2a+Z?）-a=.

15.的展开式中F的系数为（用具体数据作答）.

16.的展开式中所有项的系数和为,常数项为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，直三棱柱A8C-A8£中，。，石分别是A8,84的中点，AAi=AC=CB=—AB=>[2.

2

B

（1）证明：8CJ平面A。。；

（2）求二面角。一A。一石的余弦值.

22x=2+r,

18.（12分）已知曲线G：?+匕=1,直线/：•cca为参数）.

\y=2-2t,

（I）写出曲线。的参数方程，直线/的普通方程;

（II）过曲线C上任意一点P作与/夹角为30°的直线，交/于点A,|网的最大值与最小值.

19.（12分）已知抛物线C”（〃>（））上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

(1)求P的值；

(2)设尸(%,%)(0<.ro<2)为抛物线G上的动点，过尸作圆(工+11+丁=1的两条切线分别与丫轴交于4、B

两点.求的取值范围.

20.(12分)设函数/5)=，一；/一心，aeR.

(I)讨论/。)的单调性；

(II)时，若不工工2，/。1)+/(工2)=2,求证：斗+王<0.

21.(12分)如图，三棱柱ABC-A8C的所有棱长均相等，用在底面ABC上的投影D在棱BC上，且AB〃平面

ADC1

(I)证明：平面AOG，平面ACC罔；

(U)求直线A8与平面AQG所成角的余弦值.

22.(10分)已知关于x的不等式|x+l|一|x-3因，〃一2|+〃7有解.

(1)求实数的最大值，；

(2)若a,b,c均为正实数，且满足a+〃+c=，.证明：a3b+byc+cya>3abc.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

试题分析：圆G：(x-lf+(y+l)2=l的圆心石(1，-1),半径为1,圆&：红-4)2+()，-5『=9的圆心尸(4,5),半径

是3.要使|/科一|/加|最大，需1PM最大，且忙根最小，|PN|最大值为/平|+3"汹|的最小值为|P目一1,故

|取|一归间最大值是(归产|+3)—(|P同一1)=归周一归国+4；/(4,5)关于、轴的对称点人(4,—5),

|PF\-\PE\=|PF|-|P£|<\EFf\=7(4-l)2+(-5+1)2=5,故|尸产|一归目+4的最大值为5+4=9,故选B.

考点：圆与圆的位置关系及其判定.

【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需归凶最大，且最小，|PW|最大值

为|PF|+3,|PM|的最小值为|阳-1,故最大值是(|PF|+3)-(|PE|-1)=|尸尸|一|「£|+4,再利用对称

性，求出所求式子的最大值.

2、D

【解题分析】

根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B;根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.

【题目详解】

若平面。,/,满足。，九0工y,则外夕可能相交，故A错误；

命题“〃：VxwR,的否定为-p：却wR,1-x->1,故B错误；

为真，说明〃国至少一个为真命题，则不能推出〃人，/为真；〃八"为真，说明〃国都为真命题，则〃vq为真，

所以“命题〃”为真”是“命题…为真”的必要不充分条件，故C错误；

命题“若(工-1"+1=0,则x=0”的逆否命题为：“若工工0,贝乂工-1”"+1。0”，故D正确；

故选D

【题目点拨】

本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.

3、B

【解题分析】

根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得AO=BO=2,OC=2jj,4ABe绕AB所在

直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体

的表面积.

【题目详解】

根据“斜二测画法”可得AO=60=2,0C=2拒,AH=AC=BC=4f

A8c绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，

它的表面积为S=2乃〃=2万x26x4=16JLr.

故选：3

【题目点拨】

本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法，难度较易.

4、B

【解题分析】

根据多项式乘法法则得出x的一次项系数，然后由等差数列的前〃项和公式和组合数公式得出结论.

【题目详解】

由题意展开式中x的一次项系数为1+2++〃=的罗=C2.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.

5、D

【解题分析】

由题意A={xwN|x=而}=0,分析即得解

【题目详解】

由题意A={xwN|x=药}=0,故A,A={a}

故选：D

【题目点拨】

本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

6、A

【解题分析】

根据分组求和法，利用等差数列的前〃项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前〃项和公式求出前20项

的偶数项的和，进而可求解.

【题目详解】

当〃为奇数时，。“+2一%=2,

则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列，

当〃为偶数时，勺+2+1=3（凡+1），

则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列.

所以S20=6+%+一・+电0=%+/4■…+%9+?+&+…+。20

10x9

=IOx1Hx2+（a,十1）十（。4十I）十（0•＞（）+1）—10

3（1-310）3"-3

=100+」-----^-1（）=---+90-

1-32

故选：A

【题目点拨】

本题考查了数列分组求和、等差数列的前〃项和公式、等比数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

7、D

【解题分析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.

【题目详解】

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝

时期.记这5部专著分别为。也c,d,e,其中。也c产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2舒作为“数

学文化”校本课程学习内容，基本事件有心",ad,cie,be,bd,be,cd,ce,de,共10种情况，所选2部专著中至少有一部

是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，办权,，儿/,m共9种情况，所以所选2部专著中至

m9

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为〃=—=;;;・故选D.

n1（）

【题目点拨】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的：（2）树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（A，/），（4，与）….14,4）,

再（人,4），（&,层）…（&,纥）依次（%为）（&&）….（&,纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

8、D

【解题分析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根

据面面垂直的判定定理可判断④.

【题目详解】

对于①，若/="?,〃ua,a,/7两平面相交，但不一定垂直，故①错误；

对于②，若〃?_La,则故②正确；

对于③，若机//〃，〃?ua,a//,当nu0,则〃与夕不平行，故③错误；

对于④，若小_La,则a_LQ,故④正确；

故选：D

【题目点拨】

本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.

9、B

【解题分析】

作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，

21?1

设z=2x-3y,则—易知当直线y=经过点。时，z取得最小值，

-3333

x=-l

由，，八，解得,1>所以D（T7），所以Zmin=2x（-1）-3Xq=-7,故选B.

x-2y+2=0y=~222

10、B

【解题分析】

将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.

【题目详解】

当人脸识别方向有2人时，有父二120种，当人脸识别方向有1人时，有=240种，，共有360种.

故选：B

【题目点拨】

本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

11、D

【解题分析】

根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.

【题目详解】

因为>=2,所以当（x+i,=2,解得x=3>0,所以3是输入的x的值；

当2-1=2时，解得汇=一2<0,所以一2是输入的x的值，

所以输入的工的值为-2或3,

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.

12、A

【解题分析】

根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.

【题目详解】

当x>l时，f（x）=\n（x--）t

由y=-',），=x在（La）递增，

x

所以f在。,+g）递增

X

又），=ln/是增函数，

所以/但=m。-3在（L*o）递增，故排除B、C

X

当XW1时,若X£（0,l）,则门£（0,乃）

所以，=cos/r在（0,1）递减，而），="是增函数

所以/（丫）=。3"在（0,1）递减,所以A正确.D错误

故选：A

【题目点拨】

本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增•减二增,

减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①（§）④.

【解题分析】

补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计

算截面面积的最值.

【题目详解】

根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为。/,c,

C、2+/=4I

<<?+/=34,解得。=3,〃=4,c=5

①四面体ABCQ的体积为V=3x4x5-4x,x3x4x5=20,故正确

3

②异面直线AC.8。所成角的正弦值等价于劝长为5.3的矩形的对角线夹角正弦值,可得正弦侑为故错:

③四面体A8CO外接球就是长方体的外接球，半径R二@±f=叵，其表面积为50不，故正确；

22

④由于EF_La,故截面为平行四边形MNKL,可得KL+KN=5,

24

设异面直线8c与AO所成的角为依则sme=si〃/HFB=si〃/LKN,算得sing—,

25

（KJ+KNV24

/.S^.=NK•KL•sinZNKL<x—=6.故正确.

6KKLI2J25

故答案为：®®®.

【题目点拨】

此题考查根据几何体求体积，外接球的表面积，异面直线夹角和截面面积最值，关键在于熟练掌握点线面位置关系的

处理方法，补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法，平常需要积累常见几何体的补图方法.

14、21

【解题分析】

求出向量为+/）的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.

【题目详解】

V«=（1,3）,匕=（一2,1）,.•.2々+。=2（1,3）+（—2/）=（0,7）,

因此，（2〃+〃）・a=0xl+7x3=21.

故答案为：21.

【题目点拨】

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.

15、60

【解题分析】

利用二项展开式的通项公式可求/的系数.

【题目详解】

（2x-l）6的展开式的通项公式为却=C；（2x）~（-1）\

令6-丫=2,故1=4,故6的系数为（-if屐x2?=60.

故答案为：60.

【题目点拨】

本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.

16、3-260

【解题分析】

⑵先求出(2X--T展开式中的常数项与含与的系数，再求(丁+2)(2旧)展

(1)令X=1求得所有项的系数和;

VXJX

开式中的常数项.

【题目详解】

将x=l代入,得所有项的系数和为3.

因为的展开式中含土的项为eg"—)=黑色一』的展开式中含常数项C：(2I)[T=-160,所以

(%2+2)(21一「的展开式中的常数项为60-320=—260.

故答案为：3；-260

【题目点拨】

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析(2)B

3

【解题分析】

(1)连接AG交4。于点尸，由三角形中位线定理得8G〃。尸，由此能证明3C"/平面ACO.

(2)以C为坐标原点，C4的方向为大轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CG的方向为z轴正方向，建立空间直

角坐标系C-Ayz.分别求出平面AC。的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角。-AC-E的余

弦值.

【题目详解】

证明：证明：连接AG交于点尸，

则尸为AG的中点.又。是八3的中点，

连接。/，则〃才.

因为。/U平面A。。，平面AC。，

所以8CJ/平面ACO.

(2)由A4,=AC=CB=^AB=&，可得：A3=2，即ACZ+8C2=A82

所以AC_L3C

又因为ABC-A4G直棱柱，所以以点。为坐标原点，分别以直线C4、CB、CG为X轴、），轴、Z轴，建立空间直

角坐标系，则。（0,0,0）、A（J5，°，3））、D

CA=(V2,o,72),CD=

冬0k=

设平面A。。的法向量为〃=（x,y,z）,贝!1〃.8=0且“•C‘A=0,可解得＞=一x=z,令x=],得平面八（。的

一个法向量为〃=（1,一1,一1）,

同理可得平面ACE的一个法向量为〃，=（2』,一2）,

贝邛

所以二面角。-AC-E的余弦值为B.

3

【题目点拨】

本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

⑶⑴{x=2-cosa0,-6=。；（ID最大值为苧，最小值为哈

【解题分析】

xvx=2cos。、

试题分析：（I）由椭圆的标准方程设5=cose，5=sin°,得椭圆的参数方程为（y=3sme,，消去参数’即得直线的

普通方程为2X+），-6=0；（II）关键是处理好|用与角30。的关系.过点P作与/垂直的直线，垂足为，，则在

中，9/=/二夕尸山，故将|/到的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点M2c。％,3加仍到定直线2x+y-6=0

的最大值与最小值问题处理.

x=2cos^,

试题解析：（D曲线C的参数方程为1尸3.0,0为参数＞直线/的普通方程为21+厂6=。.

(II)曲线C上任意一点尸(2cosa3sin0到/的距离为d=lg|4cos6+3sine-6|.则

|印=°=^^|3sin(夕+a)—6|•其中以为锐角，且iana=g

当sin（g+a）=7时，|尸山取到最大值，最大值为三叵.

当sin（6+a）=l时，|PA|取到最小值，最小值为竽.

【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形.

19、(1)p=2;(2)0<|AB|<2

【解题分析】

（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,由抛物线的定义得到3+4=4求解.

2

仄-任%+1)|

（2）设过点P（%,%）的直线方程为%=%（•"/），根据直线与圆（x+1）2+/=1相切，则有

整理得：（/2+2%*-2），0（/+1）攵+（先2-1）=0,根据题意A（O,%M/O），3（Q%-3O），建立

|A8|=%-网民=小，（4+或『一必他，将韦达定理代入求解.

【题目详解】

（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,

由抛物线的定义得：3+£=4,

2

解得:〃=2.

（2）设过点。（天）,、。）的直线方程为丁一乂=攵（工一/）.

因为直线与圆（X+1）2+=1相切，

所以吗3L1,

整理得：伍2+2%伙2-2)，。(与+1"+(%2一1)=0,

X。+2%%+2%

由题意得：A(0,),B(0,y0-)

所以|AB|小川%=%丸+叮-4叫,=2/(；f,=2乐奈-

因为。〈玉X2,

111

所以**不<脑

所以0v|A8|42.

【题目点拨】

本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解题分析】

(D首先对函数/(幻求导，再根据参数”的取值，讨论/'")的正负，即可求出关于/*)的单调性即可;

(2)首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明内十e<0・

【题目详解】

(1)f(x)-ex-x-a,令g(x)=f\x),

则g(x)=e'-1,令g'(x)="-1=0得工=0,

当xe(—8,0)时，g'(x)<0则g(x)在(7o,0)单调递减，

当xw(0,口)时，g\x)>0则g(x)在(0,+00)单调递增，

所以gmin(X)=g(°)=l一%

当〃<1时,gmin(x)=\-a>0,即g(x)=/'Cr)N0.则/(x)在/?上单调递增，

当4>1时，&而。)=1一"0，

易知当Xf-8时，g(x)f+CQ,

当Xf+oo时，g(x)f*o,

由零点存在性定理知.初,々，不妨设为<*2，使得g(X］)=g(X2)=0,

当工£(一8,内)时，g(x)>0,即/'a)>0,

当.EW。］,9)时，g(x)v°，即/'(x)<0,

当」£。2，+°°)时,g(K)>0,即/'(X)>0,

所以/(x)在(f小)和(&，+g)上单调递增，在区，与)单调递减；

(2)证明：构造函数尸")=/(1)十/(一4)-2,x>0,

F(x)=ex--x2-ax+e~x--x2+ax-2,x>0>

2L2_

xx2

整理得F(x)=e+e--x-2f

F\x)=eK-e-x-2x,

F7A)=eK+e~x-2>2y/ex-e~x-2=0(当x=0时等号成立)，

所以尸(x)在［0,+。。)上单调递增，则F\x)>尸(0)=0,

所以“(X)在［0,”)上单调递增，F(x)>F(0)=0,

这里不妨设々>0,欲证x+w<o，

即证由(1)知时，f(x)在R上单调递增，

则需证/(xJv/(一.q),

由已知/(》।)+)=2有।=2-,

只需证/(a)=2-/(七)</(一/)，

即证/(修)+，(一々)>2,

由F(x)=/(x)+/(-x)-2在［0,+8)上单调递增，且电>0时，

有F{x2)=f(x2)+f(-x2)-2>0,

故/(/)+/(-&)>2成立，从而内+与<°得证.

【题目点拨】

本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.

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21、（i）见解析（H）

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【解题分析】

（I）连接AC交AC于点。，连接OZ）,由于A8||平面AQG，得出A"|0。，根据线线位置