2025年中考数学几何模型归纳训练专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型解读与提分精练（解析版）

专题09三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互

补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时、多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基「已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识儿何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航］

例题讲模型］

...........................................................................................................1

模型1.垂美四边形模型...............................1

模型2.378和578模型...............................10

习题练模型］

...........................................................

例题讲模型［

模型1.垂美四边形模型

模型解读

垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。

模型证明

P

条件：如图1,已知四边形A8CQ,对角线AC、8。交于点0,且AC_L8D；

结论：①A82+C》=AO2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形"e=LAC8D。

2

证明：VAC1BD,・・・NAOD=NAO8=NEOC=NCOO=90。，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

AL）1+HC~=AH2+CD~;'»AC±BD,.'.SAABC=—ACBO,S^XDC^—ACDO

22

S四边形48C/产S△4BC+SAwg4C80+AC-DO=gAC-BD0

222

条件：如图2,在矩形A8C。中，尸为CO边上有一点，连接AP、8P；结论：DP2+BP2=AP2+PC2

证明：•・•四边形A8C。是矩形，.'.NADP=NBCP=90。,AD=BC,

由勾股定理得，AO?=4"一。尸，BC2=BP2-CP-,

/.AP2-DP2=BP2-CP-,JAP^CP2=BP2+DP2。

条件:如图3（或图4）,在矩形4BCO中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接4P、BP,CP,DP；

结论：标+。。2=。尸+3尸

证明：过点尸作4）的垂线，交AD于点E,交BC干点F,则四边形48/花和。所为矩形，

，AE=BF,DE=CF,由勾股定理得：则AP?=AE?+尸巨，尸。2=尸产2+。尸2

BP2=BF2+PF\PD2=DE1+PE2,/.PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2,

PB24-PD2=BF2+PF2+DE2+PE2，PA2+PC2=PB2+PD2.（图4的证明和图3证明相同）

用处，①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到钵美四边形.

模型运用

例I.（23-24八年级上•河北保定•期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”

四边形48c。，对角线ACBD交于点0.若AD=1,BC=4,则等于（）

【答案】C

【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解.，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定

理的计算是解题的关键.

【详解】解：:四边形A8C。是“垂美”四边形，即AC工友），

222222

工在RLAOB中，AB=OA+OBf在RsCOD中，CD=OC+OD,

,AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,

在RSAOD中，AD2=\=OA2+OD2,在中，BC2=42=OB2+OC\

/.AD2+BC1=OA2+OB2+OC2+OD2.AAB2+CD2=AD2+BC2=1+42=17,故选：C.

例2.（23-24九年级上•天津•期末）如图，四边形A8CO两条对角线AC、3。互相垂直，且人C+Q=10.设

AC=x,（0<x<5）

⑴用含X的式子表示：S双边.BCD=：（2）当ABC。四边形的面积为8cm2时，求AC、A。的长;

【答案】（l）5x-gf（2）AC=2cm,%）=8cm

【分析】（1）根据％边枷阳产5少。+5〃8=；以）丛。进行求解即可;

（2）根据（1）所求，代入右边眩am=8进行求解即可.

【详解】（1）解：如图所示，设AC8。交于点0,

V\C^BD=10,AC=x,，BO=IO-x,•・•四边形ABC。两条对角线AC、8D互相垂直，

••S四边形ABcn=SVABO+SVBCO=弓"。•。力+不4。♦。。=38。4c=弓x(10—x)=5x—弓,故答案为；5x--x2；

（2）解：由题意得5x-；%2=8,.•・x2-10x+16=0,解得x=2或工=8（舍去）

AC=2cm,BD=10-x=8cm.

【点睛】本题主要考杳了二角形面积，一元二次方程的应用，正确列出四边形的面积关系式是解题的关键.

例3.（2023•江苏盐城•一模）如图，四边形AACD的对角线AC司4。互相垂直，40+280=10,则四边形

ABCD面积最大值为.

25

【答案】v

4

【分析】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法.直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出

S=^ACBD,再利用配方法求出二次函数最值.

【详解】解：设瓦＞=x,四边形A8CO的面积为S,・・・AC+24O=10,4C=10—2x,

丁四边形ABCO的对角线AC和60互相垂直，・•.S=g4C4Q=；Ml0-2x）=-卜一+§,

・••当5时，S取得最大值，最大值为2弓5，即四边形人BCO面积最大值为2弓5.故答案为：25

2444

例4.（2024•陕西•一模）已知矩形ABCD中有一点P,满足以=1,PB=2,PC=3,则PD=

AD

【答案】限

【分析】由A3。。是矩形，过P作GH//BC交AB、CD于点、G、H,过P作斯//A3交A。、8c于点£、F,

在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出AP2+Cp2=8P2+z）p2,从而求出。P.

【详解】解：过点。作GA///8C交AB、C。于点G、H,过点P作E尸“48交A。、BC于点E、F,

设AE=8Qc,AG=DH=a,GB=HC=bfED=FC=d

AP2=a2+c2CP2=b2+d2,BP2=b2+c2，DP2=cl2+a2

•••PA=\,08=2,PC=3,/.AP2+CP2=BP2+DP2

即l+9=4+Qp2..Op="（负值已舍去）故答案为：瓜.

【点睛】本题考查了四边形的粽合题，矩形的性质，勾股定理，关键是利用勾股定理列方程组.

例5.（23-24八年级下•浙江宁波・期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.

了解性质：如图1：已知四边形A8CD中，AC1BD.垂足为0,则有：AB2+CD-=AD2+BC2；

A

图1图2图3

性质应用：（1）如图1,四边形A8CO是垂美四边形，若AO=2,8C=4,CO=3,则A3=_；

性质变式：（2）如图2,图3,P是矩形ABC。所在平面内任意一点，则有以下重要结论：

A/^+C尸=3尸+。尸.请以图3为例将重要结论证明出来.

2

PA2pc

应用变式：⑶①如图4,在矩形488中，。为对角线交点，P为8。中点，则+=W（写出证

明过程）；②如图5,在VA6c中，CA=4,03=6,。是VA3C内一点，且8=2,404=93。，则A8的

最小值是.

【答案】（1）VTT;（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②4后-2

【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识；

（I）由勾股定理可得舟答案；（2）过P作MV1A8于M,交。。的延长线于N,由（1）性质可知：

BH2+CP2=BP2+CH2,由勾股定理可得出答案；（3）以AD、BD为边作矩形ADBE,连接CE、DE,

由矩形的性质得出AA=OE,由题意得C£>2+CE2=C42+CB2,求出CE=46，当C、。、E三点共线时,

最小，得出48的最小值=的最小值=CE-CD=4>/3-2.

【详解】（1）解：如图I,四边形45C。是垂美四边形，.♦.A^+CD=A犷+BCl

•.•AD=2,BC=4,CD=3,/.AB2=22+42-32=11./.=故答案为：而；

（2）证明：过户作交。C的延长线丁-N,

由(1)性质可知：BH2+CP2=BP2+CH2,

即：CP2-BP2=CH2-BH2={HD-+DC^-iAH1+AB-)=HD-AH2，

又二•由勾股定理可知：PD2-PA2=(HD2+PH2)-(AH2+PH2)=HD—AH?，

CP2-BP2=PD2-PA2,用JAP2+CP2=BP?+DP2:

(3)解：①设PB=a,则PD=3a,由(2)可得AP?十°尸=犷，

AP2+CP2=a2+9a*=10«2，*"•+'。-=10；

PB2

②以A。、8£>为边作矩形4O4E,连接CE、DE,如图所示：

则便二£>£,由题意得：CD2+CE2-CA2±CB2^UP22+CE2-42+62.解得；CE—，6，

当C、。、E三点共线时，DE最小，.：A8的最小值=OE的最小值=CE-CD=4G-2；故答案为：4^-2.

例6.（23-24八年级下•江西赣州•期末）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形A8CO中，AB=AD,C8=CD,问四边形A8CO是垂美四边形吗？请说

明理由；（2）性质探究：如图1,四边形4BC。的对角线AC、BO交于点。，ACA.BD.经探究发现垂美四

边形A8C。的两组对边AB?,CD^OAD2,BC?有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明.

（3）解决问题：如图3,分别以Rt“C8的直角边AC和斜边AE为边向外作正方形ACFG和正方形人即区

连结CE、BG、GE.已知4c=4,AB=5,求GE的长.

【答案】（1）四边形A8c。是垂美四边形，证明见解析；（2）AD2+BC2=AB2+CD2,证明见解析；（3）GE

=773

【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算.

【详解】解：（1）四边形A8CO是垂美四边形.证明：连接BD、AC

图2图3

•・,45=A。，，点A在线段的垂直平分线上，

,:CB=CD,・••点C在线段8。的垂直平分线上，

・•・直线AC是线段的垂直平分线，/.ACA.BD,即四边形A8CO是垂美四边形；

（2）猜想：AD2+BC2=AB2+CD2

证明：•・•AC_LBO,・•・ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

2222222222

由勾股定理得，Aiy+BC^AO^DO^BC^+CO,AB+CD=AO-+BO+CO+DO,：.AD+BC=AB+CDi

（3）连接CG、BE,・・・NC4G=NBAE=90。，；・NCAG+NBAC=NBAE+NBAC,即NG4B=NC4E,

AG=AC

在AGA8和ZkCAE中，\^GAB=ZCAE,：,/\GAB^^CAE（SAS）,

AB=AE

AZABG=ZAEC,又NAEC+N人仞E=90°,/.ZABG+ZBMN=90Q,即CE_LBG,

••・四边形CGE8是垂美四边形，臼（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2,

VZC=4,AB=5,・"C=3,CG=4&,BE=5也，

・•・GE2=CG2+BE2-CB2=73,GE=s/13.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂

美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键.

例7.（2024.山东德州・一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3

中，AE4E是V48C的中线，AFLBE,垂足为人则称VA8C为“中垂三角形”.设4C=a,AC="A4=。.

C

图4

⑴①如图1,当/A8E=45。，c=4及时，PF=______.BF=______.

②如图2,当45£=30。田=4时,求。和b的值.

⑵请猜想/、/和d三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程.

⑶如图4,在边长为3的菱形A8C。中，。为对角线AC、8。的交点，£尸分别为线段4。，。。的中点，

连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交4。于点G,H,求MG?+MH2的值.

【答案】（1）①尸尸=2,B尸=2石；②a=2万,b=2币Q）美系为:a2+b2=5c2,见解析证明（3）15

【分析】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3）,直接利用（2）的结论是本

题的新颖点和突破点.（I）在图1中，P8=A88s45。=4=抬，即可求解；同理可得：。=2如,〃=2五；

（2）PB=ABcosa=ccosa,PA=cs\na,PF=—PA=—cs\na,PE=—ccosa,则/+〃=（2AE）'+（2B"）2,即

222

9II।

可求解；（3）证明：MG=—ME=—MB,MH=-MC,WOMG24-/WAY2=-（+MC2）,即可求解.

3339

【详解】（1）解：如图1、2、3、4,连接EF,

•・•AF,BE是NABC的中线，，EF是VABC的中位线，

1pRDAAQ

：.EF=-AB,EF//AB,:NEFXBPA、，大二大二二二？，

2PEPFEF

VAFA.BE,则在图I中，PB=ABcos45°=c—=4>/2x—=4=PA,

22

由此得：PF=ipA=2,BF=JPB、PF2=2石；

在图2中，PB=AZ?cos30°=c--=4x—=2>/3>PA=ABsin30°=c^-=4x^-=2,

2222

由此得：P〃=：E4=1,BF=<PB?+PF?=回,a=BC=2BF=2屈，

P£=1PB=V3,AE=[PE?+AP2=出力=AC=2AE=2出，则〃=2而,〃=2彼；

(2)关系为：a2+b2=5c2,

证明：如图3,设：ZEBA=a,IiJiJ：PB=ABcosa=ccosa,PA=cs\nat

由(1)得：PF=—PA=—csina.PE=—ccosa,

222

AE2=PE2+AP2=c2|^(sina)2+^(coscz)2,BF~=PF2+BP2=c2^(sincr)-+(cosa

sina)2+(cosa)2=f—T+f—VAP2+BP2AB2

---------;----=------=It

''7yAB){AB)AB2AB2

则a2+b2=(2AE)2+(2BF)2=4c2x-[(sina)2+(cosa)2l=5c2；

4」

(3)根据题意可得AE=OE=』EC.AG〃8C,;.AAGEs^CBE,AAG=-BC=-AD,EG=-BE,

3333

•:£尸分别为线段40,。。的中点，・•・E尸是△04。的中位线，

AEF=-AD,则所=L8C='A£),：.YMGH3MBC,

222

=—=—；.EM=BE,MF=FC,GM=2EG,，分别是BM,CM中点，

BCBGMC2

QGH//BC,EF〃BC、：.HG〃EF,:NMGHWMEF,

2i?19I

:.MG=-ME=-MB,MH=-MF=-MC,HG=-EF=-AD

333333t

VE,尸分别是5KCM中点，・・・CE,BF是ABCM的中线，.・.△BCM是“中垂三角形”,

由(2)得/+力2=5/,即M8，MC2=AC?,则MG?+例"2="(M8'+MC2)="X5X4C2=15.

模型2.378和578模型

模型解读

378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。

当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,7,8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是

因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的

图1图2图3图4

模型证明

条件：当两个三角形的边长分别为3,7,8和5,7,8时；

结论：①这两个三角形的面积分别为66、10石；②3、8与5、8夹角都是60°；③将两个三角形长为7

的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。

证明：如图2,过点C作CMJ_A3于点设从则AM=3+x,/.ZCMB=90°,

在nA4CM中：CM2=AC2-AM2,在RtABCM中:CM2=Bd・BM2,

：.AC2-AM2=HC2-BM2,即82-(3+x)2=72-『，解得x=l,：.CM=4,:,CM=46,

，SAA8c=1A4・CM』・3・46=6、自，VCA/=4,AC=8，ZACM=30\NCAM=60°。

22

如图3,过点F作FNLDE于点N,设DN=x则NE=5-x,/.ZFND=90°,

在Rt^DNF中：NF2=DF2-DN2,在RtbENF中:NF?=EP-NE2,

:.D产-DN2=Em-NR,BP72-X2=8:-(5-X)2,解得x=l,NE=4,:.NF=,

:,S&DEF='.DE・NF=1.5*4x/3=IO>/3,V/VE=4,EF=8,NEFN=300,NFEN=60°。

22

：.CM=NF=4百，/CMB=/FND=90。,\'CB=DF=1,:.RtABCM义RibDNF,:"CBM-FDN,

•.•NCBM+N4BC=I8O。，AZFD.V+ZA«C=I8O°,V4C=EF=8o

・•・将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形(如图4)。

模型运用

例I.（2023•浙江温州•九年级校考期末）边长为5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是（）.

A.90°B.150°C.135°D.120°

【答案】D

【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设AABC的三边A8=5,AC=1,BC=8,

过点4作于点。，设BD=x,分别在RfAAOA和RQ/WC中，利用勾股定理求得AD,从而可建立

方程，求得x的值，可求得N&因此可得最大角和最小角的和.

【详解】法1：•••△ABC的边长为5,7,8,

・••其可以和边长为3,7,8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，

又由三角形中大边对大角，可知边长为7的边所对的角为60°,

所以最大角和最小角的和是120。故选D.

法2：设AA8C的三边人8=5,AC=7,8c=8,过点人作AQ_L8C于点。，如图设贝ljC〃=8-x

在中，由勾股定理得：AD2=AB2-I3D2=25-X2;在心A4QC中，由勾股定理得：

AD2=AC2-CD2=49-(8-x)2则得方程：25-^2=49-(8-x)2解得：x=^即8。=薮

VBD=-AB,AD1BC：,^BAD=3()°ZA^D=90、/用10=60°AZBAC+ZC=1800-NA8Q=l20°

2

•••8CAC>A8，N84C>NA8O>/C故最大角与最小角的和为120。故选：D.

A

【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾

股定理的使用创造了条件.

例2.(2023•江苏•八年级专题练习)已知在AABC中，AB=8,AC=1,BC=3,则N8=().

A.45°B.37°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】法I：拼成•个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点4作AO_Z8C交延长线于点。，

设CDr,则BC=3+x,在用,CZ)和R以ABO中，利用勾股定理求出4犷，可求出。。的长，从而得到即

的长，然后利用直角三角形的性质即可求解.

【详解】法1：;△ABC的边长为3,7,8,

・••其可以和边长为5,7,8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，

如图，观察图形可知NB为等边三角形的一个内角，所以NB=60。.故选C.

法2：如图，过点A作AO18C交8c延长线于点7),

二•在AABC中，A8=8,AC=7,8c=3,可设CD=x,贝I」3C=3+x,

在山△AC。中，AO2=AC2-CD-=I2-x2，在心△ABD中，AD2=AB?-HD2=82-(A*+3)',

73-x2=8?-(x+3)",解得：x=l，BC=3+x=4,

，在R/aABO中，BD=^AB，二/84。=30°，，N8=90°-N刈〃=60.故选C

【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的

一半，则这条直角边所对的锐角等于30°是解题的关键.

例3.（2023•绵阳市•八年级专题练习）如图，△A8C的边A8=8,BC=5,AC=1.求8c边上的高.

解：作AO_L3C于。,

由勾股定理得，AD2-=AB1-BD2,AD2=AC2-CD2,

•,.AB?-BD2=AC2-CD2,即8?・（5-CD）2=72-CD2,解得,CD=1,

则B。边上的高/'/）=>7AC2-CD2=4V3-

另解：可以和三边长为3.7,8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。

例4.（2023八年级上•江苏•专题练习）已知在VABC中，AB=7,AC=8,6c=5,则VABC的面积为（）

A.17.5B.20C.10^D.28

【答案】C

【分析】设BD=x,在RtzMBO和RSACD中根据勾股定理表示出心-5和4D2=ACJCD2，列

出方程求出x,代入求出AO的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可.

【详解】解：如图，过A作垂足为O.设加=工，则8=5-X,

•・•在RtZ^ABD和RtAACZ）中，AD1-AB--BD2-AC2-CD2，

72-X2=82-（5-X）',解得％=1,...AD=JA^-BD2=473.

5,BC=-RCAD=-x5x4y/3=\0>/3.故选：C.

另解：可以和三边长为3,7,8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。

【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，熟练掌握利用勾股定理表示相应线段之间的关系是

解题的关键.

例5.（23-24九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）在YABC中，AB=8,N3=60。，AC=7,则8c的长为.

【答案】5或3

【分析】分当VABC是锐角三角形时，当VA8C是钝角三角形时两种情况，过点A作AO18C于。，利用

含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出BD,CO的长即"J'得到答案.

【详解】解：如图所示，当VABC是锐角三角形时，过点A作ADIBC于。，

VZB=60°..・・/8AO=30°,工BQ=g"=4,A4D2=AB2-BD2=48,

**•CD=AC2—AD~=1»**,BC=BD+CD=5；

如图所示，当VABC是钝角三角形时，过点A作AO_£8C于。，

VZB=60°,・•・/3AO=30。，ABD=-AB=4,

2

/.AD2=AB2-BD2=4S,:.CD=4AC2-A»=1，：・BC=BD-CD=3；

综上所述，8c的长为5或3,故答案为：5或3.

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

习题练模型］

I.（2023•湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、8。是方程

Z-lGx+GOnO的两个解，则四边形A8C。的面积是（）

A.60B.30C.16D.32

【答案】B

【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理

快速求解即可.

【详解】由题意可知：四边形ABCD的面积

•「AC、8D是方程/一16%+60=0的两个解，

601

AACxBD=x1.x2=y-=60,四边形A8CO的面积S=,x60=30,故答案为：B.

【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线的成

绩计算面积是解题关键.

2.（23-24八年级下•安徽合肥・期末）点P是矩形A3C。内一点，且满足24=2,PB=3,PC=4,则PO的

值为（）

A.3B.5C.x/5D.VH

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键.

过点尸向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为瓦G,£”,根据题意，设AG=a,AE=b,GD=c,BE=d,则

有勾股定理，分别求得Ap2,p/户。2,尸》，根据已知数据以及4>2+QC2=Bp2+PZ）2,进而即可求得尸。的

长.

【详解】过点P向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为£G,E",如图，•.•四边形A8C。是矩形，

/.ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=9{r,四边形AEPG,EPHB,GPFD,PHCF是矩形,

AE-PG-DF.AG-EP-BH,GD-PF-HC,EB-PH-FC.PF-GD-HC,

设AG=a,AE=b,GD=c,BE=d,则AP~=a'+b\BP'=a~+d\PD~=c~+b,PC-=d'+C,

/.APZ+PC2=BP2+PD2,•:PA=2,PB=3,PC'=4,/.22+42=32+PD2：.PD=y[\\.故远：U.

3.（2024・天津和平•二模）如图，四边形A8CO的两条对角线AC,80相交于点。，点。在线段AC上，且

AC_L80,44=5,40=3,若AC+Q=10.有下列结论：①AC的取值范围是2VAe<8；②AC的长有两

25

个不同的值满足四边形ABC。的面积为12；③四边形4BC。面积最大值为三.其中，正确结论的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，二次函数的性质等知识点，利用三角形的

三边关系可判定①，先表示出S四边物2,=一1（47-5）2+；，再利用二次函数的性质可判定③，解

-g（AC-5）2+B=12的方程，可判定②，进而可得答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键.

【详解】:在VABC中，AB-BC<AC<AB+BC,/.5-3<AC<5+3,/.2<AC<8,

当AC=4时，，AB2=BC2+AC2,此时△ABC是直角三角形且点C在线段8。上，不符合题目48C。是四边

形，・・・2<AC<4或4VAe<8,故①错误，不符合题意；

=

,•*AC_ZBD,'四也形ABCD="aAcn+，aActi~ACOD-ACy.OB=—ACx^OB+OD^=—ACBD,

乙乙乙乙

।।，25

VAC+/?D=10,・•・8O=10-AC,・•・5四边形.M°=54。%（10-4。）二-2（4。-5）,+彳，

・,・当4c=5时，四边形43。面积有最大值为胃，故③正确，符合题意；

当-；（4。一5『+1=12时，解方程得：4。=4或4c=6,

•••当AC=4时，不符合题目A8CD是四边形,

的长有1个值满足四边形48co的面枳为12,故②错误，不符合题意；故选：B.

4.(2023•山东八年级课时练习)已知在AA8C中，AB=7,4c=8,BC=5,则NC=().

A.45°B.37°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】法I：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作于。，设C7)=x，则

BD—BC—CD—5-x,由勾股定理得72-(5-x)2-g2r2,得出。£＞一4,贝i]C£＞一;八C,再证NC/AZ)—30。.

【详解】法1：••・△ABC的边长为5,7,8,

・••其可以和边长为3,7,8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，

如图，观察图形可知NC为等边三角形的一个内角，所以NC=6D。.故选C.

法2：过点A作4D_L8c于D,如图所示:

设CO=x,则8O=8C—CD=5—x,在心A48D中，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2,

在幻AACO中，由勾股定理得：AD2=AC2-CD2,

：.AB2-BD2=AC2-CD2,即：72-(5—X)2=82-^,解得：x=4,，CQ=4,

：.CD=^AC,・・・NCAO=30°,.,.ZC=90°30°=60°,故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理、含30。角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定

理，证出NC4O=30。是解题的关缠.

5.(2024.四川广元•二模)如图，在四边形A8CO中，4O〃8C,对角线4GB。互相垂直,5c=12,80=8,

则AO+8C的值是

【答案】4M

【分析】本题考查了勾股定理运用，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造直角二角形、运用平行四边

形性质及勾股定理是解题的关键.过点A作人力交C3延长线于E,作AbJBCr/，将4O+8C转

化为EC,对Rt~4CE运用勾股定理求解.

【详解】解：如图，过点A作交C8延长线于E,作于尸，

vAD\\BCtAC=12,30=8,•.・四边形AO8E是平行四边形，.•.AE=BO=8,AD=BE

222

VAC±BDfAE±AC,在Rt^ACE中，EC=AE+AC,

:.EC=〃炉+心=四+12,=4而,・•・4。+8。=4而，故答案为：4a.

6.（2022.山东枣庄.模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形

ABCD,对角线AC、BD交于点、0.若AD=3,BC=5,则A^+C。、.

【答案】34

【分析】在心和心入4。8中，根据勾股定理得8。2+。。2=c§2,OD2+OA2=AD2,进一步得

BO?+CO2+OD2+（?A2=9+25,再根据从中二水户“。?，CD2=OC2+OD2,最后求得人於+^与尔

【详解】解：'：BDA_AC,AZCOB=ZAOB=ZAOD=ZCOD=90°,

在对△COB和心△A0B中，根据勾股定理得，BO2+CO2=C#,OD^OA^AD2,ABO2+CO2+OD2-OA2=9+25,

*：AB2=BO2+AO2,C^OC^OD^：,AB2+CD2=34；故答案为：34.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一

数学模型是解题关键.

7.（23-24九年级上.广东梅州•期口）四边形的对角线互相垂直且长分别为8和12,则面积为.

【答案】48

【分析】本题考查四边形面积问题，画出图形，四边形ABC。，AC上BD于0,AC=8,瓦）=12,利用

三角形面积公式可得5曲腕86=38。4。+3夙）・。0=；8。（4。+。0）=；8。・水：，从而可以得到答案.解

题的关键是掌握“对角线互相垂直的四边形，面积等于对角线乘税的一半

【详解】解：四边形A8C£>,AC/8D于。，AC=8,87）=12,如图：

・•・S四边形他8=38。40+38。。。=：8。（4。+。。）=38。4。,

VAC=8,BD=12,，S四.皿,=48.故答案为:48.

8.（23-24八年级・浙江・期末）当两个三角形的边长分别为3,7,8和5,7,8时，则这两个三角形的面积

之和是.

解：•・•边长为3,7,8的三角形，可以和边长为5,7,8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，

如图，・•・拼成的等边三角形的高为4技・••这两个三角形的面积之和为98x475=16倔

9.（23-24八年级"河北石家庄•阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所

示的“垂美"四边形ABCQ,对角线AC,BO交于点。.

B

(1)若人B=5,(9/1=3,0C=4,则8C=；(2)若4。=&,BC=岳,^\AB2+CD2=

(3)若A8=/〃，BC=n,CD=c,AD=d,则〃?，〃，c,d之间的数量关系是

【答案】4727nr+c2=n2+d2

【分析】（1）根据题意和勾股定理即可求出.（2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到人笈+C6的值.（3）

由（2）得求解过程可以得到"2+82=8C2+AQ2,进行替换即可.

【详解】(1)VACJ-BD,/.ZBOC=Z.COD=ZZX24=ZAOB=9()",

222:

:.OB=>]AB2-OA2=75-3=4»CB=+OC2=>/4+4=472.故答案为4日

222112222

（2）由（1）得：:.OB+OC=BCfOAr+OD=ADOB+OA=AB\OC+OD=CD\

:.AB2+CD1=OB'+OA2+OC2+OD2=BC1+AD2,

•.•AO=拉，BC=y/5,.-.4e2+CD2=（V2）：+（V5）：=7.故答案为7.

（3）由（2）得：AB2+CD2=BC2+AD2,.•./"+/=〃2+〃2故答案为/+/=〃2+〃2

【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键.

10.（23-24八年级下.广东广州•期末）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两

边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍.即：如图，在VABC中，4）是8C边上

的中线，则有AB2+AC2=2（B£>2+4。）请运用上述结论，解答下面问题.如图，点尸为矩形A4c。外部

【答案】历-\<AC<2屈

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，理解新定义，并运用是本题的关键.连

接8。交4c于。连接P。，由矩形的性质可得AC=8O,AO=CO=BO=DO,由三角形中线与三角形

三边关系，可求/%的长，由三角形的三边关系可以求出J万-1<8。<J万+1,即J万-IvACvJI7+1,

再根据当点2在矩形A4C。的边AD上时，求出AcMh+e?="+（2可=2标然后根据点夕在

矩形488外部，求出行-6即可.

【详解】解：如图，连接4。交AC于0,连接P。，

;四边形A8CD是矩形，:.AC=BD,AO=CO=BO=DO,

•・•P。是△ACP的中线，也是△尸3。的中线，APA2+PC2=2(AO2+PO2),PB?+PD2=2(PO?+OD2),

:・PA?+PC?=PB2+PD2,・・・9+9=l+PB2,:・PBW，

在△P8。中，如-\<BD<后+/.Vr7-l<AC<Vr7+l,

当点。在矩形43co的边AO上时，如图所示：

•••在矩形A8CQ中，？。90?,PD=1,PA=PC=3,；,CD=dPC，-Plf二次-。=2亚，

AD=AP+PD=4,・，・4C=JAD'+S?="+(2宿=2",

丁点P在矩形ABC。外，2m<足<拒+1，：,再7VAe<2娓.故答案为：-1<AC<276.

11.（2022.湖北.一模）如图，尸是矩形ANCQ外一点，有以下结论：@S^PAR+S^PCD=1S^ARCD@

S^PBC=S^PAC+S^PCD@PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD上PB,则尸、A、B、C、。在同一个圆上其中正确的

序号是.

【答案】①②③④

【分析】过点P作PE_LA8交AB延长线于点E,交C。延长线于点凡根据矩形的性质可得四边形BCFE

是矩形，从而得至IJ人。=80石凡再由++==矩形八甲，可得①正

确；再根据S&PAC+S.PCD=S距形8CFE-SJPE-SJDF-S